新高考2025版高考数学一轮总复习练案59第九章第三讲成对数据的统计分析

第三讲成对数据的统计分析

6A组基础巩固9

一、单选题

C.a〉0,灰0D.水0,从0

［解析］画出散点图，易知选C.

2.（2024•山西吕梁学院附中期中）如图是相关变量x,y的散点图，现对这两个变量进

行线性相关分析，方案一：依据图中全部数据，得到线性I可来方程相关系数为

八；方案二：剔除点（10,21）,依据剩下数据得到线性回来直线方程尸4Y+殳，相关系数为

22.则（D）

r

2725

21；

12：

・1

;6?1

51015

A.OVTVNVIB.0-VI

C.—l<ri<?2<0D.—l<z^<ri<0

［解析］由题可知x,y负相关，且剔除点（10,21）后相关性更强.故选D.

3.（2024•沧州七校琰考）通过随机询问200名性别不同的高校生是否爱好踢犍子运动,

计算得到统计量”的观测值人心4.892,参照附表，得到的正确结论是（C）

P(2")0.100.050.025

Xa2.7063.8415.024

A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

4.（2024•西北狼联盟质检）广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续E个年

度的广告锚x和销售额y讲行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）

A.118.2万元B.111.2万元

C.108.8万元D.101.2万元

［解析］由表格中数据可得，x=4,y=50,

・・・50=4X10.2+a,解得a=9.2,

・••阅历回来方程为y=10.2x+9.2,

・•・当x=10时，y=10.2X10+9.2=111.2,

即预料广告费10万元时销售额约为111.2万元，故选B.

5.（2024•广东新高考适应性测试）在一项调查中有两个变量x和y,下图是由这两个变

量近8年来的取值数据得到的散点图，则选项中相宜作为p关于x的阅历回来方程的函数类

型是（B）

580...

560■■■

540■*

520■•

5（X）1・

0^3.84*04.24*44.64*85.05*25.45*6x

A.y=bxB.y=c十人口

C.y=m-\-nxD.y=p~\~qc（q>0）

［解析］散点图呈曲线状，A错误，函数递增且增速越来越慢，故选B.

二、多选题

6.（2024•山东师大附中期中）已知变量必y之间的阅历回来方程为尸7.6—0.4万,且

变量x,y的数据如表所示，则下列说法正确的是（BCD）

X681012

y6m32

A.变量筋y之间呈正相关关系

B.变量尤y之间呈负相关关系

C.勿的值等于5

D.该回来直线必过点（9,4）

［解析］由阅历回来直线必过样本点中心（9,咛厅，即上产=7.6—0.4乂9.解得勿=

2

5,故C正确.乂。=-0.4<0,・・・B正确.该回来直线肯定过⑼4）.故选BCD.

7.为了解阅读量多少与华蜜感强弱之间的关系，一个调查机构依据所得到的数据，绘制

了如下的2X2列联表（个别数据暂用字母表示）：

华蜜感强华蜜感弱总计

阅澳量多m1872

阅读量少3678

总计9060150

计算得：25M2.981,参照下表:

a0.ID0.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

对于下面的选项，正确的为（BC）

A.依据小概率值。=0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与华蜜感强弱无关”

B.勿=54

C.依据小概率值。=0.005的独立检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认

为“阅读量多少与华蜜感强弱有关”

D.〃=52

［解析］V2-12.981,尸（人26.635）=0.01,/（一27.879）=0.005,

又12.981>6.635,12.981>7.879,

・•・依据小概率值a=0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为

“阅读量多少与华蜜感强弱有关”，依据小概率值"=0.D05的独立性检验，可以在犯错误的

概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与华蜜感强弱有关"，.♦.A错，C对，・・・哥36=

90,18+/?=60,・・・加=54,〃=42,...B对，D错，故选BC.

8.（2024•广东珠海模拟）已知由样本数据（M,匕）（f=1,2,3,…,8）,组成的一个样

本，得到回来直线方程为F=2>-0.4且:=2,去除两个歧义点（一2,7）和（2,—7）后，得到

新的回来直线的斜率为3.则下列说法正确的是（ABD）

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.去除歧义点后的回来宜线方程为尸3x—3.2

C.去除歧义点后，随A■值增加相关变量y值增加速度变小

D.去除歧义点后，样本（4,8.9）的残差为0.1（附：残差8=六一乂）

［解析］由回来方程的斜率知变量x，y具有正相关关系，故A正确：由；=2代入y=

__2x88-

2x—0.4得y=3.6,，去除两个歧义点（-2,7）和（2,—7）后，得到新的工=一『y=

o3

3

•・•得到新的回来直线的斜率为3,

「一8

・••由y—3x=4.8—SX-=—3.2,

J

・•・去除歧义点后的回来直线方程为y=3x—3.2,故B正确；

由于斜率为3>1,故相关变量x,y具有正相关关系且去除歧义点后，由样本估计总体的

y值增加的速度变大，故C错误；

由%=3必一3.2=3X4—3.2=8.8得/=%一乂=8.9-8.8=0.1.故D正确:故选ABD.

9.（2024•山东聊城市三模）对具有相关关系的两个变量x和y进行回来分析时，经过随

机抽样获得成对的样本点数据（无，%）1=1,2,…，〃），则下列结论正确的是（BCD）

A.若两变量x,y具有线性相关关系，则阅历回来直线至少经过一个样本点

B.若两变量*,y具有线性相关关系，则阅历回来直线肯定经过样本点中心（；，7）

C.若以模型拟合该组数据，为了求出阅历回来方程，设z=lny,将其变换后

得到线性方程z=6x+ln3,则a,b的估计值分别是3和6

n

Zy-7/2

D.用川=1-------------来刻画回来模型的拟合效果时，若全部样本点都落在一条

IyI~72

/=1

斜率为非零实数的直线上，则川的值为1

［解析］若两变量X,y具有线性相关关系，即满足y="+a,则肯定满足亍=方7+a,

样本点不肯定在拟合直线上，故A错误，B正确；

若以模型了=沅”拟合该组数据，

z=lny=〃x+lna=6x+ln3,故a=3,。=6,故C正确；

£—

用*=1——------------来刻画回来模型的拟合效果时.，若全部样本点都落在一条斜率

2

Zyf-7

/=!

Ey>—yr2

__/=l

为非零实数的直线上，则匕=丁，即*=1---------------=1-0=1,故D正确；故选

Z%-72

4

BCD.

10.（2024•山东烟台期末）某高校为「解学生对学校食堂服务的满足度，随机调查/50

名男生和50名女生，每位学生对•食堂的服务给出满足或不满足的评价，得到如图所示的列联

表.经计算2的观测值-4.762,则下列结论正确的为（ACI））

满足不满足

男3020

女4010

2

P(^xa)0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

A.该学校男生对食堂服务满足的概率的估计值替

B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满足

C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

D.在犯错概率不超过5%的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异

［解析］由表易知男生比女生对食堂服务满足率低，故B错，又

100X30X10-40X20

^4.8>3.841,・・・ACD正确.故选ACD.

70X30X50X50

三、填空题

II.关于独立性检测，2越大，则与y有关系”这种推断犯错的概率越小.

12.（2024•吉林市玉地六校适应性考试）公司对2024年1〜4月份的获利状况进行了数

据统计，如下表所示：

月份才1234

利润“万元566.58

利用线性回来分析思想，预料出2024年8月份的利润为11.6万元，则p关于x的线性

回来方程为y=0.95x+4.

A

［解析］设线性回来方程为尸bx+a,

因为：=*7=y»

5J51

2b+F

由题意可得,解得b=0.95,a=4,

8b+a=11.6

即y=0.95x+4.故答案为y=0.95x+4.

5

13.（2024•黑龙江大庆试验中学模拟）通过市场调查知某商品每件的市场价爪单位：元）

与上市时间x（单位：天）的数据如下:

上市时间X天41036

市场价/元905190

依据上表数据，当aHO时，下列函数：

①y=ax+〃；②产=4/+人才+^；③尸alogc中能恰当的描述该商品的市场价y与上市

时间x的改变关系的是（只需写出序号即可）」

［解析］依据表格供应数据可知，y随x先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过

程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意.②为二次函数，有递减和递增两个区间，

a>0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的改变关系.故答案为：②.

四、解答题

14.（2024•重庆联合诊断）2024年11月16日召开的经济形势专家和企业家座谈会，全

面分析了当前经济形势，并指出“注意开拓下沉市场特殊是县乡市场，满足量大面广的基层

需求，提升民生品质”等发展方向.某生产企业主动响应号召，确定将一批刚研发的新产品

投入到县乡市场，为了解产品的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，现

对该产品进行试销，得到售价必和销售量修0=1,2,…，6）的对应数据如下表所示：

售价爪元/件）456789

销售量y（件）908483807568

（1）若y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的阅历回来直线方程y="+a；

（2）若该产品每件成本为5元，试依据（1）中的阅历回来方程，确定产品售价为多少元/

件时，企业可获得最大利沟？（结果取整数）

n

»斗一nxy

AJ-14A

参考公式：b=-----------,a=y~bx.

^x>—nx'

f=\

［解析］⑴由题意知；=6.5,7=80,

；360+420+498+560+600+612—6X6.5X80

b=16+25+36-49+64+81-6X6.52

=—4,

a=80-（-4）X6.5=106,

A

故所求阅历回来方程为y=-4x+106.

（2）由题知，当每件售价定为x元时，企业获利

6

z=U-5)(-4x+106)=一4/+126A—530,

对称轴为x=15.75,故当x=16时，z最大，

即每件售价定为16元.

15.(2024•新高考1,19)为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气

质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO,浓度(单位：Pg/m),得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事务”该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且S&浓度不超过150”的概率;

⑵依据所给数据，完成下面的2X2列联表：

SO，

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S0-

浓度有关.

附：2=----------口"be--------.

a+bc+da+c6+d

0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解析］(D依据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且S0?浓度不超

过150的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓

度不超过150的概率的估计值为珠=0.64.

(2)依据抽查数据，可得2X2列联表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

⑶依据⑵的列联表得

100X64X10-16X10

80X20X74X26

7

由于7.484>6.635=旭。1。，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S。浓度有

关.

6B组实力提升9

1.(2024•吉林长春一中期末)为迎接2024年北京冬季奥运会，普及冬奥学问，某校开

展了，，冰雪答题王，，冬奥学问竞赛活动.现从参与冬奥学问竞赛活动的学生中随机抽取了1()()

名学生，将他们的竞赛成果(满分为100分)分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70：80),

[80,90),[90,100],得到加图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值;

(2)记力表示事务“从参与冬奥学问竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的竞赛

成果不低于80分”,估计4的概率;

⑶在抽取的100名学生中，规定：竞赛成果不低于80分为“优秀”，竞赛成果低于80

分为“非优秀”.请将下面的2X2列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为“竞赛

成果是否优秀与性别有关”？

优秀非优秀合计

男生40

女生50

合计100

nad-be

参考公式及数据:

a-Vbc+da+cb+d

P(2”)0.100.050.0250.0100.0050.001

Xc2.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)由题可得

(0.005+0.010+0.020+0.030+a+O.010)X10=1,

解得a=0.025.

⑵由⑴知a=0.025,

则竞赛成果不低于80分的频率为

(0.025+0.010)X10=0.35,

8

故从参与冬奥学问竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的竞赛成果不低于80

分的概率约为0.35.

（3）由（2）知，在抽取的100名学生中，竞赛成果优秀的有100X0.35=35人，

由此可得完整的2X2列联表：

优秀非优秀合计

男生104050

女生252550

合计3565100

所以2的观测值

2100X10X25-25X402900

35X65X50X50-%〜9828-0.001.

所以没有99.9%的把握认为“竞赛成果是否优秀与性别有关”.

2.随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的宠爱，各大购物网站为增加收入，促销

策略越来越多样化，促销钳用也不断增加，下表是某购物网站2017年1〜8月促销涉用近万

元）和产品销量y（万件）的详细数据.

月份12345678

促销费用X2361013211518

产品销量y11233.5544.5

（1）依据数据绘制的散点图能够看出可用线性回来模型拟合y与x的关系，请用相关系数

「加以说明；（系数精确到0.001）

（2）建立y关于x的阅历回来方程（系数精确到0.01）,假如该公司安排在9月

份实现产品销量超6万件，预料至少需投入促销费用多少万元.（结果精确到0.01）

参考数据：£（乂一11）（/-3）=74.5,&（£—11）2=340,£（力一3/=16.5,黄而

比18.44,，正工=4.06,其中为，力分别为第/个月的促销费用和产品销量，/=1,2,3,…，

8.

参考公式：⑴样本（M,7/）（2=1,2,…，n）的相关系数r=

n

£x-xy-y

J=i

q七%-二q七%-72

（ii）对于一组数据（M,yi）,（如次），…，a,%），其回来方程尸bx+a的斜率和械

n

g,XLxy,—y--'_

距的最小二乘估计分别为一;-------二---------，a=y—bx.

XLx

9

［解析］(1)依据数据绘制散点图如下，

y

・

5*

4•

3.

2・

1・・

246810121416IB20”

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，并且逐步上升，所以可以用线性回

来模型拟合y与x的关系：

由题可知x=ll,y=3,

n

x-xy—y

将数据代入r=］,_i_，

虫XLx弋丸匕-y2

得个---———=—"L5一()995

付18.44X4.0674.8664

因为y与'的相关系数近似为0.995,接近于1,说明模拟效果较好，y与x相关性很强,

从而可以用线性回来模型拟合y与4的关系.

n

ZXLxyi-y

(2)将数据代入〃=------------二----------

S.XLx

745

得b=,"0=0.219,

a=~~b7=3-0.219X11^0.59,

所以y关于x的阅历回来方程为尸0.22x4-0.59.

由y=0.22x+0.59>6,解得力24.59,

即至少须要投入促销费用24.59万元.

3.(2024•江西吉安“省重点五校协作体”联考)某县为了在全县营造“奢侈可耻、节约

为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策，为进一步了解此项政策对市民的影响程度,

县政府在全县随机抽取了100名市民进行调查，其中男士比女士少20人，表示政策无效的

25人中有10人是女士.

(1)完成下列2X2列联表，并推断是否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”；

政策有效政策无效总计

女士10

男士

10

合计25100

（2）从被调查的市民中，实行分层抽样方法抽取5名市民，再从这5名市民中随意抽取2

名，对政策的有效性进行调研分析，求抽取的2人中有另士的概率.

nad—be~,,,,

参考公式:1—1———WT（片叶”+°+"

P（2>筋）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］（1）由题意设男士人数为x,则女士人数为升20,又^4-^+20=100,解x=40.

即男士有40人，女士有60人.由此填写2X2列联表如下:

政策有效政策无效总计

女士501060

男士251540

合计7525100

由表中数据，计算

100X50X15-25X10

—5.556<6,635=Ac.oio,

60X40X75X25

所以没有99%的把握认为对“政策是否有效与性别有关”.

（2）从被调查的市民中，利用分层抽样抽取5名市民，其中女士抽取60X而=3人，分

别用力，B,C表示，男士抽取2人，分别用〃，£表示.

解法一：从5人中随机抽取2人的全部可能结果为（力，而，a,。，（力，功，a,9,

（8。，（8,〃），（B,9，（C,〃），（G夕，（〃，£）,共10种.其中抽取的2人中有男士的

全部可能结果为（力，〃），（4D,（B,〃），（8,9,（G。），（。，由，（〃，共7种.

,7

所以，抽取的两人中有男士的概率为P=

-LP2*7

解法二：抽取的两人中有男士的概率为「一^=日.

1/51U

「2rj

解法三：抽取的两人中有男士的概率为Q