新版2026年秋季七上数学讲义（人教版）合集

第1页共123页2、在数轴上，-5与-8之间的距离是8第2页共123页(1)比较大小：bc,-αb;第3页共123页10、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：②数轴上表示-2和-6的两点之间的距离是;③数轴上表示-4和3的两点之间的距离是;(2)归纳：一般地，数轴上表示数m和数n两点之间的距离等于|m-n|。②如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求|a+4|+|a-3|的值。第4页共123页【问题情境】如图，在数轴上点A表示数-3,点B表示数1,点C表示数9,点A、点B和示的数为(用含t的式子表示):第5页共123页2、(长郡2025年秋月考)已知若数轴上点A、点B表示的数分别为a,b,则AB=|a-b|:线如图，数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为8,点P从点A出发，以每秒3个单位长(1)填空：①A、B两点间的距离AB=,线段AB的中点表示的数为;(3)求当t为何值时，第6页共123页3、(雅礼2025年秋期中)如图，数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,满足|a+5|+(b-8)²=0,机器人M从点人N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回，机器人M到达点A立即停止，与此同时，机器人N以原速折返。设机器人M运动时间为t秒。(2)求两个机器人M、N相遇的时间t及相遇点P所表示的数；(3)两个机器人在相遇点P折返后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10?若存在，求出此时1的值及机器人N所在位置表示的数：若不存在，第7页共123页4、(青竹湖湘一2023年秋期中)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入上点A、点B表示的数分别为a,b,则A、B两点之间的距离AB=|a-b|。如图，数轴上点A表示的数为-1,点B表示的数为3。(1)线段AB的长度是,设点P在数轴上对应的数为x,若|x-3|=5,则x=;(2)若点P表示的数是-4,将点P以每秒2个单位长度的速度向右移动，当经过多少秒时，点P到点A、点B的距离之和是8?(3)若点A以每秒3个单位长度的速度运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少?第8页共123页5、(青竹湖湘一2024年秋月考)如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a,b,且满足(1)请直接写出a=__,b=_;(2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单第9页共123页6、(长郡2025年秋期中)距离是数学、天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度。如图，一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为2:1。(2)若P点为数轴上一点，且满足BP=2AP(3)若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k,使得(30A-kOB)的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变?若存在，求出k的值并求出对应的(3OA-kOB)的值；若不存在，请说第10页共123页7、(青竹湖湘一2025年秋月考)如图，数轴上三个点A、B、C表示的数分别为a,b,c,其中a,cC两点同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为1个单位长度秒。(1)直接写出a=,b=,C=_;(2)若当运动时间为t秒时，线段CP的中点M与线段BQ的中点N的距离为2,请求出t的(3)若点D从原点出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发，当点P追上点D后立即以原速返回A点，当点P回到A点时，三点都立即停止运动。在点P返回的过程中，存在常数k,使得运动时间t在某个时间段内2AP-k·BP为定值，请求出这个时间段和k的值。第11页共123页(2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左点C之间有一点M,始终满足AM=CM,在点B和点D之间有一点N,始终满足BN=DN,第12页共123页9、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、5。(1)请在数轴上标出点A和点B:(2)若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，沿着数轴向右运动，其中点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒。①若1秒后点P追上点Q,则t=秒：②当点P追上点Q后，点P立即返回，当t=秒时，点P与点B之间的距离为两(3)若数轴上有一点M对应的数为-5,且点C从点M出发后以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，运动时间为t秒，若点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,当AC+BC取最小值时，求t的取值范围，并写出AC+BC的最小值。第13页共123页10、已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数-24、-10、10,动点P从A出发，以(1)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=,PC=;第14页共123页11、背景知识：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合。研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a,b,则A、B两点之间的距离AB=|a-b|,线段AB的中点表示的数为·如图，数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为8。(1)填空：A、B两点间的距离AB=,线段AB的中点表示的数为(2)若M为该数轴上的一点，且满足MA+M(3)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B两点间的距离为4。备用图第15页共123页(1)点P为一动点，其对应的数为x,若PA=2PC,求x的值；和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒。请问在运动过程中，BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其(3)在(2)的条件下，若点C运动2秒后掉头向左继续运动，速度不变；A、B保持原来运第16页共123页13、(长郡2024年秋月考)我们知道|4=|4-0|,它的几何意义是数轴上表示4的点与原点(即表示0的点)之间的距离；又如式子|7-3|,它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间(1)数轴上表示-4和2的两点之间的距离是;N(点M在N的左侧)两点之间的距离为2024,且M、N两点经过上述折叠后重合，则M、N表(3)如图，在数轴上剪下6个单位长度(从-1至5)的一条线段，并把这条线段沿某点向左折第17页共123页知识运用：若已知数轴上点A表示数-2,点B表示数10。(1)若点C表示数14,则点B是的“雅点”:第18页共123页表示的数为-1,点B表示的数是3,表示数2的点C到A的距离是3,到点B的距离是1,那么C是【A,B】的“智慧点”;表示数0的点O到点A的距离是1,到点B的距离是3,那么点0是【B,如图，已知数轴上点M表示的数是-4,点N表示的数是4。①点D表示的数是-2()②点E表示的数是2()③点F表示的数是8()(3)现有一点P从点N出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动。问点P运第19页共123页1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3,则a-3=排列，正确的是()。4、规定：[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]=0,[-4.7]=-5。则[-6.2]和[3.9]所表果是(),第20页共123页1、绝对值等于5的整数有个；绝对值小于5的整数有个。2、若x为有理数，则|x|-x表示的数是()。5、已知|a|=-a,则化简|a-1-|a-2|所得的结果为()。7、同学们，我们都知道|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可以理解为5与-2(2)若数轴上表示数a的点位于-4与6之间，求|a+4|+|a-6|的值。第21页共123页(2)若有理数a<b,则|a-b|=;第22页共123页时，5-f(x)有最大值5;④式子f(x-1)+g(x+1)的最(3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc<0,的值。第23页共123页(1)当x<-1时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1(2)当-1≤x<2时，原式=x+1-(x-2)=3(3)当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1第24页共123页17、阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上表示数x的点与原点的距离，即解：在数轴上与2的距离为3的点对应的数为5和-1,即x的值为5和-1。解：在数轴上与-1和2两数所表示的点的距离之和最小为3,此时x的取值范围是第25页共123页(2)已知M(-6,x)+D(6,8)=5,求D(x,9)的值；第26页共123页(1)-3和5关于2的“美好关联数”为!(3)若1和2关于x的“美好关联数为t,3和4关于x的“美好关联数”为t₂,求①t的最小3、(师大附中2024年秋期中)已知点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,A、B距离表示为a|-b|。例如|5-3|表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间(4)请问代数式|x+2|+|x+3|+2|x-4|的最小值是多少?满足最小值时所有整数x第27页共123页如图，数轴上点A表示的数为-5,点B表示的数为1。②由以上的探索猜想：当x=时，|x+4|+|x+1|+|x-2|的值最小，最小值为 第28页共123页【课后练习】的相反数是,倒数是,绝对值是2、若|a-a,则有理数a在数轴上的对应点一定在(。A、原点左侧B、原点或原点左侧C、原点右侧D、原点或原点右侧6、下列代数式中，值一定是正数的是()。7、如果a是不等于0的有理数，那么化简的结果是()。8、若a,b都是非零的有理数，则式子：的所有可能的值共有()。第29页共123页9、已知实数a,b,c的大小关系如图，下列说法：①abc<0:②a+b-5c<0;③论是(。11、(长沙市一中2024年秋期中)下列说法中：则x=3:④若代数式3x+|9-2x|+|x-2|+2013的值与x无关，则该代数式的值为2024;⑤若a+b+c=0,abc<0,则的值为-1.正确的判断是()。第30页共123页1、计算下列各题：第31页共123页2、小亮的妈妈每天早上要送新鲜的蔬菜到市场去卖，下表是上周送出去的20筐新鲜蔬菜的质量记录，每筐以25千克为标准质量。求上周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量。253424与标准质量比较(千克)的千克数记为正数，不足的千克数记为负数):+0.5,+0.3,-0.9,+0.1,+0.4,-0.2,-0.7,+0.8,+0.3,+0.1。那么超市购进的橙子共多少千克?发，晚上留在A处，规定向东方向为正，当天他的行驶记录如下(单位：千米);+10,-8,+7,(2)若摩托车耗油0.05升/千米，问这一天摩托车共耗油多少升?(3)在这一天中，该巡警与天安门相距最远时是多少千米?第32页共123页5、(长郡2024年秋月考)观察下列等式：(1)猜想并写出：(2)求下列式子的计算结果：(3)探究并计算：将以上三个等式两边分别相加得：(1)计算：(2)计算：7、如果有理数a,b满足|ab-2|+(1-b)²=0,则的值为。第33页共123页1、(师大附中2025年秋期中)定义“数对映射f(x,y),对于任意有理数x,y,若x≥f(x,y)=(x-1)+y:若x<y,则f(x,y)=x+(y-2(1)计算：f(4,-2)=.;f(4,8)=;(2)如果f(m,3)=3,求m的值：(3)在(2)的基础上，若f(n,m)=|n|,求整数n的所有可能值。2、观察下列两个等式：给出定义如下：我们称使等式3、(雅礼2025年秋期中)已知a,b是有理数，定义新运算：。例如：(3)已知有理数a,b,c(a≠b≠c),第34页共123页4、(长沙市一中2022年秋期中)小明是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了有理数的乘方个相同有理数(均不能为0)的除法运算叫做除方。例如：2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类比有理数的乘方。小明把2+2÷2记作g(3,2),(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作g(4,-3)。(2)关于“有理数的除方”,下列说法正确的是(填序号)。①g(5,3)=g(3,5);第35页共123页的千位数字与十位数字的和为2+8=10,百位数字与个位数字的和为3+7=10,所以2387是一个第36页共123页6、(雅礼2022年秋期中)阅读下列两则材料，解决问题：材料一：已知任意一个四位数m,若个位与百位上的数字之和为8,千位与十位上的数字之和材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数。例如：9=3²,则9为完全平方数。(2)一个“双雅数”,它的千位上的数是a,百位上的数是b,十位上的数是c,个位上的数是d,请证明它是11的倍数；满足条件的数m。第37页共123页N,并规定K(M)=N-M,我们称新数K(M)为M的“格致数”。第38页共123页(2)性质应用：第39页共123页答案：(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101×50=5050,他使用了一种巧妙的方法，展示了非①+②得：25=(1+100)+(2+99)+..+(100+1)=100×(1+100)则G(a,b)=a+b。例如：G(1,3)=1-3=-2,G(2(1)填空：G(-1,3)=;G(2,-3)=(2)已知x+y=20,且x>10,求G(6,x)-G(10,y)的值；(3)设代数式M=G(1,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+...+G(199,a+199b),已知A、B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b,且线段AB的长为4,若数a满足关系式G(-a²+1,1)=0,求M的值。第40页共123页10、(青竹湖湘一2025年秋月考)已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0,若它们 (3)已知某三位数6ab=6×100+a×10+b×1,(其中1≤a≤9,1≤b≤9且a,b为整数),第41页共123页【课后练习】A、a=b=0B、a,b至少有一个0C、a=0D、a,b最多有一个02、下列说法中正确的是()。A、0是最小的有理数B、一个有理数不是正数就是负数C、分数不是有理数D、没有最大的负数3、下列说法中正确的是()。A、正数和负数统称有理数B、有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0五类C、一个有理数不是整数就是分数D、整数包括正整数和负整数4、用四舍五入法将数0.618精确到百分位的结果是()。5、计算下列各题：(4)(要求用简便方法运算)第42页共123页(1)求a₂,a₃,a₄的值：(2)根据以上计算结果，求a₂₀,aπa*b=b²+a。例如：3*1=3²-1=8,2*3=3²+2=11。第43页共123页9、光明奶粉每袋标准质量是454克，在质量检测中，超出标准质量记为正，若质量低于标准质量3克或3克以上，则这代奶粉视为不合格产品。现在抽取10袋样品进行质量检测，结果如下(单位：克):袋号123456789记作0(1)这10袋奶粉中，不合格袋号是(2)质量最多的是哪袋?它的实际质量是多少?(3)这10袋奶粉的总质量是多少?10、小虫从点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程(单位：厘米)依次为：-5、-3、+10、-6、-8、+12、-10。问：(1)小虫最后能否回到出发点0?(2)在爬行过程中，如果每爬行1厘米，奖励2粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻?(3)小虫离开出发点O的最远距离是多少?11、某天长沙市交警大队的一辆警车在东西方向的街上巡逻，警车从交警大楼的A处出发，规定向东为正，当天行驶记录如下(单位：千米):+10、-9、+7、-15、+6、-5、+4、-2。(1)最后警车是否回到交警大楼A处?若没有，在交警大楼A处何方?距交警大楼A处多远?(2)警车行驶1千米耗油0.2升，油箱有油10升，够不够?若不够，途中还需补充多少升油?第44页共123页第4讲单项式与多项式1、单项式的系数是,次数是◎2、单项式的系数是,次数是1、多项式3a³-5a²+1的次数是,常数项是5、已知2x²+3y+7的值是8,则4x²+6y+9的值为(。(整体代换)6、若式子3x²-4x+6的值是9,则的值是7、已知代数式x²-2x+7的值为3,则代数式3x²-6x+7的值为第45页共123页例如：如果2x²+3x=1,求代数式2x²+3x+2022的值。(1)如果2x²+3x=-1,求代数式2x²+3x+2025的值；(2)如果x+y=3,求代数式6(x+y)-3x-3y+2017的值。原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)=2×(-4)=-8(1)已知a²+a=3,则2a²+2a+2023=1(3)已知a²+2ab=5,ab-2b²=-6,求代数式3a²+4ab+4b²的值。第46页共123页我们知道：5x+3x-4x=(5+3-4)x=4x,类似的，我们把(m-n)看作一个整体，则(1)把(a+b)²看成一个整体，合并2(a+b)²-6(a+b)²-3(a+b)²(2)若m(y²-3z)+n(y²-3z)=y²-3z,且y²-3z≠0,求m+n+2024的值；第47页共123页(1)x²-5xy+xy+2x²第48页共123页其中(2)-(3+4a-6b)-2(b-a+2)=(1)求a+b+c+d+e的值：(2)试求a+c的值。第49页共123页【思考题】1、(雅礼2023年秋期中)我们规定：使得a-b=ab成立的一对数a,b为“积差等数对”,记为(a,b)。例如：因为1.5-0.6=1.5×0.6,(-2)-2=(-2)×2,所以(1.5,0.6),(-2,2)都是“积差(3)若数对(a,b)是“积差等数对”,求代数式4[3ab-a-2(ab-2)]-2(32、(师大附中2023年秋期中)我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个(3)在(2)的条件下，先化简，再求值：-2(a²-3a)+(5a²-2a)。第50页共123页3、(青竹湖湘一2022年秋月考)定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个和为20+8=28=7×4,所以多项式20x+8y①2x²-9x;②3a+5b;(3)若多项式4mx-ny是关于x,y的“青一多项式”第51页共123页【课后练习】_2、多项式4a³-2a³b-b²+2⁴中，四次项是4、多项式3x²-2x-7x³+1是次项式，最高次项是,常数项是香5、下列说法中正确的是()。A、0不是单项式B、x没有系数C、是多项式D、-xy⁵是单项式6、在代数式x²+5,-1,x²-3x+2,中，整式有()。7、已知-2m⁶n与5m²n是同类项，则()。8、下列选项中是同类项的一组是()。9、已知单项式3a"b²与的和是单项式，那么m=,n=第52页共123页10、代数式x²+x+3的值为7,则代数式2x²+2x-3的值为11、若代数式2x²+3y+7的值为8,那么代数式6x²+9y+8的值为12、代数式x²+2x+7的值是3,则代数的值是()。(1)5(a²b-3ab²)-2(a²b-7ab²)(2)3(a²-a²b)-2(a²-2a²b+3)第53页共123页2、观察一组等式的规律：1×3+1=2²,2×4+1=3²,3×5+1=4²,4×6+1=5²,.……则3×5=4²-1,4×6=5²-1,5×7=6²-1,6×8=7²-1,……第n个等式(n为正整数)用含n的整式表示出来。·5、在一列数-2x,3x²,-4x³,5x⁴,-6x⁵...中，第k个数(k为正整数)是,第2026个数是第54页共123页7、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示)的规律，拼成若干个图案：(1)第3个图案中有白色地面砖块；(2)第n个图案中有白色地面砖块。n8、下面的图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为:第n个图案中白色的正方形的个数为第2个第3个第1个第2个第3个9、用正三角形，正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 (用含n的代数式表示)。第1个图案第2个图案第3个图案10、如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，是课本上多次出现的教学活动。则搭12条小鱼需要根火柴棒；搭n条小鱼需要根火柴棒。第55页共123页11、将自然数按下列三角形规律排列，则第15行的第一个数是112、观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：(2)请猜想：1+3+5+7+9+...+(2n-1)+(2n+1)=;(3)请用上述规律计算：31+33+35+...+79。13、观察下列等式：第4个等式：请回答下列问题；(1)按以上规律列出第5个等式：a.=三_第56页共123页按照此规律写下去，这个多项式的第八项是·(3)如果某一图形共有99枚棋子，你知第57页共123页第6讲整式的加减C、次数不高于6的整式D、次数不低于6的多项式2、一个多项式与3x⁴-4x的和为1-2x+4x⁴+3x²,这个多项式是第58页共123页(1)计算3⊗(-2)的值；(2)当A=2x²-3xy-y,化简A⊗B;(3)若|x+2|+|y-1=0,求第(2)问中A⊗B的值。第59页共123页11、已知整式M=x²+5ax-x-1,整式M与整式N之差是3x(1)求出整式N;(2)若a为常数，且2M+N的值与x无关，求a的值。12、已知A=mx²+2x-1,B=3x²-nx+3,且多项式A-B的值与m,n的取值无关，试确定m,n的值。13、小李家住房的结构如图所示：(1)请你算一算小李家的住房面积共是多少?(3)如果x=3,y=2,铺木地板每平方米的造价约为200元，请你算出小李大约花多少钱用第60页共123页1、(明德2025年秋期中)综合与探究：对于两个有理数a和b,我们定义一种新的运算；a田b=|a|-2b。例如：3④(-1)=|3|-2×(-1)=3+2=5。①(-2)④3=②5③(-3)田m=◎(2)已知有理数(x,y)满足x<0且x≠-1,若(x田y)田y=0,求y的值(用含x的式子表2、(师大附中梅溪湖2023年秋期中)定义：若a+b=2,则称a与b是关于2的梦想数。(1)3与是关于2的梦想数；7-x与是关于2的梦想数(填一个含x的代数式);(2)若a=x²-4x-1,b=x²-2(x²-2x-1)+1,判断a与b是否是关于2的梦想数，并(3)若c=kx+1,d=x-3,且c与d是关于2的第61页共123页系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0,即(ax-y+4)+(3x+6y-3)=(a+3)x+5y+1,(1)关于x的多项式(2x-3)a+a²-3x的值与x无关，求a的值。(2)7张如图1的小长方形，长为m,宽为n,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCDBC第62页共123页①3xy①3xy²与C、次数不高于4次的整式D、次数不低于4次的整式6、多项式8x²-3x+5第63页共123页7、已知A=-x²+1,B=2x²+x,求(1)求2A-B;(2)若x,y满足(x-1)²+|y-2|=0,求2A-B的值。(1)求2A-B:(2)当x=-2,y=5时，求24-B的值：(3)若2A-B的值与y的值无关，求x的值。第64页共123页第7讲一元一次方程【知识要点】(3)当a=0且b≠0时，方程无解。(5)3(x-2)=x-(7-8x)第65页共123页9、定义ab=(a-2)(b+1),例如2⊗3=(2-2)×(3+1)=0×4=0,则方程-4⊗(x+3)=6的解为第66页共123页例如：2*3=2×2×3=12.(1)求3*(-4)的值；(2)若2*(x-2)=12,求x的值。,,第67页共123页值”[x]=x-2;若x<0,则有理数x的“青一值”[x]=x(2)已知有理数a>0,b<0,且它们的“青一值”相等，即[a]=[b],试求代数式(3)解方程：[2x]+[x+1]=4。例如：方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2,则方程2x=-4(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和-3x=mn+n都是“和解方程”,求代数式第68页共123页第69页共123页4、(雅礼2023年秋期末)已知x₀是关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解，y。是关于y的方程(2)若关于x的一元一次方程和关于y的方程2y-3=1互为“雅礼方(3)关于x,y的两个方程2(x-1)=3m-2与方若对于任何数m,都第70页共123页(3)若关于x的方程m(x-4)=2x+2与关于y的方程m(y-4)=y+2第71页共123页例如：方程x-2=0的解是x=2,方程2y=6的解是y=3,且满足,则称方①2x=0;②3+x=2(x+1);③3(3)若对于任何正数m,关于x的方程2(x-3)=4m-9都是关于y的第72页共123页7、若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解与关于y的方程cy+d=0(c≠0)的解满足|x-y=1,则称方程ax+b=0(a≠0)与方程cy+d=0(c≠0)是“美好方程”。例如；方程2x+1=5的解是x=2,方程y-1=0的解是y=1,因为|x-y=1,方程2x+1=5与方程第73页共123页8、(师大附中2023年秋期中)定义：若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解与关于y的方程(3)关于x,y的两个方程2(x-1)=3m-1与方程3y=mn+n,若对于任何数m,都使得它第74页共123页9、(雅礼2024年秋期末)定义：(1)若关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解与关于y的方程cy+d=0(c≠0)的解满足|x-y|=m(m为非负数),则称方程ax+b=0(a≠0)与方程(1)①点A表示的数是-2,点B表示的数是1,点C表示的数是4,A、B、C三点(填(2)点M表示的数是m,点B表示的数是1,点C表示的数是4,且M在B、C之间，若B、(3)若无论t取任何有理数，关于x的方程(a,b为常数)与关于y的方程第75页共123页6、已知k为非负整数，且关于x的方程3(x-3)=A、若x=y,则x+5=y+5B、若a=b,则ac=be第76页共123页9、解方程下列去分母正确的是()。11、对任意四个有理数a,b,c,d,,,求x的值，12、已知关于x的方程(k-5)x+2k=b-3x。若该方程有无数个解，试求出k,b的值。第77页共123页第8讲一元一次方程的实际问题一、行程问题1、两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇?3、姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追妹妹。问多少分钟后能追上?4、甲、乙两人从同一地点出发前往某地。甲步行每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲?第78页共123页(2)若两车同时开出，同向而行(快车在后),经过多长时间快车可追上慢车?第79页共123页二、工程问题1、有一工程，甲、乙两队合作10天可以完成，甲队单独做15天可以完成。今两队合作7天后，2、一项工作，甲单独做20小时完成，乙单独做16小时完成。现在先由甲单独做5小时，剩余3、某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做44、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成?第80页共123页1、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?2、某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个。已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套?3、某家具厂现有10立方米木材，准备用来制作方桌，其中用部分木材制作桌面，其余木材制作桌腿。已知制作一张方桌需要1张桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作50张桌面或300条桌腿，(1)求制作桌面的木材和制作桌腿的木材分别为多少立方米?(2)若该家具厂的木材进货价为每立方米1500元，制成方桌后(边角废料忽略不计),每张方桌的售价为150元，则该家具厂制作的这批方桌全部售出后共获利多少元?第81页共123页1、某商品的标价为165元，如果降价以9折售出，仍可获利10%,则该商品的进价是多少?2、红叶商店对某种商品调价，按原价的8折出售，这时商品的利润率是20%,此商品的进价是560元，这件商品的原价是多少元?3、某商店进了一批商品，提高进价的30%后标价，又以8折卖出，结果仍获利200元，这种商品的进价为多少元?4、某种电器产品，若以原定价的95折销售，可获利150元；若以原定价的75折销售，则亏损50元，则该种商品每件的进价为多少元?第82页共123页1、一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6,把这个两位数加上18后，正好等于这个两位数的十位数字与个位数字对调后的两位数，请2、有一个三位数，其各位数字之和为16,十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位与个位数字对调，那么新数比原数大594。求原数。元收费：超过10吨部分，按每吨0.75元收费。(2)如果李老师家四月份的水费是8元，则四月份用水多少吨?(1)已知某用户3月份用气80立方米，煤气费为70元，求a;(2)在(1)的条件下，该用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，问4月份该用户应交煤第83页共123页1、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠。该班需要球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)。问：(1)如果购买乒乓球x(x不小于5)盒，则在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元(用含x的式子表示);(2)当购买乒乓球多少盒时，在两店购买付款一样多?(3)如果给你450元，全部用于购买乒兵球和乒乓球拍，你打算去哪家商店购买?为什么?优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价9折优惠。若某位顾客在元旦节这天预计累计购物x元 (2)当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同?第84页共123页(1)小欢国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12,小欢是星期几出发的?覆盖的最小数字为x,三个数字之和为S₁;“田型”阴影覆盖的最小数字为y,四个数字之和为S₂,已知2023年是建国74周年。日一二三四五六123456789第85页共123页【课后练习】1、课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组分8本，还剩余3本；若每小组分9本，则还缺2本，问有几个小组?若设有x个小组，则依题意列方程为()。2、一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，设完成此项工程需x天，由题意得方程()。3、某项工作甲单独做需要4小时完成，乙单独做需要6小时完成，若甲先做1小时，然后甲、乙共同完成此项工作。如果从开始到完成此工作共花了x小时，则所列方程为()。4、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天5、某工厂加工间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，要使生产的产品刚好成套，则安排生产大齿轮的人数为人。6、一件标价为600元的上衣，按八折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据第86页共123页7、某商店把一商品按标价的九折出售仍可获利20%,若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为()。8、某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%,另一件亏本25%,在这次买卖中，该商贩()。A、不赔不赚B、赚9元C、赔18元D、赚18元9、两件商品都卖84元，其中一件亏本30%,另一件盈利40%,则两件商品卖后()。A、亏本8.4元B、盈利8.4元C、亏本12元D、盈利12元结果每台VCD仍获利208元，那么每台VCD的进价是元。11、为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费。如果某户居民今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米。12、某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元，(1)求钢笔和毛笔的单价各为多少元?(2)学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的单价不变),陈老师做完预算后，问财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元。”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了。”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了。第87页共123页战线上保卫祖国的英雄儿女，讲述抗美援朝战争三年的恢弘史诗。学校为了进行爱国主义教育和励志教育，计划组织师生观看。经了解，甲，乙两家影院的电影票单价都是30元，经协调，两家影院甲影院：购买电影票的数量不超过100张时，每张30元；超过100张时，超过的部分打八折；已知观影的师生共有x(x>100)人，请解决下列问题：(1)在甲影院的购票花费可表示为元：在乙影院的购票花费可表示为元：(2)若观影教师和学生共600人，选择哪家影院观影比较合算?请说明理由：(3)观影教师和学生为多少人时，在两家影院购票的费用一样?第88页共123页第9讲几何图形1、将下列如图的平面图形绕轴I旋转一周，可以得到的立体图形是(AABA.B3、右图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，从左边看得到的平面图形是()。ABCD正面4、下面左边用8块完全相同的小正方体搭成的几何体，从上面看该几何体得到的图是(。AD5、下图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是()。ABCD第89页共123页数是(。主视图左视图俯视图置上的小正方体的个数，那么从左面看该物体的平面图形是()。8、如图是由几个相同的边长为1个单位的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状，方格中的(1)请在方格纸中分别画出从正面和左面所观察到的几何体的形状；(2)由三个不同方向所观察到的图形可知这个组合几何体的表面积为个平方单位(包括9、下列平面图形不能够围成正方体的是()。ABCD第90页共123页ABCD弘统化祝你考试顺利第91页共123页AB等于多少厘米?(1)求线段AD的长；(2)在线段AC上有一点E,求AE的长。第92页共123页(1)求线段AB的长。(2)如果点E在线段AC上，且求线段ED的长。(1)求线段AD的长；(2)在线段AD上有一点E,满足求AE的长，(1)若线段AB=a,CE=b,|a-15|+(b-4.5)²=0,求a,b;(2)如图1,在(1)的条件下，求线段DE。第93页共123页别是AB、AC中点。求MN的长度，9、如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动：点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间。(1)如图1,当t为何值时，AQ=AP?(2)如图2,当t为何值时，三角形QAB的面积等于长方形面积的(3)如图3,P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动。当t为何值时，线段AQ的长度等于线段CP的长度的?图3图3第94页共123页0表示的数为0,点T表示的数为4。第95页共123页2、已知多项式(a+10)x³+20x²-5x+3是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b,数轴(2)若数轴上有一点C,使得.,点M为AB的中点，求MC的长：(3)有一动点G从点A出发，以1个单位长度/秒的速度向终点B运动，同时动点H从点BGB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且,在G、H的运动过程中，第96页共123页3、如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a,b,满足|a+8|+(b-4)²=0,原点0是线段AB上的一点。(2)若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为1秒，当1为何值时，BP=2BQ?(3)若点P、Q仍按(2)中的速度运动，当点P与点Q重合时停止运动，当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所第97页共123页4、【新知理解】如图1,点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段【解决问题】如图2,数轴上有一点E表示的数为1,向右平移5个单位到达点F。第98页共123页5、我们将数轴上点P表示的数记为xp,对于数轴上不同的三个点M、N、T,若有原点为0,点A、点B表示的数分别为x=-2,xg=3(1)若点B是点A关于原点O的“k星点”,则k=;若点C是点A关于点B的“2星点”(2)若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点D,是否(3)点Q在数轴上运动(点Q不与A、B两点重合),作点A关于点Q的“3星点”,记为A',第99页共123页(3)在数轴上剪下AC(从a到c)这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图)。若这三条线段的长度之比为2:2:5,则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少?第100页共123页7、(师大附中2023年秋月考)我们知道|4H4-0|,它的几何意义是数轴上表示4的点与原点(即表示0的点)之间的距离，又如式子|7-3|,它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的回答下列问题；(1)数轴上表示-4和2的两点之间的距离是;(2)小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠数轴，表示点2的点与表示-4的点重合。如果M、N(M在N的左侧)两点之间的距离为2024,且M、N两点经过上述折叠后重合，则M、N表示的数分别是多少?(3)如图，在数轴上剪下6个单位长度(从-1至5)的一条线段，并把这条线段沿某点向左折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，发现这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点表示的数可能是多少?第101页共123页(1)如图1,点C是线段AB的“三高四新点”,AC=3且AC<BC,则AB=;(2)若点D也是(1)中线段AB的“三高四新点”(不同于C点),求AC与DB的数量关系：(3)如图2,点O是数轴原点，点D对应的数是3,点E对应的数是12,在点E处有一挡板，小球P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，小球Q从点D同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，碰到挡板后立即以每秒3个单位长度的速度向左运动，Q追上P时，两小球同时停止运动。设运动时间为t秒，当点P、D、Q三点中某一点为其余两点所构成线段第102页共123页①直线BA和直线AB是同一条直线；5、如果线段AB=10厘米，BC=5厘米，则A、C两点的距离是(。6、如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB=第103页共123页BC的中点，则线段MN的长度是10、列车往返于A、B两地之间，中途有4个停靠点，(1)有种不同的票价，(2)要则AB=3BD;②若AC=BD,则AM=BN;③AC-BD=2(MC-DV);④2MN=AB-CN,确的结论是(。(1)求AB的长；(2)若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长。第104页共123页(1)求AC的长；(2)若点E在直线AB上，且AE=3,求DE的长。BB(2)求线段CD的长度；第105页共123页2、已知Za=18°20',(2)若∠COE=2∠BOE,∠DOE=108°,第106页共123页(1)若∠BOC=40°,则∠DOE的度数为;第107页共123页(1)如图1,当∠AOB=90°,∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少?为什么?(2)如图2,当∠AOB=70°,∠BOC=60°时，∠MON=(直接写出结果);第108页共123页9、如图①,已知线段MN=24厘米，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M,点B不(1)若AM=8厘米，AB=2厘米，求CD的长度；(2)若AB=2a厘米，线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化?如果不变，请(3)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②,已知∠AOB在∠MON内部转第109页共123页(1)如图1,当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=98时，求∠BOC的度数；第110页共123页(1)如图1,当OA、OC重合时，∠EOF=度；图1图2备用图第111页共123页3、如图1,已知∠AOC=140°,∠BOC(2)如图1,当射线OP从OB处绕点O(3)如图2,若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆图1图2第112页共123页4、如图1,点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于0点，将一直角三角板的60°