代数选论期末测试题与答案解析

代数选论期末测试题与答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.设G是一个非交换群，则下列说法中正确的是（）。A.G中存在元素a，使得a的阶为2且a是G中所有元素的中心化子的中心。B.G中存在唯一一个与所有元素可换的元素。C.G中任意两个子群的交集一定是子群，但子群的并集不一定是子群。D.G中一定存在非平凡正规子群。2.设φ:G→H是一个群同态，N是G的正规子群。若ker(φ|N)={e_G}，则下列说法中正确的是（）。A.N是G正规子群，且N⊆ker(φ)。B.N是G正规子群，且N⊈ker(φ)。C.N可能不是G的正规子群。D.存在G的正规子群M，使得N⊆M⊆ker(φ)。3.设R是一个有单位元的交换环，I和J是R的理想。下列说法中正确的是（）。A.(I+J)/∩_rJ=(I/∩_rJ)+(J/∩_rJ)。B.(I∩J)/I=J/(I+J)。C.如果I+J=R，则I∩J=R。D.如果I⊆J，则I/∩_rJ=J/∩_rJ。4.设F是一个域，K是F的扩域。如果[K:F]=2，则下列说法中正确的是（）。A.K是F的代数闭包。B.K中每个非零元都是F上的可逆元。C.K中存在非零元α，使得K=F(α)且α^2∈F。D.K中存在非零元α，使得K=F(α)且α^2∈F且α≠±1。5.设R是一个整环，M是R模R的一个子模。下列说法中正确的是（）。A.M中一定存在一个元素m，使得M=Rm。B.如果R是域，则M是R向量空间。C.M中所有元素的有限生成集的交集仍然是M的生成集。D.如果R是主理想整环，且M是有限生成的，则M是R主理想模。二、多项选择题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。每小题选出所有正确选项，多选、错选、少选均不得分。）6.设G是一个群，H和K是G的子群。下列说法中正确的有（）。A.HK是G的子群当且仅当HK=KH。B.如果H和K都是G的正规子群，则HK也是G的正规子群。C.G中包含H和K的子群L，当且仅当存在g∈G使得L=gH∩gK。D.如果H是G的正规子群，K是H的子群，则K也是G的子群。7.设R是一个环，I和J是R的理想。下列说法中正确的有（）。A.I+J是R的理想。B.IJ是R的理想。C.如果R是整环，I+J=R，则存在r∈R使得1∈I+J。D.如果R是整环，I和J都是极大理想，则I+J=R。8.设F是一个域，K是F的扩域。下列说法中正确的有（）。A.如果[K:F]=p^2，其中p是素数，则K/F是可分的。B.如果α是F上的代数元，且[F(α):F]=3，则α^3∈F。C.如果K是F的代数扩域，且L是K的代数扩域，则L是F的代数扩域。D.如果F包含在K中，且K/F是有限扩域，则K/F是代数扩域。9.设R是一个有单位元的环，M是R模。下列说法中正确的有（）。A.如果R是整环，M是R模，则M中的零向量是唯一的。B.如果R是交换环，N是R的理想，则R/N是R模。C.如果R是交换环，M是R模，N是M的子模，则M/N也是R模。D.如果R是主理想整环，M是R模，且M是有限生成的，则M是自由模。10.设G是一个有限群，|G|=n。下列说法中正确的有（）。A.G中每个元素的阶都是|G|的因子。B.如果p是|G|的素因子，则G中存在阶为p的元素。C.如果G是p阶群（p是素数），则G是循环群。D.如果G是n阶群，且n是素数，则G是阿贝尔群。三、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在题中的横线上。）11.设G是群，a∈G，a的阶为6。则G中与a可换的元素构成的子群是{e,a^3}。12.设R是整环，I是R的理想。如果R/I是域，则称I是R的极大理想。极大理想一定是素理想，但素理想不一定是极大理想。13.设F是一个域，K是F的扩域，α是F上的代数元。如果[F(α):F]=m，且β是α的一个多项式系数在F中的根，则[F(β):F]整除m。14.设R是环，M是R模。如果存在M中一个有限集B，使得M中每个元素都可以唯一地表示成r_1b_1+r_2b_2+...+r_kb_k，其中r_i∈R，b_i∈B，则B是M的一个生成集。称M是R的有限生成模。15.设G是一个群，H是G的子群。对任意g∈G，令gHg^(-1)={ghg^(-1)|h∈H}，称gHg^(-1)是H的共轭子群。如果对任意g,h∈G，有gh=hg，则称h与g可换。如果G中所有元素都彼此可换，则称G是阿贝尔群。四、计算题：（本大题共3小题，每小题7分，共21分。）16.设G=<x>是无限循环群，a=x^3∈G。求G中元素a的阶。17.设R=Z[x]，I=(2,x)。求I在R中的商环R/I的元素个数，并写出R/I的一个基。18.设F=Q(√2)，K=F(√3)。求[K:F]。五、证明题：（本大题共3小题，共44分。）19.（12分）设G是群，H是G的子群。证明：H是G的正规子群当且仅当对任意g∈G，h∈H，有ghg^(-1)∈H。20.（14分）设R是一个有单位元的交换环，I和J是R的理想，且I⊆J。证明：(R/I)/(J/I)≅R/J。21.（18分）设F是一个域，α是F上的一个n次代数元（n≥1），且α≠0。证明：F(α)是F的扩域，并求[F(α):F]的可能取值。试卷答案一、单项选择题：1.C2.B3.D4.C5.B二、多项选择题：6.A,B7.A,B,D8.A,C,D9.A,B,C10.A,B,C三、填空题：11.{e,a^3}12.极大理想一定是素理想，但素理想不一定是极大理想。13.整除14.生成集，有限生成模15.共轭子群，可换，阿贝尔群四、计算题：16.解析思路：元素a=x^3的阶是指最小的正整数m，使得a^m=e。考虑a^m=(x^3)^m=x^(3m)。因为G是无限循环群，其生成元x的阶是无限的，所以x^(3m)=e当且仅当3m=0（在G的运算下）。由于x是生成元，3m=0意味着m必须是0。但阶必须是正整数，所以不存在正整数m使得a^m=e。因此，a没有阶，或者说a的阶是无限的。答案：元素a=x^3的阶是无限的。17.解析思路：R/I=Z[x]/(2,x)。在商环中，每个元素可以表示为f(x)+I，其中f(x)∈Z[x]。由于I=(2,x)，所以商环中的元素在模(2,x)的意义下是等价的，即f(x)≡g(x)(mod2,x)当且仅当f(x)-g(x)是2或x的多项式倍。这意味着商环中的元素可以唯一地表示为形如a+bx的多项式，其中a,b∈Z/2Z=F_2（因为模2运算）。F_2有两个元素{0,1}。所以a有2种选择，b也有2种选择。商环的元素个数为2×2=4。商环R/I中的每个元素对应于F_2中的一个元素，即{[0],[1],[x],[x+1]}。其中[0]是零元。所以R/I的一个基是{[1],[x]}。答案：元素个数为4，一个基是{1,x}（在商环R/I中）。18.解析思路：F=Q(√2)是有理数域Q上的二次扩域，其元素形如a+b√2，a,b∈Q。K=F(√3)是F上的扩域，其元素形如(a+b√2)+c√3+d√6，其中a,b,c,d∈Q。要计算[K:F]，可以计算K作为Q的扩域的次数。首先，考虑K/Q。因为√3不在Q中，且(x^2-3)在Q[x]中不可约（Eisenstein判别法取p=3），所以[x^2-3]是Q上的不可约多项式，且[Q(√3):Q]=2。接下来，考虑K/F。K作为F(√2)上的扩域，其元素可以写成(a+b√2)+c√3+d√6=(a+b√2)+c√3+d√(2√3)。由于√2∈F，√6=√(2√3)在F(√2,√3)中。所以K作为F(√2)上的扩域，其元素可以写成F(√2)中的元素+c√3。这表明K/F同构于F(√2)上的线性空间F(√2)+F(√2)√3，其维数为2。因此，[K:F]=[K:Q]*[Q:F]=2*2=4。答案：[K:F]=4。五、证明题：19.解析思路：（⇒）证明H是正规子群。需要证明对任意g∈G，h∈H，有ghg^(-1)∈H。这是正规子群的定义。设g∈G，h∈H。考虑ghg^(-1)。由于H是子群，包含单位元e，且对任意h∈H，g^(-1)∈G，有g^(-1)h∈H，再乘以g∈G，有g(g^(-1)h)=h∈H。因此，对任意g∈G，h∈H，ghg^(-1)∈H。所以H是G的正规子群。（⇐）证明H是正规子群。需要证明对任意g∈G，h∈H，有ghg^(-1)∈H。这是正规子群的定义。设g∈G，h∈H。令k=ghg^(-1)。根据假设，k∈H。由于H是子群，包含单位元e。考虑g^(-1)k。由于g^(-1)∈G，k∈H，有g^(-1)k∈H。再乘以g∈G，有g(g^(-1)k)=k∈H。即g^(-1)h∈H。由于g^(-1)∈G，g^(-1)h∈H，再乘以g∈G，有g(g^(-1)h)=h∈H。因此，对任意g∈G，h∈H，ghg^(-1)∈H。所以H是G的正规子群。答案：（⇒）见证明思路。（⇐）见证明思路。20.解析思路：证明同构。需要构造一个双射φ:(R/I)/(J/I)→R/J，并证明它在加法和乘法下保持结构。构造映射：对任意[f(x)+I]∈(R/I)/(J/I)，定义φ([f(x)+I])=f(x)+J。首先证明这是良定义的：如果[f(x)+I]=[g(x)+I]，则f(x)-g(x)∈I。因为I⊆J，所以f(x)-g(x)∈J。这意味着f(x)+J=g(x)+J。所以φ是良定义的。接着证明φ是单射：如果φ([f(x)+I])=φ([g(x)+I])，则f(x)+J=g(x)+J。这意味着f(x)-g(x)∈J。因为I⊆J，所以f(x)-g(x)∈I。这意味着f(x)+I=g(x)+I。所以φ是单射。接着证明φ是满射：对任意f(x)+J∈R/J，取[f(x)+I]∈(R/I)/(J/I)，则φ([f(x)+I])=f(x)+J。所以φ是满射。因此φ是双射。最后证明同构性：对任意[f(x)+I],[h(x)+I]∈(R/I)/(J/I)，有φ([f(x)+I]+[h(x)+I])=φ([(f(x)+h(x))+I])=(f(x)+h(x))+J=(f(x)+J)+(h(x)+J)=φ([f(x)+I])+φ([h(x)+I])。对任意[f(x)+I],[h(x)+I]∈(R/I)/(J/I)，有φ([f(x)+I]·[h(x)+I])=φ([(f(x)h(x))+I])=(f(x)h(x))+J=(f(x)+J)(h(x)+J)=φ([f(x)+I])·φ([h(x)+I])。因此φ是同构。答案：（1）构造映射：φ([f(x)+I])=f(x)+J。（2）证明良定义：若[f(x)+I]=[g(x)+I]，则f(x)-g(x)∈I⊆J，故f(x)+J=g(x)+J。因此φ良定义。（3）证明单射：若φ([f(x)+I])=φ([g(x)+I])，则f(x)+J=g(x)+J，即f(x)-g(x)∈J⊆I。故f(x)+I=g(x)+I。因此φ单射。（4）证明满射：对任意f(x)+J∈R/J，取[f(x)+I]∈(R/I)/(J/I)，则φ([f(x)+I])=f(x)+J。因此φ满射。（5）证明同构性：*加法：φ([f(x)+I]+[h(x)+I])=φ([(f(x)+h(x))+I])=(f(x)+h(x))+J=(f(x)+J)+(h(x)+J)=φ([f(x)+I])+φ([h(x)+I])。*乘法：φ([f(x)+I]·[h(x)+I])=φ([(f(x)h(x))+I])=(f(x)h(x))+J=(f(x)+J)(h(x)+J)=φ([f(x)+