完整版hmw正态分布

2.4正态分布高二数学选修2-3如何得到连续型随机变量的密度函数曲线呢?25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.27

25.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39

某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸(随机变量X)如下:情境1:列出随机变量X的频率分布表分组频数频率累积频率频率/组距25.235~25.26510.010.010.000925.265~25.29520.020.030.001825.295~25.32550.050.080.004525.325~25.355120.120.200.010925.355~25.385180.180.380.016425.385~25.415250.250.630.022725.415~25.445160.160.790.014525.445~25.475130.130.920.011825.475~25.50540.040.960.003625.505~25.53520.020.980.001825.535~25.56520.021.000.0018合计1001.00100件产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535产品内径尺寸/mm频率组距25.26525.32525.38525.44525.50525.565o2468随机变量X的频率分布直方图200件产品尺寸的频率分布直方图产品内径尺寸/mm频率组距o2468产品内径尺寸/mm频率组距o2468样本容量增大时频率分布直方图随机变量X的分布密度曲线

可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线---随机变量X的分布密度曲线0YX式中的实数m、s是参数"钟形”曲线若随机变量X的分布密度曲线的函数解析式为:表示总体的平均数与标准差这条曲线就称正态分布密度曲线随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2)2.正态分布的定义:如果对于任何实数a<b,随机变量X满足:

则称随机变量X服从正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（μ，σ2)

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布:在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标;

在测量中，测量结果;

在生物学中，同一群体的某一特征;……;

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度

以及降雨量等，水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。

正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态总体的函数表示式当μ=0,σ=1时标准正态总体的函数表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线方差相等、均数不等的正态分布图示

3

1

2σ=0.5μ=-1μ=0

μ=1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；

m的意义:总体平均数反映总体随机变量的平均水平

均数相等、方差不等的正态分布图示

=0.5=1=2μ=0

若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度

s的意义3.正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.3.正态曲线的性质（4)曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越"矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越"瘦高”，表示总体的分布越集中.（5)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.3.正态曲线的性质正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

4.特殊区间的概率:m-am+ax=μ若X~N,则对于任何实数a>0,概率

为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别地有我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.56％，在以外取值的概率只有0.26％。由于这些概率值很小（一般不超过5％)，通常称这些情况发生为小概率事件。

例1.下列函数是正态密度函数的是（

）

A.B.C.

D.B练习:1.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数且该函数的最大值等于

，求该正态分布的概率密度函数的解析式。

2025301510xy5352、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。例2.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（

）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。

D例3某年级的一次数学测验成绩近似服从参数为μ＝70和σ2＝102的正态分布，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占全班人数的百分比是多少?(2)成绩在80～90分内的学生的人数占全班人数的百分比是多少?[分析]正态曲线关于直线x＝μ对称，故可利用对称性和特殊值求解．正态变量在三个常用区间上的概率的应用例3、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,100).（1）试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~N，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]A正态变量在三个常用区间上的概率的应用2、已知X~N(0,1)，则X在区间

内取值的概率等于（

）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、设离散型随机变量X~N(0,1),则=,=.4.若X~N(5,1),求P(6<X<7).D0.50.95445.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)＝________.6.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.[答案]

1[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的.∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望是1.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20,4)．若这批零件共有5000个．试求：(1)这批零件中尺寸在18mm～22mm间的零件所占的百分比．(2)若规定尺寸在24mm～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个?[分析]解答此题需先确定μ、σ以及所给区间与μ、σ之间的关系．正态分布的综合应用某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位:分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60