新高考数学二轮复习专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）（原卷版）

专题10数列不等式的放缩问题

录

题型01先求和后放缩

02裂项放缩

03等比放缩

题量04，>,<(»/(〃)型不等式的证明.....................................................

这中051!〃,<(>)/(〃)型不等式的证明

题型06£《<(>)〃型不等式的证明

题型07口4<(>地型不等式的证明

一题型01先求和后放缩

1.(2023•山东荷泽•高三河泽一中校考阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且％=1,%=4,

请在①0+i+S,i=3"+2slmN2)；②｛3a「2S”｝是公差为1的等差数列；③｛q用一&｝是公比为3的

等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵在巴与〃用之间插入〃个实数，使这〃+2个数依次组成公差为4的等差数列，数列丁的前〃项和

证明：

2.(2023•吉林白城•高三校考阶段练习)已知公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S,”/=3,且

4，%，%成等比数列.

⑴求的通项公式；

1q

(2)若％=2s_〃+］，数列也,｝的前”项和为人证明：Tn<-.

3.(2023•天津•高三校联考期40已知数列｛〃”｝的前八项和工=生产，数列出｝满足：6=3,

”+i=%“T（〃eN）

⑴证明：｛仇-1｝是等比数列;

✓f\H2。+1

(2)设数列｛%｝的前〃项和为，，巨c“二(T)(Q+1)晟p_i)，求1

-^-,n=2k-\

(3)设数列｛4｝满足：d,1WMJeN\证明：

»=2kI4

I2

4.（2023•陕西西安•高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和为S“，满足

4sLm,+3）（4-1）.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

（2）记。=含，数列｛〃｝的前〃项和为却证明：对一切正整数〃，rn<6.

一题型02裂项放缩

5.（2023•贵州黔东南-高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列｛4｝的前〃项和为S..q=1,

且%=S+7^7（〃N2）.

⑴求见;

⑵设"=!，数列也｝的前〃项和为人证明：

~4

6.（2023•湖南常德•高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列｛〃“｝为等差数列，数列｛“｝为等比数

列，且4=7,q=l,ai+by=a；,%4=4%+4（〃wV）.

⑴求｛q｝，｛2｝的通项公式；

a也，〃为奇数

（2）已知cn='（3«„-4）Z?„王俚物，求数列匕,｝的前2〃项和T2n；

----------,〃79IPS双

44+2

n|---------2

（3）求证：Z----:-----<T.

片4.Jog2&3

7.(2023•福建厦门-高三厦门一中校考阶段练习)己知数列乩｝满足6>0,

log,an,n=2k-\,kGN*

-12/+2,〃_2A,ZeN*

⑴判断数歹U｛4,T｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)若数列｛a〃｝的前1()项和为361,记”=伉。/工，数列也｝的前〃项和为人求证：Tn<\.

U°&2a2n+lV〃2什22

8.(2023•河北唐山•模拟预测)已知｛q｝和｛2｝是公差相等的等差数列，且公差4>。,｛%｝的首项

6=1，记S"为数列｛an｝的前n项和，。也=25”.

(1)求《和4;

⑵若c“=V7T，｛c”｝的前〃项和为。，求证：，〈祟.

an+b2.b„

■4题型03等比放缩

9.(2023•广东梅州•高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S”，4=4,

S.是，*与2〃-4的等差中项.

⑴求｛可｝的通项公式；

⑵设勿=4”+(-1)向此，若数列｛，｝是递增数列，求，的取值范围.

⑶设y,且数列匕｝的前〃项和为小求证：

I。.（2。23・全国•高三专题练习）求证：£+5r/…/<2

11.（2023•重庆•高三统考阶段练习）记数列也｝的前〃项和为S；,且S.=2%+〃-3（〃eN'）.

⑴求证：数列｛4-1｝是等比数列;

11

(2)求证：—+-+…+

4a2

一题型04%,<（>）/（〃）型不等式的证明

r=l

12.（2023•河南•方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数/"）=吊］匚（工工0）.

1-X

⑴证明：/一》/（力；

1-X

（2）若正项数列｛q｝满足％=/（%〃），且qe（0,l）,记｛%｝的前〃项和为S”，证明：悬（n>2）.

13.（2023•江西萍乡•高三统考期中）已知函数/（x）=e；；T.

.1

⑴证明：当x>0时，/（可>：恒成立；

⑵首项为g的数列｛〃“｝（〃€、）满足：当〃22时，有针=2"明），证明：In0+2"）>a“+〃ln2.

14.（2023•重庆•高三校联考期中）设数列｛4｝的前〃项之积为，，满足2a.+7；,=1（/2£此）,

⑴设"=1+十，求数列｛1｝的通项公式祇;

1IX

⑵设数列｛,〃｝的前〃项之和为s“，证明：++—

15.（2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列｛q｝满足

屋+七4/必「&=0522）,且q=L（函数/⑴求导〃次可用/"）（“表示）

nn

⑴求｛〃“｝的通项公式.

（2）求证：对任意的X>0,都有+

16.（2023•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数/（x）=（l+x『（0<a<l）.

⑴当xNO时，证明：/（x）<l+a-x；

（2）数列｛风｝的前〃项和为S“，且S.+4=1：

（i）求；

4n-2

（ii）求证：。『+唠+~+$3>-----

3-限

17.(2023•四川-高三校联考阶段练习)已知函数.f(x)=2aln4T+L

x

(1)若Dxe[l,+x)),/(x)4O,求a的取值范围；

(2)证明：€N.,3〃+6(〃+1这ln[/(/+l)]<n(n+I)2(n+2).

18.（2023•海南•海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数回印^-必二D.

A+lX+\

（1）若函数/（X）在［1，+8）上只有一人零点，求〃的取值范围；

|,〃=1

⑵若%=°,记数列｛4｝的前〃项和为s“，证明：25.<ln（〃2+3〃+2）.

——,n>2

77+1

一题型051%<（>）/（〃）型不等式的证明

/=|

19.（2023♦黑龙江大庆•高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线C〃：始-2小+卢0,（〃=1,2,...）.从点

尸（・1,0）向曲线C〃引斜率为切（5>0）的切线/〃，切点为（m,加）.

⑴求数列｛不〃｝与｛即｝的通项公式；

(2)证明：王•当•内…＜＜三工＜堂-。。5%

V+Xn3”

20.(2023•浙江温州•高二校联考期末)已知数列｛〃“｝,也｝满足％=2,4=4,且2〃=a"+a”

(1)求42M3“及优也也；

(2)猜想｛4｝,｛"｝的通项公式，并证明你的结论;

⑶证明：对所有的〃a.持ax,在.首lb除-c

21.(2023•山东青岛•高二统考期末)在各项为正数的数列｛《｝中，4=6,点4(1+%,向二)在曲线

尸五上；对于数列也｝,点纥(〃也)在过点(0,1),且以";=(1,2)为方向向量的直线/上.

(1)求数列｛%｝和他,｝的通项公式；

⑵若，问是否存在左wN+，使GM=5G成立？若存在，求出4的值；若不存在，请说

为奇数

明理由；

⑶对任意正整数〃，不等式1+11〃-2+“”都成立，求实数”的取值范围.

bJ

一题型06〃型不等式的证明

r=l

22.(2023•山西•高三统考阶段练习)已知函数/(x)=sinxT+!x，

6

(1)证明：对&工£。+00),/*注。恒成立；

⑵是否存在〃wN,，使得In2<sin2+sin七+•••+♦]v]成立？请说明理由.

23.(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考三模)记S”为数列｛4｝的前〃项和，已知

S“=(a”-〃)(〃+l).

⑴求数列｛仆｝的通项公式；

(2)数歹满足。一2_|=今(〃€[<,〃？2)且％-4=1,，的前〃项和为■,证明：147；<2.

24.(2023•四川成都•高一成都七中校考期末)已知数列｛q｝满足6=1,卬山金石(其中

〃€N*)

(1)判断并证明数列｛4｝的单调性；

⑵记数列｛凡｝的前〃项和为s“，证明：-<52O2I<-.

25.（2023•河南•校联考模拟预测）记S“为等差数列｛〃,,｝的前〃项和，已知，4=1,56-2S4=4.

⑴求｛q｝的通项公式;

一0.01<!+!+L+占-与<0,证明:I7T八八.

（2）已知当“N100时,+—；-----<0.01.

S]S2Sn6Goo8

26.（2023•天津南开•高三南开中学校考阶段练习）已知数列|4｝是首项为I的等差数列，数列｛〃,｝是公

比不为1的等比数列，满足4+%=4,a2+a3=by,a4+a5=b4.

⑴求｛/｝和｛2｝的通项公式;

⑵求数列也也J的前〃项和S”；

⑶若数列｛4｝满足4=1是否存在整数“，使得对任意的〃eN*都有

匹叫发<2成立？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由.

27.（2023•福建•高三校联考阶段练习）己知数列｛叫的前〃项和为S”，4=2,而川=S“-2,N*.

（1）是否存在实数2，使得数列｛%｝为等比数列？若存在，求出彳的值：若不存在，说明理由；

⑵记数列|广彳｝的前〃项和为（，当4=1时.，求证：Tn<2.

，，+4

28.(2023•江西宜春•高二奉新县第一中学校考阶段练习)己知函数/(x)=ar，+(x+l)2(x>T).

(1)若〃x)在x=l处有极值，问是否存在实数相，使得不等式-14W/Q)对任意叱卜-10及

/目-1/恒成立？若存在，求出/〃的取值范围；若不存在，请说明理由.("=2.71828…)；

(2)若4=1,设P(x)=/(x)—(x+l)2-x.

①求讦：当x>0时，/(x)<0：

②设《,=」+—一