高等数学（上）课件 第3章导数与微分

二、导数的定义三、左导数和右导数四、可导与连续的关系五、导数的几何意义3.1导数的概念

一、引例一、引例区间测速（平均速度）单点测速（瞬时速度）交通管理中的测速系统：一、引例1.变速直线运动物体的瞬时速度设描述质点运动位置的函数为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动

一、引例1.变速直线运动物体的瞬时速度自由落体运动

一、引例2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT割线MN

的斜率切线MT的斜率一、引例2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT

OxyC

一、引例瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数改变量与自变量改变量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度变化率问题……二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,

在点的导数.二、导数的定义则在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率二、导数的定义二、导数的定义例1

求函数解由导数的定义式，得二、导数的定义12若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数（简称导数）.记作:就称函数在

I内可导.

显然:二、导数的定义13例2

已知求：

解

二、导数的定义14例5.

求函数(C

为常数)的导数.

解:即注意:二、导数的定义15例6.

求函数解:二、导数的定义16说明：对一般幂函数(为常数)例如，二、导数的定义17例7.

求函数的导数.

解:则即类似可证得二、导数的定义18的导数.

解:

即例8.

求函数二、导数的定义19的导数.

解:

即例8.

求函数三、左导数与右导数20在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右

导数,记作即(左)(左)定义2

.

设函数有定义,存在,三、左导数与右导数21例4三、左导数与右导数22定理2.

函数在点且存在简写为若函数都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间

内可导,在闭区间

上可导.可导的充分必要条件是四、可导与连续的关系23例3

讨论函数在x=0处的连续性与可导性.

故f(x)在x=0处连续.是有界函数，

所以解因为

但在x＝0处有极限不存在.故f(x)在x=0处不可导.四、可导与连续的关系24定理可知：函数在其可导点处一定连续．例3表明，函数在其连续点处不一定可导，但由下面定理1.证:

存在,由于故所以函数五、导数的几何意义25曲线在点的切线斜率为曲线在点处的切线方程:法线方程:五、导数的几何意义26例9.

设存在,求极限解:

原式五、导数的几何意义27例10.

问曲线哪一点有铅直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有铅直切线小结281.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.

增量比的极限;切线的斜率;三、反函数的求导法则二、复合函数求导法则一、导数的四则运算3.2导数的四则运算

四、基本初等函数的求导公式(定义)求导法则其他基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容解决求导问题的思路:一、导数的四则运算31定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且下面只对(1)(2)加以证明,并同时给出相应的推论和例题.一、导数的四则运算32此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设

则故结论成立.例如,一、导数的四则运算33证:

设则有故结论成立.(2)一、导数的四则运算34推论:一、导数的四则运算35例1.

解:一、导数的四则运算36证:

类似可证:例2.

证明二、复合函数求导法则37在点x

可导,定理3.在点可导复合函数且在点x

可导,证:设x取得改变量Δx,则u取得相应的改变量Δu，

由于Δx→0时，Δu→0,故有二、复合函数求导法则38定理仍然成立。二、复合函数求导法则39例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.二、复合函数求导法则40例3

求函数的导数.解设则二、复合函数求导法则41例4

求函数的导数.解设则另解

二、复合函数求导法则42例5解二、复合函数求导法则43解:

(1)(2)例6.

求下列导数:二、复合函数求导法则44例7.

设求解:二、复合函数求导法则45解:例8.

设三、反函数求导法则46定理2.

的某邻域内单调可导,

证:在

x

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知

因此三、反函数求导法则47例3.

求反三角函数的导数.解:

1)

设则类似可求得,则四、基本初等函数的导数公式481.常数和基本初等函数的导数四、基本初等函数的导数公式49例4

求解:先化简后求导四、基本初等函数的导数公式50例5.设解:求小结511.

有限次四则运算的求导法则(C为常数)2.复合函数求导法则3.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数3.3隐函数的导数及由参数方程确定函数的导数一、隐函数的导数

二、对数求导法

三、由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数定义:隐函数的显化：问题:如果隐函数不易显化或不能显化，如何求导？隐函数求导法则:用复合函数求导法则，直接对方程两边对x求导，再解出一、隐函数的导数例1解移项得即一、隐函数的导数55例2解解得一、隐函数的导数56解所求切线方程为所求法线方程为二、对数求导法57观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:二、对数求导法58例3

设解先将等式两边取对数，得

把y看做x的函数y=y(x)

,上式两边对x求导，得解得二、对数求导法59例4解等式两边取对数得另解二、对数求导法60例5-练习解等式两边取对数得三、由参数方程确定的函数求导61例如问题:

消参数困难或无法消参数如何求导?三、由参数方程确定的函数求导62由复合函数及反函数的求导法则得三、由参数方程确定的函数求导63例6解求由参数方程

所表示的函数y＝y(x)的导数。

三、由参数方程确定的函数求导64例7

求椭圆

解在

相应点处的切线方程.

曲线上所对应t=π/4的点为

故所求切线方程为小结65隐函数求导法则:

直接对方程两边求导;对数求导法:

对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参变量函数求导:

实质上是利用复合函数求导法则.二、微分的几何意义四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念3.4函数的微分及高阶导数

三、微分的计算五、高阶导数一、微分的概念67引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?

设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部Δx高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取变到其一、微分的概念68的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

与△x

无关的常数,只与x0有关)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,一、微分的概念69证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:

函数一、微分的概念70“充分性”已知在点可导,则在点可微的充要条件是在点处可导,且即定理:

函数一、微分的概念71二、微分的几何意义72微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,三、微分的计算73设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变性5.复合函数的微分则复合函数三、微分的计算74例2.解：例1.例3.解：解：三、微分的计算75

解:例4.求四、微分在近似计算中的应用76当很小时,使用原则:得近似等式:四、微分在近似计算中的应用77很小时,常用近似公式:很小)证明:令得则特别当四、微分在近似计算中的应用78解:例5.计算五、高阶导数79速度即加速度即引例：变速直线运动五、高阶导数80定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.五、高阶导数81设解:例1.五、高阶导数82解:由例1得：五、高阶导数83例3.

设求