2025-2026学年水果湖一中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年水果湖一中八年级（上）期中数学试卷一、单选题（每小题3分，共10小题）1．中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（）A．中 B．秋 C．快 D．乐2．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（）A．5，5，5 B．3，4，5 C．3，4，8 D．2，4，53．若直角三角形的一个锐角是25°，则另一个锐角的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°4．计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a65．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL6．已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b7．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点P，作射线OP，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点8．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（）A．40 B．46 C．48 D．5010．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，BH=35，则△A．35 B．185 C．925 二、填空题（每小题3分，共14小题）11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是．12．计算（﹣x3）4的结果等于．13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝．14．计算：(-12)202415．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝度．16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝．17．（8分）计算：（1）a•（﹣a）2•（a3）5．（2）（2x2）3﹣x2•x4．18．（9分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：△ABC≌△ADC．19．（9分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．20．（9分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（0，2），D（1，0），E（3，﹣3），F（0，﹣2）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形；（2）在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，此时点P的坐标为；（3）已知点Q为y轴上一点，若△DFQ为等腰三角形，则点Q有个．22．（9分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝，(2，18)=（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②若令（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，试探索（3，2）+（3，5）与（3，10）的大小关系．23．（8分）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA＝DC，EC＝EB，∠ADC＝α，∠CEB＝β，且α+β＝180°．（1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE；（2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF⊥EF；（3）如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合），连接DE，若α＝60°，AC＝4，且S△ACD=4324．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，过点A作MN⊥AB，点D在AB上（不与点A，B重合），作∠DCE＝45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E，连接DE．（1）如图1，当点E在射线AM上时，作CF⊥CE，CF交AB于点F，求证：△ACE≌△BCF；（2）如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE，DE，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若CE与AD交于点P，当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积大10时，直接写出△ABC的面积．

2025-2026学年水果湖一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ACDCBBABCC一、单选题（每小题3分，共10小题）1．中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（）A．中 B．秋 C．快 D．乐【解答】解：∵“中“字沿垂直中线对折后，左右部分能完全重合，∴“中“是轴对称图形，故A符合题意；∵“秋“、“快“、“乐“字均无对称轴，对折后不能重合，∴它们不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意，故选：A．2．下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（）A．5，5，5 B．3，4，5 C．3，4，8 D．2，4，5【解答】解：A、∵5+5＞5，∴能构成三角形，不符合题意；B、∵3+4＞5，∴能构成三角形，不符合题意；C、∵3+4＜8，∴不能构成三角形，符合题意；D、∵2+4＞5，∴能构成三角形，不符合题意，故选：C．3．若直角三角形的一个锐角是25°，则另一个锐角的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°【解答】解：直角三角形的一个锐角是25°，∵直角三角形中两个锐角互余，∴另一个锐角为90°﹣25°＝65°．故选：D．4．计算a2•a3的结果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6【解答】解：a2•a3＝a5．故选：C．5．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【解答】解：在△AOB与△COD中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（SAS），故选：B．6．已知命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”，则该命题的逆命题是（）A．如果a＝b，那么﹣a＝﹣b B．如果﹣a＝﹣b，那么a＝b C．如果a＝b，那么﹣a≠﹣b D．如果﹣a≠﹣b，那么a＝b【解答】解：根据求一个命题的逆命题可知：命题“如果a＝b，那么﹣a＝﹣b”的逆命题是如果﹣a＝﹣b，那么a＝b，故选：B．7．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点P，作射线OP，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点【解答】解：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，∵直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴OP平分∠AOB，即在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故选：A．8．如图，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：在三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∠A+∠B+∠ABC＝180°，∴∠ABC=∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝70°，∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°，故选：B．9．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为（）A．40 B．46 C．48 D．50【解答】解：∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD和△ACF中∠BAD=∴△ABD≌△ACF（ASA），∴AD＝AF，∵AB＝AC，D为AC中点，∴AB＝AC＝2AD＝2AF，∵BF＝AB+AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC的面积是12×BF×AC=12×12故选：C．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，连接BD，点E、点F分别为BD、AB上两动点，过点F作FH⊥BC于点H，当AE+EF+FH取最小值时，BH=35，则△A．35 B．185 C．925 【解答】解：连接CE，过点C作AB的对称点O，连接OB，过点F作FN⊥BO于点N，作CP⊥BO于点P，∴∠ABO＝∠ABC，BO＝BC，∵AB＝BC，∠ABC＝30°，点D为AC中点，∴BD⊥AC，∴BD垂直平分AC，∴AE＝CE，∵∠ABO＝∠ABC，FH⊥BC，FN⊥BO，∴FN＝FH，∴AE+EF+FH＝CE+EF+FN≥CP，当点C，E，F，N，P共线时，AE+EF+FH取得最小值，如图：记CO，AB交于点Q，∵FN⊥BO，FH⊥BC，∴∠FNB＝∠FHB＝90°∵BF＝BF，∠ABO＝∠ABC，∴△FBN≌△FBH（AAS），∴此时BN=BH=3∵∠ABO＝∠ABC＝30°，∴∠OBC＝60°，又∵BO＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴CO＝BO，∴BO＝BC＝BA＝CO，∵CP⊥BO，∴BO=2BN=6∴BO=BC=AB=CO=6∵C，O关于AB对称，∴CQ=1∴S△ABC故选：C．二、填空题（每小题3分，共14小题）11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是（2，2）．【解答】解：P（﹣2，2）关于y轴对称的点的坐标是（2，2），故答案为：（2，2）．12．计算（﹣x3）4的结果等于x12．【解答】解：（﹣x3）4＝x12，故答案为：x12．13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，按以下步骤作图：以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB于点D；分别以点D，B为圆心，大于线段BD长的一半为半径作弧，两弧交于点P；连接CP交AB与点E；则CE＝125【解答】解：利用三角形面积的不变性计算可得S△ABC∴CE=AC⋅BC故答案为：12514．计算：(-12)2024【解答】解：(=(-12)2023=(-12＝﹣1×（-1=1故答案为：1215．汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小圳固定镜面BC，将镜面BA绕点B逆时针转动（30°＜∠ABC＜180°），在光源P处发出的一束光射到水平镜面BC后沿DM反射到镜面AB上，随后沿MN反射出去．已知∠PDC＝28°，当反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线的夹角为60°时，∠ABC＝46或106或136度．【解答】解：①如图所示，∠MNB＝60°，∵∠PDC＝28°，∴∠BDM＝∠CDP＝28°，∵∠MNB＝60°，∴∠DMN＝∠BNM﹣∠BDM＝32°，∴∠AMD＝∠BMN=180°-32°2在△BMN中，∠ABC＝180°﹣74°﹣60°＝46°；②如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝60°，∠BDM＝∠BDC＝28°，设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α，在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°，∴2α+60+28＝180，解得α＝46°，∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝106°；③如图所示，当∠ABC是钝角时，此时设反射光线MN所在直线与镜面BC所在直线交点为点Q，且∠MQD＝120°，∠BDM＝∠BDC＝28°，设∠DMB＝∠AMN＝α，则∠BMQ＝∠AMN＝α，在△QMD中，∠MQD+∠QMD+∠BDM＝180°，∴2α+120+28＝180，解得α＝16°，∴∠ABC＝∠BMQ+∠MQD＝136°；综上，∠ABC＝46°或106°或136°；故答案为：46或106或136．16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，则∠BDE＝30°．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣过点B作BF＝BC，连接EF，∵∠ECB＝50°，∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BEC＝∠ECB，∴BC＝BE，又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠EFB＝60°，BF＝EF，∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵∠DBC＝60°，∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∴∠DBF＝∠BDC，∴BF＝DF，∴EF＝DF，∴∠EDF=12（180°﹣∠EFD）=12（180°﹣∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．17．（8分）计算：（1）a•（﹣a）2•（a3）5．（2）（2x2）3﹣x2•x4．【解答】解：（1）原式＝a•（﹣1）2a2•a3×5＝a•a2•a15＝a1+2+15＝a18；（2）原式＝23x2×3﹣x2+4＝8x6﹣x6＝7x6．18．（9分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：△ABC≌△ADC．【解答】证明：如图：已知AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC（SSS）．19．（9分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，∠A=∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．20．（9分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，求EC的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）解：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝6，∴BE=12BD＝∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝9，∴EC＝BC﹣BE＝6．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（﹣3，1），C（0，2），D（1，0），E（3，﹣3），F（0，﹣2）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形；（2）在x轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，此时点P的坐标为（﹣2，0）；（3）已知点Q为y轴上一点，若△DFQ为等腰三角形，则点Q有4个．【解答】解：（1）如图，根据轴对称图形的特征画图，△A′B′C就是所求作的图形；（2）连结BF，交x轴于点P，由于点C关于x轴的对称点为点F（0，﹣2），所以PB+PC的最小值为BF的长；设直线BF的解析式为y＝kx+b，由条件可得-3k+b=1解得k=-∴直线BF的解析式为y＝﹣x﹣2，令y＝0，则﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．（3）当DF为腰时，如图，Q1F＝DF，Q2F＝DF，DQ3＝DF，当DF为底时，如图，Q4D＝Q4F，因此，满足题意的点Q有4个．故答案为：4．22．（9分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，(2，18)=﹣（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n．所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②若令（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，试探索（3，2）+（3，5）与（3，10）的大小关系．【解答】解：（1）∵32＝9，∴（3，9）＝2，∵2-3∴(2，故答案为：2，﹣3；（2）①于是＝（23，103）﹣（25，105）＝（2，10）﹣（2，10）＝0②∵（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，∴3a＝2，3b＝5，3c＝10，∵2×5＝10，∴3a•3b＝3c，从而3a+b＝3c，∴a+b＝c，即（3，2）+（3，5）＝（3，10）．23．（8分）以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ACD与等腰△CBE，DA＝DC，EC＝EB，∠ADC＝α，∠CEB＝β，且α+β＝180°．（1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：DC⊥CE；（2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接AB，点F为AB中点，连接DF、EF，求证：DF⊥EF；（3）如图3，当点B在线段AD上运动时（点B与A、D不重合），连接DE，若α＝60°，AC＝4，且S△ACD=43【解答】（1）证明：在△DAC中，AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA+∠DAC+∠ADC＝180°，∠ADC＝α，∴∠DCA=90同理可得：∠ECB=90∵90°-∴∠DCE＝90°，∴DC⊥CE；（2）证明：延长DF至Q，使FQ＝DF，连接BQ，在△AFD和△BFQ中，AF=BF∠DFA=∠QFB∴△AFD≌△BFQ（SAS），∴AD＝BQ，∠DAF＝∠QBF，又∵AD＝DC，∴DC＝QB，由（1）知∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠EBC，设∠DAC＝∠DCA＝x，∠ECB＝∠EBC＝y，∠CAB＝∠CAB，∠CBA＝∠CBA，∴∠QBF＝x﹣∠CAB，∴∠QBE＝y+x﹣∠CAB﹣∠CBA，∠DCE＝180°﹣y﹣x﹣∠CAB﹣∠CBA，由（1）知y+x＝90°，∴∠DCE＝∠QBE＝90°﹣∠CAB﹣∠CBA，在△DCE和△QBE中，DC=QB∠DCE=∠QBE∴△DCE≌△QBE（SAS），∴DE＝QE，又∵DF＝QF，∴DF⊥EF；（3）解：取AB的中点F，连接EF，由（2）知DF⊥EF，∴EB＝EA，∵EB＝EC，∴EC＝EA，即点E在AC的垂直平分线上，∵α＝60°，DA＝DC，∴△ACD是等边三角形，∴DE平分∠ADC，则∠EDC＝30°，作EH⊥CD于H，