现代交换原理与技术（第二版）课件第二章 交换机

第二章交换机理论基础本章内容2.1排队系统理论2.2通信业务量2.3电路交换系统的基本理论2.4分组交换系统的基本理论2.1排队系统理论

话务理论的奠基人是丹麦电话工程师A.K.爱尔兰（A.K.ErLang），他利用随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，在1909年首先发表全利用度线群的呼损计算公式。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的爱尔兰电话损失率公式。

研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，由于资源的有限性和需求的随机性导致排队现象的存在，把要求服务的顾客和提供服务的服务员双方构成的系统通常又称之为排队系统。

在通信网的设计、通信业务分析和性能计算中，排队论是不可缺少的部分。随机服务系统理论即利用概率论和随机过程理论，研究随机服务系统内服务机构与顾客需求之间的关系（供求关系），以便合理地设计和控制排队系统，使之既能满足一定的服务质量要求又能节省服务机构的费用，一般又称为排队理论。

一个系统由三个基本部分组成，即输入过程、排队规则和服务机构。图1排队系统的基本组成2.1.1排队系统基本模型1．排队系统的基本要素

任何排队系统都有3个参量，即服务员数目m、顾客到达率λ、服务员服务速率μ，称为排队模型三要素：服务员数目m称为窗口数或服务员数目，表征系统的资源量，它表示系统中有多少服务设备可同时向顾客提供服务，在计算机和通信系统中，m常指交换节点的输出信道数量等，当m=1，可称为单窗口排队系统；当m>1，就称为多窗口排队系统。

式中，顾客到达率反映了顾客到达系统的快慢程度，其越大，说明系统的负载越重。

2．排队规则

（1）排队类型

排队系统类型表明服务机构是否允许顾客排队等待服务。排队系统一般分为拒绝系统和非拒绝系统两大类。

①拒绝系统：又称拒绝方式，截止型系统。设n是系统允许排队队长（也称截止队长），m是窗口数。该系统进一步分为两种情况：

即时拒绝系统：n=m的系统。延时拒绝系统：m<n的系统。②非拒绝系统：又称非拒绝方式，非截止型系统。（2）服务规则

一般服务规则有先到先服务、后到先服务、优先制服务、随机服务等几种方式。

先到先服务(FCFS)或先入先出(FIFO)：属于顺序服务，按顾客到达先后顺序服务，这是常见情况，无其他说明时，常按这种方式分析。

后到先服务(LCFS)：这也是常见情况，如仓库中同品种的货物，出库时常是后进先出；计算机内的堆栈区域也是按此方式工作。

优先制服务：对各类顾客分别事先赋予不同的优先级，优先级越高，越提前被服务。通信网中也较为常见。

随机服务：即当窗口有空闲时，不按照排队序列而随意地指定一个顾客去接受服务。例如，电话交换机接通呼叫的电话就是一例。此外，服务规则还包含服务方式，服务过程中还有串行和并行服务方式。串行服务方式指m个窗口串列排队方式，此时，大部分的情况是每个窗口的服务内容各不相同，每个顾客要依次经过m个窗口接受全部服务。并行服务方式指m个窗口并列排队方式，此时，大部分的情况是每个窗口的服务内容相同，这时，m个窗口可以同时服务m个顾客。

2.1.2常用的与排队论相关的概率分布常用的概率分布主要有零-壹分布、二项分布、泊松分布和指数分布。

交换系统中的各种服务设备，如各级交换单元的输入输出链路、交换机的中继线、交换控制处理器等，这些设备的占用情况往往可以用二项分布来分析。

例[2.1]设某交换机中有5个服务器，每个服务器的占用是完全独立的，每个服务器被占用的概率是0.4。要求计算5个服务器有k个被占用的概率。

0123450.07780.25920.34560.23040.07680.0102于是可得随机变量X的如下分布：3.泊松分布

泊松（Poisson）分布可以由二项式的概率函数取极限得到。

图2泊松分布4．指数分布

交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔时间和电话呼叫的占用时长。

在时间t内没有发生呼叫，这就是相邻呼叫的间隔时间大于t，如果相邻呼叫的间隔时间用随机变量X表示，则对于任意，

2.1.3排队系统中常用的几个概念1．系统状态

一般情况下，排队系统状态指顾客数量（包括正在被服务的顾客数）、业务数量以及忙闲等的组合。

3．简单流

满足平稳性、无后效性、疏稀性三个条件的随机事件流称为简单流。

4．泊松过程（PoissonProcess）通信网中的信息流量，在有些系统中可以看作是最简单流，例如电话交换系统中的呼叫流就是一种典型的泊松呼叫流。

根据呼叫的发生时间顺序，把每一个呼叫用小圆点表示在时间轴上，如图3所示。图3呼叫发生时间示意图假设呼叫流满足简单流的三个条件。平稳性：指呼叫以相同的平均密度在时间轴上分布。用λ表示单位时间内发生的平均呼叫数，也称为“呼叫强度”。在时间轴上任取一长度为T的区间，落入该区间任意指定数量呼叫的概率只与该区间的长度有关，而与该区间在时间轴上的位置无关，将这个区间划分为n个相等的小区间，每个小区间的长度设为∆t=T/n，在∆t内平均发生λ∆t个呼叫。

经过计算，上式极限为：

图4生灭过程状态转移图

为了求解上式，给出系统的“统计平衡”概念，然后求解统计平衡条件下得系统状态概率。

如果系统进入统计平衡状态，那么必有

最终，推导得到生灭过程在统计平衡条件下，系统处于状态k的概率的一般解为：

其中，

了解话务理论基础是为了在给定用户条件(如用户个数，电话使用的频繁程度等)和希望达到的服务质量后，确定交换网络的容量或入、出线数量。话务理论用于描述交换网络的容量与负荷问题。向交换网络请求接续服务的用户是源。而向业务源提供服务的设备称为服务器。交换网络提供接续服务，交换网络提供M个服务器满足用户的请求。2.2通信业务量2.2.1话务量的概念在时间T内，一个源(或服务器)所产生的(所负担的)话务量等于该期间内各次服务持续时间之总和。

设在所考查的时间T内，共发生了C次呼叫，每次呼叫的平均保持时间为S，则根据定义话务量应为：Y=CS话务量的单位：小时呼（TC），分时呼（MOU），百秒呼（CCS）。定义2.10流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时长内业务源发生的平均呼叫数。令A表示流入话务量强度，λ表示单位时间内发生的平均呼叫数，S表示呼叫的平均占用时长，则根据流入话务量强度的定义为A=λS

当λ和S使用相同的时间单位时，流入话务量强度A无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数学家A.K.Erlang，将话务量强度的单位定名为“爱尔兰”，并用“e”或“E”表示。流入话务量强度也叫话务流量。

设：

C=时间T内，单个用户终端发出的平均呼叫数。

S=由用户终端发出的呼叫的平均占用时间。

N=用户数的总和。

A=单位时间内流过所有用户终端的话务量。

则：

话务流量反映了电话负荷的大小，与呼叫强度和呼叫保持时间有关。呼叫强度是单位时间内发生的呼叫次数，呼叫保持时间也就是占用时间。

呼叫强度呼叫保持时间

例[2.5]设一个源在2小时内共发生了4次呼叫，各次呼叫持续时间依次为600s，100s，900s和200s。则平均呼叫保持时间为：S=(600+100+900+200)/4=450s=0.125h

话务量为：Y=CS=4×0.125=0.5h话务流量为：A=Y/T=0.5/2=0.25erl呼叫强度为：λ1=C/T=2次/h当有20个相同的源时，呼叫强度变为:λ=Nλ1=20×2=40次/h话务流量变为：A=λS=40×0.125=5erl实际计算时应注意以下问题：话务量总是针对一段时间而言，如：一天或一小时。呼叫强度和呼叫保持时间都是平均值。要区分流入话务量与完成话务量。

流入话务量=完成话务量+损失话务量

损失话务量=流入话务量×呼叫损失率(呼损率)“呼叫强度”主要受到下列一些因素的影响：时间、突发事件、话机普及率、用户遇忙时的表现、费率等。“呼叫保持时间”同样会因费率和用户习惯而不同，另外它还与通话性质、通话距离有关。图6典型的工作日内话务量分布图设交换系统中有N条输入线，每条入线接一个负载源，M个服务器为所有呼叫共用，它们服务速度相同，各自独立地工作，且负载均衡分担。一条入线的话务量强度用a表示，则流入的总话务量强度A=Na。流入话务量强度有如下重要性质：性质1：A或a分别为N条入线或单条入线在呼叫平均占用时长内流入的呼叫数。性质2：a是单条入线被占用的概率（占用时间百分比）。性质3：A是N条入线同时被占用的平均数。对于大量随机发生的呼叫，有些呼叫可能遇到电话局忙，没有空闲的服务设备供他们使用。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处理方法。一种系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲的服务设备，呼叫就继续进行下去，这样的系统叫做待接制系统或等待制系统。另一种系统，它不让呼叫等待。它对不能立刻得到服务的呼叫的处理方法，是给用户送“忙音”。用户听到忙音后，必须放弃这次呼叫，然后再重新呼叫。这种系统叫做明显损失制系统。

对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么流入系统的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等待一段时间才能得到接续。对于明显损失制系统来说，流入系统的话务量是一部分被处理了，另外一部分则被“损失”掉了。我们把流入系统的话务量叫做流入话务量或流入负载。完成了接续的那部分话务量叫做完成话务量或完成负载。流入话务量与完成话务量之差，就是损失话务量或损失负载。显然，在等待制系统中，如果等待时间不限，则流入话务量等于完成话务量。定义2.11服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。令Ac表示m个服务器的完成话务量，则有Ac=λcS

式中，λc为单位时间内完成服务的呼叫数。设单个服务器的完成话务量强度用ac表示，则m个服务器完成总话务量强度Ac=mac。完成话务量强度有如下重要性质：性质1：Ac或ac分别为m个服务器或单个服务器在呼叫平均占用时长内完成服

务的平均呼叫数。性质2：ac是单个服务器被占用的概率，即利用率。性质3：Ac是m个服务器同时被占用的平均数。例：假设在100条线的中继线群上，平均每小时发生2100次占用，平均占用时长为1/30小时，求群中继线的完成话务量强度，并根据完成话务量强度性质说明其意义。解：根据题意知：λc=2100，S=1/30，则Ac=λcS=70e意义：在平均占用时长1/30小时内，平均有70次占用发生（性质1）；单条中继线的占用概率为0.7（性质2）

；70e意味着在100条中继线中，同时处于工作状态的平均有70条，空闲的30条（性质3）。EXAMPLE2.2Inagroupof10servers,eachisoccupiedfor30minutesinanobservationintervalof2hours.Calculatethetrafficcarriedbythegroup.Solution

Erlangmeasureindicatestheaveragenumberofserversoccupiedandisusefulinderivingtheaveragenumberofcallsputthroughduringtheperiodofobservation.EXAMPLE2.3Agroupof20serverscarryatrafficof10erlangs.Iftheaveragedurationofacallis3minutes,calculatethenumberofcallsputthroughbyasingleserverandthegroupasawholeinaone-hourperiod.Solution

i.e.aserverisbusyfor30minutesinonehour.SolutionEXAMPLE2.4Asubscribermakesthreephonecallsofthreeminutes,fourminutesandtwominutesdurationinaone-hourperiod.Calculatethesubscribertrafficinerlangs,CCSandMOU.TrafficinMOU=3+4+2=9MOU2.2.2数据业务量数据通信如果采用电路交换方式，那么每次通信“会话”可以看成一次呼叫，2.1节所述的话务量的概念完全适用，只需将“话务量”改为“业务量”即可。数据通信如果采用分组交换方式，交换系统采用等待制服务，分组丢失率可以忽略，那么流入和流出的业务量强度将相等，业务量强度可以改写成：式中：为业务量强度；λ为数据分组的到达速率，s=1/µ是分组的平均服务时间，µ称为服务速率。2.2.3交换系统的服务质量和业务负载能力服务质量

服务质量（QoS，QualityofService）是用来说明交换系统给服务对象（呼叫或数据分组）提供服务的可能性或者服务对象发生等待的可能性及相应的等待时间等的指标体系。根据ITU-T的定义，服务质量是指用户对提供给其的服务满意度主观评定意见的一种度量，是用户对服务是否满意的集中反映。主要包括交换系统提供的服务质量和运营管理的营业服务质量。

交换系统服务质量是系统服务性能的综合体现。从通信系统提供资源的角度而言，引入QoS的根本原因是业务流量对系统资源之间的需求和实际能够提供的资源之间的不匹配。当业务流量对系统资源之间的需求和超过实际能够提供的资源能力时，部分业务因为通信系统无法提供服务资源导致处理失败或等待延时处理得情况，业务的服务质量不能得到有效保障。电路交换系统中出现这种状况称为呼叫损失，简称为呼损。分组交换系统中，信道资源或存储器容量的不足，导致分组数据的丢失或数据传输时延加剧。

对于电路交换的电话系统和分组交换的数据系统两类系统而言，各自有详细的服务质量指标，电路交换的电话系统的系统服务性能指标主要包括传输质量、接续质量、可用性和可靠性；分组交换的数据系统的系统服务性能指标主要包括可用性、传输时延、吞吐量、数据丢失率和差错率。话务量和话务量流量描述了系统负荷；呼损描述了系统的服务质量。呼损就是不成功的呼叫！

在电路交换系统中，通信系统的呼损的指标等同于线群（电话通信系统中，把一群（或一组）为话源服务的设备及其出线称为线群）的呼损指标。呼损的计算方法有三种：

2.交换系统的话务负荷能力(服务设备利用率)定义：指的是在给定服务质量指标的条件下，系统所能承担的话务量强度。常用完成话务量强度Ac与设备容量m的比来表示，即

η=Ac/mη是每个服务器承担的平均话务量强度。当然，η也表示服务器设备被占用的概率或被占用的时间比例。影响系统话务负荷能力的因素很多，如电路交换系统的呼损率指标、服务设备容量、系统结构、服务方式、呼叫流的性质等。2.3电路交换系统的基本理论2.3.1呼损指标分配

图7n个选择级构成的接续路由

总呼损分配方法：允许设备费用高的选择级有较大的呼损，这样可以减少其设备数量，提高设备的利用率。对在接续中影响面大的选择级，分配的呼损一定要小，以保证服务质量。2.3.2利用度的概念

电路交换系统是一种典型的设备共享系统，服务设备泛指各种在电路接续过程中，为用户提供服务的共享资源，凡是向本级设备送入话务量的前级设备，都是本级的负载源。图8负载源共享服务器模型

负载源能够使用的服务器数称为“利用度”。“全利用度”：接线网络能够把任何空闲的入线连接到任何空闲出线。这种情况

下，每一个负载源能够使用所有服务器中的任何一个。“部分利用度”：任一负载源只能使用所有服务器设备中的一部分设备。2.3.3服务设备占用概率分布

呼损是损失制随机服务系统的基本服务质量指标，描述这种系统最简单而又最有效的随机过程模型，就是生灭过程。图9服务设备数量为m的状态的转移图

根据负载源数N的大小及其与服务设备数量m的关系，分四种不同的情况研究服务设备的占用概率分布。二项分布

式中α表示的是一个负载源处于忙状态的概率。根据话务量强度的性质，α就是每个负载源的话务量强度。2.恩格赛特分布

则占用概率分布为：

m个设备有k个占用的概率分布为

恩格赛特分布式可表示为3.爱尔兰分布

则占用概率分布为

4.泊松分布

得占用概率分布为

式中a是每个服务设备的话务量强度。

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