高等数学（上）课件 第1章函数

1.1变量与函数一、变量与区间二、邻域三、绝对值四、函数一、变量与区间21.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.如圆面积常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.π是常量，半径r是变量.一、变量与区间32.区间

是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,一、变量与区间4称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.二、邻域53.邻域:即二、邻域6把集合叫a的左邻域；把集合叫a的右邻域；三、绝对值7绝对值及其运算主要有下列性质：(3)如果a>0,则下面两个集合相等：

(4)如果a>0,则下面两个集合相等：

三、绝对值8四、函数9因变量自变量数集A叫做这个函数的定义域

按照法则f

都有唯一确定的数和x对应，则称y是x的函数(也称f是A到B的函数)，记作四、函数10自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:

定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.四、函数11如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数;否则叫与多值函数,两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域和对应法则都相同．四、函数12定义:四、函数13函数的常用表示法（1）公式法（解析法）

将自变量和因变量之间的关系用数学表达式来表示的方法．（2）图像法

在坐标系中用图形来表示函数的方法．

（3）表格法

将自变量的值和对应的因变量的值列成表格的方法．月份123456产量101211131015某工厂上半年产量四、函数14显函数、隐函数和分段函数（1）显函数

因变量y由自变量x的解析表达式直接表示．例如，

（2）隐函数

函数的自变量x与因变量y之间的对应关系由方程

来确定．

例如，

是方程

所确定的函数．

四、函数15（3）分段函数：称这种函数为分段函数.下面介绍几种特殊的分段函数：如果一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示其对应关系，四、函数16(1)符号函数1-1xyo四、函数17(2)取整函数y=[x],例如：[0.3][3.14]=3=0[0]=0[－2]＝－2[－3.14]=－

4[x]表示不超过

x

的最大整数.四、函数18阶梯曲线0，1，2，－1，－2，－3，……四、函数19例1解故205、复合函数定义:复合函数与反函数设函数y=g(u)的定义域为

函数u=f(x)

在数集A上有定义，

且其值域

则由下式确定的函数

称为由函数y=g(u)与

u=f(x)构成的复合函数。

四、函数21注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.是由复合而成。四、函数22D(f)R(f)RD6、反函数定义4

设函数y=f(x)的定义域为D(f),值域为

R(f),如果对任意y∈R(f),都有唯一确定的x∈D(f),

满足这样就确定了一个定义在R(f)上的函数，称为y=f(x)

的反函数，记作x=f－1

(y).习惯上把叫做y=f(x)

的反函数。四、函数23

直接函数与反函数的图形关于直线

对称.小结24基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念复合函数与反函数1.2函数的几种特性

一、函数的有界性二、函数的单调性三、函数的奇偶性四、函数的周期性一、函数的有界性26定义1设函数在数集E上有定义，若存在数使得对任一都有若函数在数集E上既有上界又有下界，则称在数集E上有界。显然，在数集E上有界的充分必要条件是存在常数M＞0，

使得任一都有LNyxoy=f(x)E一、函数的有界性27例如，函数y=1－x2

在实数集R上有上界1；

Oyx1例如，函数y=1/x2

在数集(0,1)上有下界0，

Oyx但无上界;

1例如，函数y=sinx

在实数集R上有界。一、函数的有界性28M-Myxoy=f(x)E有界无界M-MyxoE二、函数的单调性29xyo二、函数的单调性30xyo三、函数的奇偶性31偶函数图像yxox-x三、函数的奇偶性32奇函数图像yxox-x三、函数的奇偶性33例1

讨论下列函数的奇偶性：解：（1）因为该函数的定义域(－∞,＋∞)关于原点对称，且f(x)是奇函数。三、函数的奇偶性34（2）因为该函数的定义域(－∞,＋∞)关于原点对称，且所以函数g(x)是偶函数．四、函数的周期性35且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为

周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,

常量函数四、函数的周期性36例如，都是以为周期的周期函数；都是以为周期的周期函数。小结37函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.1.3初等函数

一、基本初等函数二、初等函数一、基本初等函数391、常数函数y=C(C为常数).CxyO一、基本初等函数402、幂函数一、基本初等函数41一、基本初等函数423、指数函数一、基本初等函数434、对数函数一、基本初等函数445、三角函数正弦函数一、基本初等函数45余弦函数一、基本初等函数46正切函数余切函数一、基本初等函数476、反三角函数满足:y0=sinx0

.正弦函数在

上不存在反函数。

y0x0都有无数个

一、基本初等函数481-1y=sinx1-1我们把y=arcsinx叫做反正弦函数。一、基本初等函数49类似可定义它的图像为：1-1一、基本初等函数50二、初等函数51初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如函数都是初等函数.小结521、基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.2、函数的概念3、函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.4、反函数基本初等函数.5反三角函数统称对数函数，三角函数和、常数函数，幂函数，指数函数，6、初等函数。1.4建立函数模型举例

一、建立函数举例二、常见的经济函数一、建立函数举例54例1

【阶梯电价问题】在1.1情境与问题中，我们提到，为倡导居民节约用电，全国许多城市都实行阶梯电价制度.表1-1是广州居民的夏季（5月至10月）阶梯电价表，请根据此表写出广州居民夏季用电费用的函数.一、建立函数举例55例2

【体积的计算】设有一块边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子（见图1-28），试将盒子的体积表示成剪去的小正方形边长的函数.一、建立函数举例56例3

【面积的计算】由直线y=x,y=2-x及x轴所围的等腰三角形OBC，在底边上任取一点过x作垂直于轴的直线（见图1-29），将图中阴影部分的面积表示成的函数.二、常见的经济函数571.单利与复利

单利计算公式初始本金为p,利率为r

第1年末的本利和

第2年末的本利和

第n年末的本利和……二、常见的经济函数58

复利计算公式初始本金为p,利率为r

第n年末的本利和

第1年末的本利和

第2年末的本利和……二、常见的经济函数59例1

现有初始本金100(元)，若银行年储蓄利率为5%，（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍?问：（1）按单利计算，3年末本利和为多少?（2）按复利计算，3年末本利和为多少?解（1）

（2）（3）若n年后使本利和超过初始本金一倍，必须所以需15年才能使本利和超过初始本金一倍．二、常见的经济函数602.需求函数、供给函数、市场均衡（1）线性函数（2）反比例函数（3）指数函数

需求函数二、常见的经济函数61习惯上将价格函数也统称为需求函数.供给函数二、常见的经济函数62市场均衡

当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场均衡状态，此时的价格称为该商品的均衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量。QP

商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标.均衡数量均衡价格二、常见的经济函数63例2设某商品的需求函数和供给函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解由均衡条件得解得

因此，市场均衡价格为市场均衡数量为二、常见的经济函数64例3

某批发商每次以120元/件的价格将100件衣服批发给零售商,在这个基础上零售商每次多进20件衣服,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次200件,试将衣服批发价格表示为批发量的函数,并求零售商每次进180件衣服时的批发价格．解由题意知所求函数的定义域为设每次进衣服件，则每次批发价减少元/件，

于是所求函数为当时，(元/件