高等数学（上）课件 第7章微分方程

二、基本概念一、引例7.1微分方程基本概念一、引例2引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:

设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得2=12+C因此所求曲线方程为②由①

得切线斜率为2x,求该曲线的方程.C=1,一、引例3的速度行驶,获得加速度求制动后列车的运动规律.解:

设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由(1)式第一次积分,可得将因此所求运动规律为即求

s

=s(t).制动时代入(2)可得引例2.

列车在平直路上以(2)式两边积分,可得将代入(3)可得一、引例4引例3(商品的价格调整模型)

二、基本概念5常微分方程偏微分方程【多元函数】含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.(本书内容)(n

阶显式微分方程)一般地,n

阶常微分方程的形式是分类或1.微分方程2.微分方程的阶二、基本概念6—

使方程成为恒等式的函数.通解—

解中所含独立的任意常数的个数与方程—

确定通解中任意常数的条件.的阶数相同.特解引例2引例1

通解:特解:微分方程的解

—

不含任意常数的解,初始条件

其图形称为积分曲线.3.微分方程的解二、基本概念7（2）求微分方程满足初值条件的特解这样一个问题叫做初值问题.4.初值问题（1）用来确定任意常数的条件称为初值条件.

都是初值问题.两个引例

例如:

二、基本概念8过定点的积分曲线;

一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

5.积分曲线

二、基本概念9例1的积分曲线例2的积分曲线

二、基本概念10是微分方程的通解,的特解.解:

这说明是方程的解.

是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件例1.

验证函数二、基本概念11求所该曲线满足的微分方程.解:

如图所示,令Y=0,得

Q

点的横坐标即点P(x,y)处的法线方程为Q,且线段PQ被y轴平分,例2.

已知曲线y=f(x)上点

P(x,y)

处的法线与x

轴交点为二、齐次方程一、可分离变量微分方程7.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程

一、可分离变量微分方程131.定义如果一个一阶微分方程能写成

那么原方程就称为可分离变量的

微分方程.例如:

一、可分离变量微分方程14求解的具体步骤如下：第一步，分离变量，原方程化为：第二步，对上式两端分别积分：即可得到通解。可分离变量的微分方程2.解法一、可分离变量微分方程15的通解.解:

分离变量得两边积分得即(C

为任意常数)说明:

在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例1.

求微分方程或一、可分离变量微分方程16例2.

解初值问题解:

分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为一、可分离变量微分方程17例4.

子的含量

M

成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)

随时间t

的变化规律.

解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,

即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知

t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原一、可分离变量微分方程18例3.

解:方程可化为

分离变量得两边积分得即(C为任意常数

)所求通解:一、可分离变量微分方程19练习:解法1

分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C

为任意常数)所求通解:积分一、可分离变量微分方程20例5．已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？解二、齐次方程211.定义例如:

那么就称这方程为齐次方程.二、齐次方程22

2.解法步骤1

将齐次方程转化为形式①步骤2

②步骤3

二、齐次方程23解:分离变量两边积分(C

为任意常数)例1.

解微分方程该微分方程为齐次方程，可化为二、齐次方程24解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0

时,

y=0

也是方程的解)(C

为任意常数)此处练习.

解微分方程二、齐次方程25解:从而分离变量积分得代回原变量得通解即说明:

显然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

为任意常数)求解过程中丢失了.

例2.

解微分方程二、齐次方程26例3

设商品甲和商品乙的售价分别为已知价格P1与P2相关，且价格P1相对P2的弹性为

求P1与P2的函数关系式.

解

所给方程为齐次方程，

整理得

令

故

分离变量，得二、齐次方程27两边积分，得

将

代回，

为任意正常数).

则得到所求通解(即P1与P2的函数关系式)是三、一阶线性微分方程28一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,

若Q(x)

0,

称为非齐次方程.1.

解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程

;方程(2)称为方程(1)对应的齐次方程。三、一阶线性微分方程29对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解用常数变易法:代入非齐次方程，得故原方程的通解即即作变换两端积分得2.解非齐次方程三、一阶线性微分方程30解:

先解即积分得即用常数变易法求通解.则代入非齐次方程得积分得故原方程通解为令例1.

解方程三、一阶线性微分方程31例2

求微分方程

的通解及满足初始条件

的特解．解

把方程化为标准形式令用通解公式求得，通解为将初始条件

代入，得

三、一阶线性微分方程32例3.

求方程的通解.将x看作y的函数，

可将原方程化为

其通解为

解

这个方程不是一阶线性微分方程，

即其对应的齐次方程为三、一阶线性微分方程33把c换成c(y)，得

代入原方程得对

两边积分，得

故原方程的通解为c为任意常数．

y=0也是它的解，不包含在通解中．

三、一阶线性微分方程342.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程法1.取

y

作自变量:

一阶线性方程法2.

作变换

则

代入原方程得

可分离变量方程

7.3几类可降阶的二阶微分方程

一、y(n)=f(x)型36特点:解法:

一、y(n)=f(x)型37解:

例1.二、38特点:解法:

设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、39例2.

求解解:

代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为三、40特点:解法:

令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解三、41例3.

求解代入方程得两端积分得故所求通解为解:两端积分得内容小结42可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二、线性微分方程解的结构7.4二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构

五、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法一、线性微分方程的概念一、常系数线性微分方程的概念44形如的方程叫做n阶线性微分方程，

当f(x)≡0时，

方程叫做n阶齐次线性微分方程；

方程叫做n阶非齐次线性微分方程.

二阶常系数线性微分方程，它的一般形式是称为二阶常系数齐次线性微分方程，

否则称为非齐次的.

其中p，q为常数，f(x)为已知函数.当方程右端f(x)≡0时，方程二、线性微分方程解的结构45证毕是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得定理1.二、线性微分方程解的结构46不一定是所给方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则原因是

我们有下面有定义：说明:二、线性微分方程解的结构47定义1

恒成立，例如，

又例如，

二、线性微分方程解的结构48是二阶线性齐次方程的两个解且y1(x)/y2(x)≠常数,数)是该齐次方程的通解.则定理2.例如,

方程有特解常数,故方程的通解为二、线性微分方程解的结构49是该齐次方程的通解.推论.三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法50和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数),①所以令①的解为②其根称为特征根.对于二阶常系数齐次线性方程三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法511.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为则微分三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法52特征方程时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解可以证明也是方程的一个解，且与因此原方程的通解为线性无关，2.

当三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法53时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:是原方程的线性无关特解，因此原方程的通解为可以证明3.

当特征方程三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法54小结:特征方程:实根特征根通解三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法55的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例1.三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法56例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法57例3

求方程的通解．解从特征方程得出此时故方程的通解为三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法58内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构59二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是其中p，q为常数，f(x)≠0.我们称方程

为原方程对应的齐次方程．四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构60是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是该非齐次方程①的通解.证:

将代入方程①左端,得②①故结论成立.四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构61是n阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是对应齐次方程推论.是非齐次方程①的通解.②①的通解,则四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构62是二阶非齐次线性方程的两个解,

是该它对应的齐次方程证明

因为则定理4.的解.所以四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构63是n阶非齐次线性方程的两个解,

是该它对应的齐次方程则推论.的解.一、二阶常系数非齐次线性方程解的结构64例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构65定理

5.是对应齐次方程的二个线性无关特解,给定二阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构66定理6.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)

定理4、5、6均可推广到n

阶线性微分次方程.

二、两类特殊的二阶常系数非齐次线性方程的特解671．2．A,B,λ,ω为常数。四、二阶常系数非齐次线性方程解的结构68例4.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三

五、两类特殊的二阶常系数非齐次线性方程的特解69二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法五、两类特殊非齐次方程的特解70

为实数,可以证明方程(1)的特解具有形式是一个与Pn(x)为n

次多项式.其中具有相同次数的多项式，

k的取值分下面三种情况：

(1)当λ不是特征方程的根时，取k=0;(2)当λ是特征方程的根，但不是重根时，取k=1;(3)当λ是特征方程的重根时，取k=2.

五、两类特