2026-2027学年第二章有理数的运算-新定义型及规律探究题型总结练上学期七年级上册数学人教版（2024）（含答案）

/有理数的运算新定义型及规律探究题型总结练2026-2027学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册一、有理数运算中的程序问题1．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为．2．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为．3．按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是．4．小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是．二、古代中的有理数运算问题5．如图是中国古代“洛书“的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是．6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是天．7．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是．（注：）8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是．三、有理数运算中的新定义型问题9．对于有理数，，定义运算：，如．(1)计算的值；(2)计算的值．10．定义一种新运算“△”：，例如：．计算：(1)；(2)．11．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．(1)求的值；(2)求的值．12．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．(1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）．①，；②，．(2)计算：(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：．四、有理数运算中的规律探究问题13．观察下列等式：，，，把以上三个等式两边分别相加得：这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用：计算：的值．14．【观察思考】观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：．【探索规律】（1）猜想并写出：______．（2）直接写出下列各式的计算结果：______；【迁移运用】（3）．15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）：______；______；______；【拓广应用】（2）计算：______；．16．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算．小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算．例如，；（2）．【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①_________；②_________；③__________；④__________；通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）；（2）①若，则_________；②若，则_________；【探究二：三个数“绝佳”运算】（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律．请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律．拓展练1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（

）A．-2025 B． C．2024 D．20252．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（

）A． B．8 C．4 D．3．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（

）A．1 B． C． D．134．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（）A． B． C． D．5．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（

）A． B． C． D．答案一、有理数运算中的程序问题1．解∶开始输入的数为0，解：返回继续运算；输出结果；故答案为∶解：当时，，故答案为：．解：，故答案为：．解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，则；；；故答案为：2或7或37．5.解：最左边的一列三个数字和为，∴由最下面一行数字可得右下角代表的数是，故答案为：．6．解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数，故答案为：123．解：∵，∴十进制数2025换算成八进制数是3751．故答案为：3751．解：图2表示的天数是：故答案为：．三、有理数运算中的新定义型问题9．（1）解：依题意得：；（2）解：．10．（1）解：；（2）解：．（1）解：．所以的值为49．（2）解：；．所以的值为109．（1）①∵，∴，①是“隔一数对”②∵，∴∴②不是“隔一数对”故答案为：①（2）原式（3）原式四、有理数运算中的规律探究问题13．解：…14．（1）解：∵，∴．故答案为：．（2）解：∵；（3）解：．解：（）；；；故答案为：；；；（）解：原式，故答案为：；解：原式．（1）∵，∴①；②；③；④；由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；故答案为：，，，；满足；（2）∵，∴，∴或，∴或；∵，∴，，∴，∴或，解得或；故答案为：①4或；②1或；（3）∵，∴，，∴；∵，∴∴等式不成立，∴“绝佳”运算不满足结合律．拓展练解：∵，∴，故选：D．解：，故选：A．解：若输入1，则，即输出的结果是．故选：B解：若，第1次结果为：3，第2次结果是：10，第3次结果为：5，第4次结果为：16，第5次结果为：1，第6次结果为：4，第7次结果为：1，第8次结果为：4，…可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结