2025-2026学年全国初中八年级数学竞赛模拟卷（解析版八年级全国）

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（一）

一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分）

1.若分式当的值是负数，贝卜的取值范围是（）

X-1

A.1<x<2B.%>1或％<—2

C.1VxV2或％<-2D.-2cxe2且zH1

【答案】C

【分析】本题主要考查分式的值及•元•次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及•元•次不等式组的解

法是解题的关键：由题意易得｛?二或｛I?1]2；：,然后进行求解即可.

【详解】解：由分式耳的值是负数，可分：

X-1

当0?二;;2时，解得：xv一2；

当Fl二;::时，解得：1。<2；

综上所述，满足条件x的取值范围为：1VxV2或4〈一2

故选C.

2.设a=（2+百+，2-百，则的整数部分为（）

a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出小，进而求出”的

值，再把〃的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可.

【详解】解：Va2=（V2+V3+V2-V3）2=2+V3+2-V3+2J（2+V3）x（2-V3）=2+V3+2-

V3+2J（2+V3）x（2-V3）=4+2J22-（V3）2=4+2=6,a=52+75+42-百>0.

•••a=y/6,

•••a+-=V6+-J==-^=+-7==-7==户，

QV6V6V6V676

•••4<竺<9,

6

AV4<第V®

—J?"

.,.2<a+!<3'

••・a+2的整数部分为2,

a

故选：B.

3.如图，已知正方形A8CD的边长为4,M点为CD边上的中点，若M点是4点关于线段Er的对称点，则詈等

ED

于（）

A空B-1C.2D品

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线.连接EM,

由轴对称性质可知区4=EM,设=则ED=4-x,EM=x,由勾股定理得：（4一%尸+2?=/解方

程求出x的值即可.

【详解】解：连接EM,

（3M、A关于E尸对称，

=EM,

设HE=x,则EZ）=4-x,EM=x,

13M点为CD边上的中点，

（3CM=MD=-CD=2x4=2,

22

在直角△DEM中，由勾股定理得（4一x）2+22=/,

解得“支

04-x=-,

2

造富

ED3

故选：A.

4.已知％+y=1,/+y2=2,那么好+丫5的值是（）

A..—9_B.—19_C・7—_D.—5

2422

【答案】B

【分析】本题考查了因式分解的应用.解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将％+/秒、/+y2

作为整体代入.首先根据完全平方公式a+y)2=/+y2+2为y,把无+y,/+y2的值整体代入求出功的

值.计算出/+y3=(%2+y2)(x+y)-xy(x+y)=£同理将/+必变形为(/+y2)(x3+y3)-

22

xy(x+y)r代入数据计算即可得到结果•

【详解】解：0x+y=1,

Hx2+y2+2xy=1,

又取2+y2=2,

回2xy=-1»

团盯=一支

取2y2=£

0x3+y3=(x24-y2)(x+y)-x2y-xy2=(%24-y2)(x+y)-xy(x4-y)=2x1-(-0x1=

以5+y5=(2_|_y2)(%3+y3)-23-32=(%2+y2)(43+3)_22(y)=2x---Xl=—=

xxyxyy%y%+244

19

4°

故选：B.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上的一点,/.BAD=28°,在AD的右侧作△ADE,使得=

ZD/1E=^BAC,连接CE、DE,DE交AC于点。，若CE||48,则匕0OC的度数为()

A.124°B.102°C.92。D.88°

【答案】C

【分析】根据题意由SAS可证△力BD三△4EC,得至l"4BD="CE,结合两直线平行，同旁内角互补和等

边对等角可推出4力8。=LBCA=/.ACE=^x180°=60°,从而得到448c是等边三角形，进而推出仆ADE

是等边三角形，川知"4DE=60。，结合4OAD=乙BAC-4BAD=32°,由三角形外角的性质即可求得答案.

【详解】解：0ZD/1F=^BAC,

^DAE-Z.DAC=Z-BAC-"AC,即乙£:4C=乙DAB,

团力B=AC,AE=AD,

回△力8。三△力£C(SAS),

(3ZJ8O=Z.ACE,

^CEWAB,

b=-^—+1.5=3.5,

100-60

点(c,a)可知，休息30分钟,

0c=3.5+0.5=4,a=80—60x0.5=50；

点3,0)可知，甲乙再次相遇，d=4+-^-=4+^-=4^

1UU+6U1616

A.甲车的速度是100km/h,故A错误，不符合题意；

B.由以上分析己知甲出发3.5h后到达8地，且甲速度为100km/h,所以A,8两地为100x3.5=350(km),

故B错误，不符合题意；

C.甲车3.5h到达8地，乙车比甲车早出发lh,所以乙车出发4.5h时甲车到达8地，故C正确，符合题意；

D.从上中(1.5,0)和(d,0)可知，甲出发1.5h和4搭h与乙车相遇，故D错误，不符合题意.

故选：C.

二、填空题(共6小题，满分30分，每小题5分)

7.直线y=3%+Z+2与直线y=-％+2k的交点在第二象限，且Z是正整数，则k的值是；交点

的坐标是.

【答案】1(T3

【分析】本题考查了一次函数，关键是将题目中两个一次函数解析式联立，得到求解二

元一次方程组，解得交点坐标，结合交点在第二象限，且k是正整数即可得出结论.

【详解】解：•.•由题意可知，联立两个直线方程可得，

y=3x+k+2...①

y=-x+2k...②

将①一②可得，

4%-k+2=0,

解得：不二?，代入②式得，

2+7k

y=­

二交点坐标为((,罕)，

•.•交点在第二象限，

—<0

二可得，2+7k>，

、4

解得：±<k<2.

•••A是正整数，

：♦k=l,代入坐标可得，交点坐标为(一：,》.

8.已知〃为正整数，若嗯一是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.

n2+6n-16-----

【答案】搞

【分析】此题考查了分式的化简求值，先对分子分母因式分解，得到分子分母有公因式6-2）,则71-2=L

得到n=3,代入求值即可.

【详解】解：n2+3n-10=(n-2)(n+5),n2+6n-16=(n-2)(几+8),

分子分母有公因式5-2）,

_n2f3n-10

13-z-----------是一个既约分数,

n24-6n-16

0n-2=1,

即?i=3,

_^n24-3n-10_(n-2)(n+5)_n+5_3-5_8

0*«2+6»1-16—(n-2)(n+8)-n+8-8-3-11

故答案：总

9.如图，四边形力8CD是菱形，4?=8,且乙18c=60。，例为对角线8。上任意一点，则24M+8M的最小

值为.

【答案】8V3

【分析】本题考查了菱形的性质：对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（30。角所对的直角边

等「斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式2AM+BM转化为2Q4M+MH）,

再利用点M位于4T边上时取等号确定AM+MH的最小值，进而求出24M+BM的最小值.

由菱形性质得N08C=：乙18C=30。；过M作MH1BC,在RtABHM中，由30。角性质得MH=故

2AM+BM=204M+MH）；过A作4T1BC,在Rt△48T中，由乙4BC=60°得4847=30°,故BT=\AB=

4,再用勾股定理算得47=山13-BT2=4百:又4M+MH工47（点M位于AT边上时取等号），因此

2（ZM+MH）>8V3,即24M+3M的最小值为845.

【详解】解：如图，过点A作4718C于T,过点M作MH1BC于

团四边形力是菱形，/.ABC=60°,

^/.DBC=-2^ABC=30°,

（3M41BC,

回4BHM=90°,

团M”=：BM,

1

AM+-BM=AMMH,

乙

团471BC,

^LATB=90°,又由乙4BC=60。知=30°,

^\BT=-AB=-x8=4,

22

团47='AB2-BT2=V82-42=4百，

vAM+MH>AT（点M位于47边上时取等号）

AM+MH>48，

.•.4M+：BMN4V5,

/.2AM+BM>8百

团24M+8M的最小值为86，

故答案为86.

10.河水是流动的，在B点流入•个静止的湖中.游泳健将朱泳在河中顺流从A到B,再穿过湖游到C,共用

1小时；而由C到8再到4共用2小时.如果湖水是流动的，从B流向C,速度与河水速度相同，那么朱泳

从<到B再到C,共用50分钟.这时，他从C到B再到人共用一小时二

【答案】2.54

【分析】本题考查分式方程的应用、解决本题的关键是首先假设全程为1,并以全部顺水行完需要50分钟

作为突破口，并做好合理的假设.

首先假设全程为1，那么从A到B到C全部顺水，根据朱泳从A到8再到C,共用50分钟以及速度时间关

系求得顺水行的速度为:，假设朱冰在最初1小时全部顺水，就会比全程多行1=：,也就是说该种

情况说明行8c段同样的时间，顺水比静水多行全程的士同理行段同样的时间，逆水比静水少行全程的;，

因此逆水行2小时，只能行全程的1-[=故设游泳健将朱泳在从。到8再到A逆水行进中共用x小时，

由2=：,解得/即为所求.

【详解】解：设全程为1，设游泳健将朱泳在从C到&再到A逆水行进中共用X小时，

由题意可得，——

解得％=2.5,

经检验，无=2.5是原方程的解，

团他从。到B再到人,共用2.5小时.

故答案为：2.5.

]1.已知盆=苧,那么算式篇+濡的值为

【答案1—6或6

【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，由芸=乎可得。=（2或+3）24

再运用二次根式的混合运算法则亿简原式可得浅，然后将Q=（2a+3）2》代入化简计算即可.

7ab'J

【详解】解：嗡=苧,

曲=吟5='弋3)厂、b=(2V2+3大

3-2V2(3-2V2)(2V2+3)k7

y[ao+ba-4ab

------1=+~F=——

ayjabyjab-b

(\[ab+b)(\/ab—6)(a4-y[ab)[a—y[ab)

(a+\[ab)[y[ab-b)(a+y[ab)[4ab-b)

ah-b2+a2-ab

(a-b)y/ab

a2-b2

(a—b)\[ab

(a+b)(a-b)

(a-b)\[ab

G+b

\[ab

(2a+3pb+b

J（2企+3）为2

[12V2+3）24-l|d

J（2&3为2

当心|（2后3）2+>.[（20+3）2+小。四+31+1_18+12小_6(3+28)

=6；

向小一彘,3）2V2+3272+3

当时'繇^嘿翳=嗤*霁=符…

综上，该代数式的值为-6或6.

故答案为：—6或6.

12.已知仁y为整数，且满足G+》（<+打=一家.一力求％+y的值

【答案】。或±1

【分析】本题考查的是分式的混合运算，因式分解的应用.

根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即匕.

【详解】解：,•・C+；）（9+夕=_|（2一/）,

鸿=一沿一/

&+；)+沿-6=。，

(-+-)+1(-+-)(i--)=0,

、xy，3'xy/4y，

(冷)l-)」=。，

•••工+工=0或1+；(工一工)=0,

xy3xy

••・%+y=0①或；：

**y，

由②得：2y—2x=-3xy,

2x-3xy=2y,

(2-3y)x=2y,

2y2

2-3厂2

••,x,y为整数，

肥-3是2的约数，

y

回y=1或2,

•••当y=l时，x=-2；当y=2时，x=-1,

.••%+丫的值为0或±1,

故答案为：。或±1.

三、解答题（共6小题，满分60分）

13.（本题10分）先化简，再求值：（1一号字）+T~,其中x、y满足F"+y=3V1+l

【答案】2xyf2

【分析】本题考查解二元一次方程组，分式的混合运算及求值，二次根式的运算.先解二元一次方程组求

出工和y的值，再利用分式的运算法则化简，最后将x和y代入求值即可.

2x+y=372+1①

【详解】解:

%-y=2②

①+②得：3x=3V2+3,

解得％=V2+1,

将%=V2+1代入②得：V24-1-y=2,

解得y=a-l.

x2-2xy+y1

x2—y2x2+xy

(无-y)21

=1------------4--------

(x+y)(x-y)Jx(x+y\

x+y-(x-y)

=-------------------x[x+y)

x+y

2y(,、

=——•x(x+y)

x+y

=2xy,

将《=企+1,y=V2-l代入，得:

原式=2(&+1)(a_1)

=2x(2-1)

=2.

14.（本题10分）如图，在△ABC中，和乙4cB的平分线相交于点。，过点。作EFIIBC交于E,交

力C于尸，ODJLAC于。.设8E+BC+CF=m,OD=n.试求梯形8C/E的面积.

【分析】过。作0H18C于“，可得。“=。。，Z-EBO=/-OBC,乙FCO=^BCO,可证aOBE和aOCr为

等腰三角形，则BE=OE,CF=0F,再用梯形面积公式即可解题.

【详解】解：过。作OH1BC于”，

回/A8C和4力C8的平分线相交于点0,0D1AC^-D

□OH=0D=n,乙EBO=乙OBC,Z.FCO=Z-BCO

^EF||BC

^OBC=乙EOB=乙EBO,乙FOC=乙OCB=乙FCO

0AOCF为等腰三角形，

团=OE,CF=OF

即BE+CF=0E+OF=EF

叫形8"E="EF+80。”

1

=-(BE+CF+BQOH

乙

1

=-mn

2

IS.(木题10分)如图，已知在中，4艮4c为直角，AB=AC,。为力C上一点，CE±BDTE.

C

BA

（1）若平求证：CE=^RD-

⑵若。为AC上一动点，4力£7）如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由.

【答案】（1）见解析；

（2）不变，45°,理由见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键.

（1）利用等角的余角相等判断出乙480=乙4CF,证明△480=A/1CF,判断出BO=CF,再证明CE=EF,

进而判断出Cr=2BD,即可得出结论；

（2）作出辅助线，利用全等三角形的面枳相等，进血判断出=即可得出AE是48EF的角平分线.

【详解】（1）证明：连接力E,延长CE,交84的延长线于F

C

•••Z.CDE+乙DCE=90°,LABD+^ADB=90°,

Z.ADB=Z.CDE,

•••Z.ABD=Z.ACF,

在A力8D和△AC尸中，

(£BAD=乙CAF=90°

AB=AC,

(Z.ABD=Z.ACF

空△ACF(ASA),

BD=CF,

vBD1CE,

团BEC=乙BEF,

团BD平分4ABC,

团乙CBE=LFBE,

团BE=BE,

0ABCE=△BFE,

CE=EF,

二CE=-CF=-BD,

22

(2)乙4ED不变化,

理由：如图，过点4作4Gle尸于G,作4H1BD于〃,

是直角，CELBD,

:.Z.BAC=乙CAF=乙BEC=90。，

LC,DE+乙DCE=90°,乙ABD+Z.ADB=90°,

Z.ADB=Z.CDE,

:.Z.ABD=Z.ACF,

在A480和△4C尸中，

(/.BAD=Z.CAF=90°

AB=AC,

(4ABD=乙ACF

••.△ABD三△ACF(ASA),

,0,S&BAD=S&CAF‘BD=CF,

BD-AH=CF-AG,而BD=CF,

；・AH=AG,

vAH1EB,AG1EG,

EA平分NBEF,

•••ZBE4=〃BEG=45。，

2

即:4AED不变化.

16.(本题10分)对于一个正整数〃，若N能写成：N=a2+b2-b为正整数)，且a=3k+1,b=3k-1

(其中k为自然数)，则称N为“幸运整数”.例如：当k=l时，a=4*=2,则N=12,所以12是“幸运

数〃.

⑴求三位数中最大的“幸运整数〃；

⑵如果两个"幸运整数"的差是72,求这两个“幸运整数

【答案】⑴903；

(2)84和12.

【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键.

(1)根据题意，先求得N=(3k+I)2+(3k-I)2-(3k+l)(3k-1)=9k2+3,计算知当k=10时，N=

9X102+3=903,当k=ll时，/V=9Xll2+3=1092,即可得出结果；

(2)由(D知：“幸运整数可表示为9k2+3(k为自然数)，则当k=m,n时得到两个“幸运整数”为9m2+

3,9n24-3,由题意可知：(9m2+3)-(9n24-3)=72,即(m+n)(m-九)=8,根据机，”为自然数，可

得加=3,九=1,将其代入计算即可.

(详解］(1)解：:N=M十〃2-必，u=3k+1,b=3k—1,

AN=(3k+I)2+(3k-l)2-(3k+l)(3k-1)=9k2+3.

•••k为自然数，

:•当k=10时，N=9x100+3=903,

当A=11时，N=9x121+3=1092,

二三位数中最大的"幸运整数"是9C3；

(2)解.：由(1)知：“幸运整数"N可表示为9k2+3(k为自然数)，

则A=m,n时得到两个"幸运整数"为:9m2+3,9n2+3,

由题意:(9m2+3)—(9n2+3)=72.

9m2-9n2-72,

•••m2-n2=8»

•••(m+n)(m—n)=8.

•••为自然数，m+n>m-n

团产或产

—n=2—n=1

解方程组得：［巾=^或］根一?(舍去)，

(九=1卜=(

m=3,n=1.

:.9m2+3=84,9n2+3=12.

・••这两个“幸运整数”分别为84和12.

17.(本题10分)仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题:

OAI=(VT)+1=2,S]=学

2

OAj=(V2)+1=3,S2=

⑴请用含有九5是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出。40的值；

⑶求出S：+Sf+sj+-+S，o的值.

【答案】⑴（闽）2+l=n+l,Sn=?（九是正整数）；

（2）\<w；

（3咛.

【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第九个图形的一直角边就是正，然后利

用面积公式可得；

（2）由上述。/2=鱼，。43=百，根据规律可知。/10=

（3）S：+S?+5抖…+的值就是把面积的平方相加就可.

2

OAl=(V2)+1=3,S2=

0"=(V3)2+1=4,S3=圣

・・・・

团(、向2+1=71+1,sn=Y("是正整数)；

(2)解；^OAl=1,

OAj=(Vl)2+1=2,

OAl=(V2)2+1