2025-2026学年洪山区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年洪山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．下列汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．将一元二次方程7x2﹣1＝﹣3x化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（）A．7，3 B．7，﹣3 C．﹣7，3 D．7x2，3x3．将抛物线y=-13x2向左平移2A．y=-13（x﹣2）2+1 B．y=-13（xC．y=-13（x﹣2）2﹣1 D．y=-134．用因式分解法解方程x2﹣5x+6＝0，下列分解正确的是（）A．（x﹣2）（x﹣3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0 C．（x﹣1）（x﹣6）＝0 D．（x+1）（x+6）＝05．如图，B、C、D为⊙O上三点，若∠BOC＝40°，则∠BDC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．关于二次函数y＝﹣3x2+12x﹣7，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是（2，5）7．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（）A．x2＝100 B．x（1+x）＝100 C．1+x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝1008．关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有两个正实数根，则k的取值范围为（）A．k≤4且k≠0 B．0≤k≤4 C．0＜k＜4 D．0＜k≤49．如图，平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，1），C（4，2），线段OA上有一点E，连BE，且绕点B逆时针旋转90°得BF，则CF的最小值和最大值是（）A．9，18 B．9，10 C．3，32 D．3，10．如图，已知A，B，C，D顺次在⊙O上，若圆心O在AC上，AB＝BD，BM⊥AC于点M，若AB=30，BC=6，则A．6 B．4 C．26 D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上。11．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，13）关于原点对称的点坐标是．12．用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为．13．如图，在⊙O中，直径EC⊥弦AB于D点，已知CD＝2，AB＝8，则AC＝．14．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的Y（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经Y（1，180°）变换后所得的图形，则点A1的坐标是．15．若抛物线y＝x2+2x+m（m为常数）与直线y＝﹣3x有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），且（3x1+1）（3x2+1）＞0，则m的取值范围是．16．已知抛物线C：y=x24和点M（2，1）．下列结论：①点M是抛物线上一点；②平行于y轴直线与抛物线C一定有交点；③过点M与抛物线C只有一个交点的直线方程为y＝x﹣1或x＝2；④将抛物线C平移后得到抛物线C1；y=x24-ax+a（a≠0），若M（45，y1）、N（2a+1，y2）是抛物线C1上两点，当y2＜y1＜0时，则三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程。17．（8分）解方程：x2﹣7x+3＝0．18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，点C，B的对应点分别为点E，D，连接BD，求∠BDE的度数．19．（8分）为了庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，小红想给纪念标识进行装裱．如图，该纪念标识被打印到了长40cm，宽30cm的矩形纸张上．小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是2000cm2，求相框的宽度．20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A是圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长．21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过六条）（1）在图1中，先画△ABC的高BD，再在线段AD上画点E，使AE＝ED；（2）在图2中，先将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EBF（E对应A，F对应C），连接AE，在直线AB上确定点P，使∠PCB＝∠EAC．（画出满足条件的所有P点）22．（10分）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度H（单位：m）发射，假设其沿水平方向以速度v0飞行．在水平飞行x（单位：m）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为h=12gt2（g＝10m/s2），故此时拦截弹距地面的高度y＝H﹣h．由x＝v0t，可得y与x的函数关系为y＝H-12g（（1）如图1，当拦截弹水平飞行1000m时，距地面高度为400m；当拦截弹水平飞行2000m时，距地面高度为100m．①计算拦截弹发射高度H和速度v0，并推导y与x的二次函数关系式；②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离2200m，且距地面高度为16m处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由；（2）在不改变第（1）问y与x的二次函数图象形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到3000m之间（含两端点），且距地面高度为300m，拦截弹发射高度H为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出H的范围是．23．（10分）点D是等边△ABC内一点，点E是边AC的中点，∠ADC＝120°，连接BD、CD、DE．（1）如图1，若将△ADC绕点C逆时针60°得△BCT（T与D对应），连接DT，①直接写出∠BTD＝°；②证明：BD＝2DE；（2）如图2，若AB＝4，直接写出BD+32CD+12DE的最小值24．（12分）抛物线R：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣1），B（1，﹣2）．（1）求此抛物线R的解析式；（2）如图1，若直线l：y＝kx﹣k﹣4与抛物线R交于点P、Q，若过抛物线R上B、P、Q三点确定的三角形面积为S△BPQ＝1，求k的值；（3）如图2，将抛物线R向左平移12个单位长度，再向下平移14个单位长度得到抛物线R1，直线y＝4与抛物线R1交于C、D，过C、D分别作x轴垂线，垂足为E、F．若射线EF上存在一动点T，使∠TDF=12∠CTE，直接写出TE的长度

2025-2026学年洪山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DABABDCDCB一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．下列汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．将一元二次方程7x2﹣1＝﹣3x化为一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（）A．7，3 B．7，﹣3 C．﹣7，3 D．7x2，3x【解答】解：方程整理得：7x2+3x﹣1＝0，∴二次项系数为7，一次项系数为3，故选：A．3．将抛物线y=-13x2向左平移2A．y=-13（x﹣2）2+1 B．y=-13（xC．y=-13（x﹣2）2﹣1 D．y=-13【解答】解：将抛物线y=-13x2向左平移2个单位，再向下移动1个单位，所得抛物线的解析式为y=-13（x故选：B．4．用因式分解法解方程x2﹣5x+6＝0，下列分解正确的是（）A．（x﹣2）（x﹣3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0 C．（x﹣1）（x﹣6）＝0 D．（x+1）（x+6）＝0【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣3）（x﹣2）＝0．故选：A．5．如图，B、C、D为⊙O上三点，若∠BOC＝40°，则∠BDC的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【解答】解：∵B、C、D为⊙O上三点，∴∠BDC=12∠∴∠BOC＝40°，∴∠BDC=12×40故选：B．6．关于二次函数y＝﹣3x2+12x﹣7，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．有最小值5 D．顶点坐标是（2，5）【解答】解：y＝﹣3x2+12x﹣7＝﹣3（x2﹣4x）﹣7＝﹣3（x﹣2）2+5，∵﹣3＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5），最大值为5，当＞2时，y随x的增大而减小，故选：D．7．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（）A．x2＝100 B．x（1+x）＝100 C．1+x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人倍传染，根据题意得：1+x+x（1+x）＝100．故选：C．8．关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有两个正实数根，则k的取值范围为（）A．k≤4且k≠0 B．0≤k≤4 C．0＜k＜4 D．0＜k≤4【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣8x+4＝0有两个正实数根，∴Δ＝（﹣8）2﹣16k≥0，两根之和为8k＞0，两根之积为4解得0＜k≤4．故选：D．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，1），C（4，2），线段OA上有一点E，连BE，且绕点B逆时针旋转90°得BF，则CF的最小值和最大值是（）A．9，18 B．9，10 C．3，32 D．3，【解答】解：过点F作y轴的垂线，垂足为M，由旋转可知，BF＝BE，∠EBF＝90°，所以∠MBF+∠BFM＝∠MBF+∠EBO＝90°，所以∠BFM＝∠EBO．在△BFM和△EBO中，∠BMF=所以△BFM≌△EBO（AAS），所以MF＝BO＝1，所以点F在直线x＝1上．当CF与直线x＝1垂直时，CF取得最小值，因为点C坐标为（4，2），所以CF的最小值为4﹣1＝3．当点E在点O处时，点F坐标为（1，1），则CF=(4-1当点E在点A处时，点F坐标为（1，5），则CF=(4-1因为32＞所以CF的最大值为32显然只有C选项符合题意．故选：C．10．如图，已知A，B，C，D顺次在⊙O上，若圆心O在AC上，AB＝BD，BM⊥AC于点M，若AB=30，BC=6，则A．6 B．4 C．26 D．【解答】解：如图，在MA上截取ME＝MC，连接BE，∵BM⊥AC，ME＝MC，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE，∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAD，又∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，而∠BAE＝∠BDC，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∵圆心O在AC上，∴AC是直径，∴∠CBA＝90°，∴AC=A∵AB=30，BC=∴AC=30+6=∵S△ABC=12×∴BM=5∴CM=BC∴AE＝AC﹣CM﹣EM＝6﹣1﹣1＝4，∴CD＝4．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上。11．在平面直角坐标系中，点P（﹣7，13）关于原点对称的点坐标是（7，﹣13）．【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣7，13）关于原点对称的点坐标是（7，﹣13）．故答案为：（7，﹣13）．12．用配方法解方程x2+8x+1＝0，首先移项得x2+8x＝﹣1，然后配方x2+8x+16＝﹣1+16，化简得（x+b）2＝15，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的b值为4．【解答】解：由x2+8x+16＝﹣1+16得，（x+4）2＝15，所以b＝4．故答案为：4．13．如图，在⊙O中，直径EC⊥弦AB于D点，已知CD＝2，AB＝8，则AC＝25．【解答】解：∵在⊙O中，EC是直径，AB是弦，且EC⊥AB于D点，AB＝8，∴AD＝BD=12AB＝4，∠ADC＝∵CD＝2，∴AC=AD2故答案为：25．14．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的Y（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经Y（1，180°）变换后所得的图形，则点A1的坐标是（-32，-3【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，∵△ABC是等边三角形，且AB＝BC＝1，∴BD=12，AD＝BDtan∠ABC∴点A坐标为（12，3则向右平移1个单位后对应点的坐标为（32，3∴△ABC经Y（1，180°）变换后所得的△A1B1C1的顶点A1的坐标为（-32，故答案为：（-32，15．若抛物线y＝x2+2x+m（m为常数）与直线y＝﹣3x有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），且（3x1+1）（3x2+1）＞0，则m的取值范围是149＜m＜25【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m（m为常数）与直线y＝﹣3x有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1，x2是方程x2+5x+m＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝m，∵（3x1+1）（3x2+1）＞0，∴9x1x2+3（x1+x2）+1＞0，∴9m﹣15+1＞0，∴m＞14∵Δ＝52﹣4m＞0，∴m＜25∴m的取值范围是149＜m故答案为：149＜m16．已知抛物线C：y=x24和点M（2，1）．下列结论：①点M是抛物线上一点；②平行于y轴直线与抛物线C一定有交点；③过点M与抛物线C只有一个交点的直线方程为y＝x﹣1或x＝2；④将抛物线C平移后得到抛物线C1；y=x24-ax+a（a≠0），若M（45，y1）、N（2a+1，y2）是抛物线C1上两点，当y2＜y1＜0时，则【解答】解：①把x＝2代入y=x24得y＝1，M（2，1）在抛物线C：y=②∵给一个x的值，y必定有值对应，∴平行于y轴直线与抛物线C一定有交点，故②正确；③当过M的直线平行于y轴时，显然此时该直线与抛物线C只有一个交点；当过M的直线不平行y轴时，可设直线为y＝k（x﹣2）+1（k≠0），联立方程k（x﹣2）+1=x∴x2﹣4kx+8k﹣4＝0．∴当Δ＝16k2﹣32k+16＝0时，即k＝1时，直线y＝x﹣1与抛物线C相切，只有一个交点．综上，过点M与抛物线C只有一个交点的直线方程为y＝x﹣1或x＝2，故③正确；④由题意，∵M（45，y1）、N（2a+1，y2）是抛物线C1上两点，且抛物线C1；y=x24-ax+a∴y1=425+15a，y2=(2a+1)24-a（2a+1∵y2＜y1＜0，∴﹣a2+a+9100＜4∴a＜﹣0.8，故④错误．综上，正确的结论是①②③．故答案为：①②③．三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程。17．（8分）解方程：x2﹣7x+3＝0．【解答】解：x2﹣7x+3＝0，Δ＝（﹣7）2﹣4×1×3＝37＞0，则x=7±所以x118．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，点C，B的对应点分别为点E，D，连接BD，求∠BDE的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∠BAD＝80°，AB＝AD，∴∠ADB=12∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝40°．19．（8分）为了庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，小红想给纪念标识进行装裱．如图，该纪念标识被打印到了长40cm，宽30cm的矩形纸张上．小红想将此作品装裱到四周宽度相同的相框里，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是2000cm2，求相框的宽度．【解答】解：设相框的宽度为xcm，则整个挂图的长为（40+2x）cm，宽为（30+2x）cm，根据题意得：（40+2x）（30+2x）＝2000，整理得：x2+35x﹣200＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣40（不符合题意，舍去）．答：相框的宽度为5cm．20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，A是圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB＝5，AC＝4，求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD=∴点D是BC的中点；（2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵BC是直径，∴∠EAF＝∠AED＝∠F＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴AE＝AF，∵BD=∴BD＝DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF，∴AE+AF＝AB﹣BE+AC+CF＝AB+AC＝9，∴AE＝AF=9∴AD=2AE=21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过六条）（1）在图1中，先画△ABC的高BD，再在线段AD上画点E，使AE＝ED；（2）在图2中，先将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EBF（E对应A，F对应C），连接AE，在直线AB上确定点P，使∠PCB＝∠EAC．（画出满足条件的所有P点）【解答】解：（1）如图，线段BD，点E即为所求；（2）如图，△EBF即为所求，点P，点P′即为所求．22．（10分）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度H（单位：m）发射，假设其沿水平方向以速度v0飞行．在水平飞行x（单位：m）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为h=12gt2（g＝10m/s2），故此时拦截弹距地面的高度y＝H﹣h．由x＝v0t，可得y与x的函数关系为y＝H-12g（（1）如图1，当拦截弹水平飞行1000m时，距地面高度为400m；当拦截弹水平飞行2000m时，距地面高度为100m．①计算拦截弹发射高度H和速度v0，并推导y与x的二次函数关系式；②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离2200m，且距地面高度为16m处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由；（2）在不改变第（1）问y与x的二次函数图象形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到3000m之间（含两端点），且距地面高度为300m，拦截弹发射高度H为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出H的范围是700≤H≤1200．【解答】解：（1）①由题意，根据函数y=H-∴代入x＝1000，y＝400和x＝2000，y＝100，∴400=H-∴v0=1005m/s，H∴函数关系式为：y=-110000x②当x＝2200时，代入函数式y=-110000x∴y＝500-2200210000=500∴拦截弹能击中该飞行物．（2）由题意，∵抛物线的形状不变，即二次项系数为-1∴可设新函数为y=H-∴当x＝2000，y＝300时，即300＝H-200当x＝3000，y＝300时，即300＝H-300∴H的范围是700≤H≤1200．故答案为：700≤H≤1200．23．（10分）点D是等边△ABC内一点，点E是边AC的中点，∠ADC＝120°，连接BD、CD、DE．（1）如图1，若将△ADC绕点C逆时针60°得△BCT（T与D对应），连接DT，①直接写出∠BTD＝60°；②证明：BD＝2DE；（2）如图2，若AB＝4，直接写出BD+32CD+12DE的最小值【解答】（1）①解：∵△ADC绕点C逆时针60°得△BCT，∴CD＝CT，∠DCT＝60°，∠BTC＝∠ADC＝120°，∴△DCT是等边三角形，∴∠CTD＝60°，CD＝DT，∴∠BTD＝∠BTC﹣∠DTC＝60°，故答案为：60；②证明：如图1，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AD∥CF，∴∠DCF＝180°﹣∠ADC＝60°，由①知：CD＝DT，AD＝BT，∠BTD＝60°，∴∠BTD＝∠DCF，∴△DCF≌△DTB（SAS），∴BD＝DF＝2DE；（2）如图2，取CD的中点W，CE的中点V，连接WV，将BC旋转60°至CX，连接TX，作VR⊥XC于R，连接XV，∴WV=1同理证得：△BCD≌△XCT，∴TX＝BD，∵△CDT是等边