湖南师大附中2027届高三月考试卷（一）数学+答案

高三数学一

本试卷分第I卷((选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共6页。时量120分钟，满分150分。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.一个样本3,4,5,6,a的平均数是b,且不等式x²-12x+c<0的解集为(b,a),则这个样本的标准

差是

A.1B.√2C.√3D.2

2.已知向量，b满足|2a+b|=√5,12a-b|=3,则ab=

AB.C.-1D.1

3.已知集合A={xIInx)0},B=,则CAB=

A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|x>2}D.{x|x≥2}

4.已知函数a(aEB)在区间(t-3,t+5)上单调递增，则实数t的取值范围是

A.-6<t<6B.t≥6或t≤-6C.t>6或t<-6D.-6≤t≤6

5.设数列{a}的前n项和为S已知a₁=1,S₀=na₀-2n(n-1),则

A.S₆=a17+a₁B.S₆=a17-a1C.S₆=a17+a2D.S₆=a17-a2

6.三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)(xER),f(x)在处的切线与函数y=f(x)的图象的交

点个数为

A.1个B.3个C.1个或者2个D.2个

7.过抛物线C.y²=4x的焦点F作直线1与C相交于A,B两点，点P在y轴上，PA⊥PB,M为线段

AB的中点，O为坐标原点，则∠OPM的取值范围是

AB.IC.1D.I

8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2√2则该四棱锥的

外接球的表面积为

A.B.C.32πD

数学试卷(T1)第1页(共4页)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列有关复数的结论正确的是

A.3+i>1+i

B.若复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数，则m=-1

C.若2i-3是关于x的方程2x²+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=38

D.若复数z满足1≤Izl<√3,则复数z对应的点所构成的图形面积为3π

10.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB,AB=AC=AA₁=2,点D,E,F分别为A1B1,AA1,CD的

中点.下列结论正确的是

A.EF//平面ABC

B.异面直线EF与BC所成角的余弦值为

C.直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为

D.平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为

11.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断，当x≥0时，f(1+x)=2f(1-x),且当x>0

时，f(1+x)+f(1-x)<0,则下列说法正确的是

A.f(1)=0

B.f(x)在[-∞0,1]上单调递减

C.若x₁<x2,f(x₁)<f(x₂),则x₁+x₂<2

D.若x1,x2是g(x)=f(x)-coS(πX)的两个零点，且x₁<x₂则

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线)的一条渐近线方程是x,则该双曲线的离心率为

13.已知函数f(x)=sinox-cosox(a>0),若集合A={x∈(0,π)|f(x)=1}只含有3个元素，则实数①的取值范围

是

14.在两个实数a,b之间插入这两个数的和，得到数列A1:a,a+b,b;在数列A1的每相邻两个数

之间插入这相邻两个数的和，得到数列.A₂:a,2a+b,a+b,a+2b,b用同样的方式依次构造数列A3,A4,…

若数列A100中所有各项的和为310+1,则a+b=_

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD.

数学试卷(T1)第2页(共4页)

(1)证明：平面ACD⊥平面ABD;

(2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=2√3,求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值.

16.(本小题满分15分)

△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b²+c²-a²=2bcsinA.

(1)求角A;

(2)点D在BC边上，且BD=2DC,AD=2,求△ABC面积的最大值

17.(本小题满分15分)

某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了

这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答

题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互

独立，用频率估计概率.

(1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，求X=1

的概率及X的数学期望.

(2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲

猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能100%选择正确.

①求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值p1;

②已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率.

数学试卷(T1)第3页(共4页)

18.（本小题满分17分）

已知椭圆E:+=1ab>0)的离心率为,长轴长与短轴长的差为2，点A，B，C都在E上，O

为坐标原点，且=+.

(1)求E的方程;

(2)若直线OA，OB的斜率存在，求直线OA与OB的斜率之积；

(3)设直线OA与E的另一个交点为D，点P在线段AD上运动，过点P作斜率为的直线l与E

相交于M,N两点,若直线AD的斜率为3,求|PM|+2|PN|的最大值.

19.（本小题满分17分）

已知当x∈0时，定义函数：fx=cosx+x−1,gx=fx−kx2,完成以下问题：

(1)证明不等式：fx≥0x∈0,并指出等号成立条件.

(2)若gx≥0对任意x∈0恒成立，求实数k的取值范围.

(3)设数列{}满足=n证明数列单调递减且对任意正整数有

an:ank=1cos−n,：an，n，

−2n<a<−2n

.

n+1n3n+1

数学试卷（T1）第4页（共4页）

高三数学一参考答案

题号1234567891011

答案BACBADADBCABDACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.B【解析】由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=12,解得a=7,b=5,所以样本方差

5)²+(6—5)²+(7—5)²]=2,所以标准差为√2.

2.A【解析】将已知两个等式分别两边平方，得|2a+b|²=4|al²+4a·b+|b|²=√5)²=5,①

|2a—b|²=4|al²—4a·b+|b|²=3²=9,②

将①式减去②式，可得(4|al²+4a·b+|b|²)一(4|a|²—4a·b+|b|²)=5-9,解得

3.C【解析】因为A={x|lnx>0}={x|x>1}

所以CAB={x|x>2}.

4.B【解析】f(x)=x²—2x—3=(x—3)(x+1),

当x<-1或x>3时，f(x)>0,当—1<x<3时，f(x)<0,

所以函数f(x)在区间(一∞,-1),(3,+∞)上递增，在区间(一1,3)上递减，

t—3≥3或t+5≤-1,即t≥6或长-6.

5.A【解析】当n≥2时，an=Sₙ-Sₙ-1=nan—2n(n-1)—(n—1)aₙ-1+2(n-1)(n—2)=nan—(n-1)an-1-4(n-1),

则(n-1)an—(n-1)aπ1=4(n-1),即an—an-1=4,所以数列{an}是公差为4的等差数列。

又a₁=1,则aₙ=1+4(n—1)=4n-3:

所以a₁=4×17—3=65,S₆=6×11=66=a17+a₁.

6.D【解析】设切点为(xo,f(x₀)),f(x₀)=az+bx2+cxo+d,斜率k=f(x。)=3ax+2bx。+c,

切线方程为y—f(x₀)=k(x—xo),

所以(ax³+bx²+cx+d)—(ax³+bx+cxo+d)=(x—xo)(3ax+2bx₀+c),

化简，得(x—xo)²(ax+2axo+b)=0,x=xo或

所以当,即时，切线与f(x)有唯一的交点，

当时，切线与f(x)有2个不同的交点。

7.A【解析】过点M作y轴的垂线，垂足为D.设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂2),M(xo,yo),

因为PA⊥PB,M为AB的中点，则

所以

因为x₀≥|OF|=1,则

8.D【解析】分别取AB,CD的中点E,F,连接PE,PF,EF.

PE=√PA²-AE²=√4²—2²=2√3,PF=√PC-CF²=√8-2²=2,

易知△PEF是直角三角形，且∠EPF=90°,

过P作PO⊥EF于0点，

点O到底面中心(设为M)的距离OM=EO—EM=3-2=1.

设四棱锥的外接球球心为O,半径为R.

底面正方形ABCD的外接圆半径

数学参考答案(27T)一1

设球心O到底面ABCD的距离为z,则有：R²=r²+z=(2√2)²+z=8+z²,①

球心到顶点P的距离的平方：R²=|OPl²=0²+(1—0)²+(√3-z)²=1+3-2√3z+z=4-2√3z+z,②

联立①②,解得(说明球心在底面ABCD的下方).

代回①式得半径的平方：

最后，求得外接球的表面积：

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，角

分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BC【解析】因为虚数不能比较大小，所以A错误；

因为复数z=m+1+(m—1)i是纯虚数，所以解得m=-1,故B正确；

因为2i—3是关于x的方程2x²+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则另一根为—2i-3,

由根与系数的关系可解得p=12,q=26,

则p+q=38,故C正确；

若复数z满足1≤|z|<√3,

由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示：

则复数z对应的点所构成的图形面积为π·(√3)²一π·1²=2π,故D错误。

10.ABD【解析】以A为原点，分别以AB,AA₁,AC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系Axyz.各点坐标如下：A(0,0,0),B(2,0,0),A₁(0,2,0),

选项,平面ABC的一个法向量为π=(0,1,0),

显,所以EF⊥n.

又因为E平面ABC,所以EF//平面ABC,故A正确。

选项,BC=(一2,0,2),

所以异面直线EF与BC所成角的余弦值为,故B正确。

选项C:BE=(-2,1,0),CC₁=(0,2,0),CD=(1,2,-2),

易得平面CC₁D的法向量m=(2,0,1)。

设直线BE与平面CC₁D所成角为θ,

,故C错误。

选项D:平面A₁CD的法向量n₁=(0,1,1).

设两平面央角为α,则,故D正确。

数学参考答案(27T)-2

11.ACD【解析】对于A,在f(1+x)=2f(1—x)中令x=0,则f(1+0)=2f(1—0),所以f(1)=0,故A正确。

对于B,当x>0时，f(1+x)=2f(1—x),对f(1+x)=2f(1—x)两边求导，

则f(1+x)=2f(1—x)(一1)=-2f(1-x),

所以x>0时，f(1+x)+f(1-x)=-2f'(1-x)+f(1-x)=—f(1—x)<0,

所以f(1-x)>0,令1-x=μ,μ<1时，f(μ)>0,

所以f(x)在(一∞,1)上单调递增，所以B错。

对于C,由B知，f(x)在(一∞,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减，

由x₁<x₂,f(x₁)<f(x₂)知x₁,x₂不可能均大于等于1,否则x₂>x₁≥1,则f(x₁)>f(x₂),这与条件矛盾，舍去。

①若x₁<x₂≤1,则f(x₁)<f(x₂),满足条件，此时x₁+x₂<2;

②若x₁<1<x₂,则2—x₂<1,而f(x₂)=2f(2—x₂),

则f(x₂)一f(2—x₂)=f(2—x₂)<f(1)=0,

所以f(x₂)<f(2—x₂)→f(x₁)<f(2—x₂),而x₁,2—x₂<1,所以x₁<2—x₂→x₁+x₂<2,C正确。

对于D,由f(x)在(-∞,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减，知f(x)≤f(1)=0,

注意到,g(1)=f(1)+1>0:

所以

若f(x₁)<f(x₂),则x₁+x₂<2,则

→cos(m)<cos(πz),(*)

所以x₁<2—x₂→πx<π(2—x₂)→cos(πx₁)>cos[π(2—x₂)]=cos(πx2),

。),这与(*)矛盾，舍去。

所以1,故D正确。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.

13.【解析】由题意

∵x∈(0,π),∴

又集合A={x∈(0,π)|f(x)=1}只含有3个元素，

,解

∴实数w的取值范围是

14.2【解析】设数列An:a,a₁,a2,…,aA,b,其所有各项的和为Sn,即Sₙ=a+a₁+a₂+…+a+b,

则数列A+1:a,a+a₁,a₁,a₁+a2,a₂,a₂+a₃,a₃,…,ak-1+a,ae,aB+b,b,

其所有各项的和S+1=3(a₁+a₂+…十az)+2(a+b)=3Sπ—(a+b),即

又S₁=a+(a+b)+b=2(a+b),则,所以

从而.因为,所以a+b=2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【解析】(1)证明：因为E在BD上，所以CE与DE是平面BCD内的相交直线。

又因为AE⊥CE,AE⊥DE,可得AE⊥平面BCD.………(2分)

因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD.

又已知CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE,ADC平面ABD,

所以CD⊥平面ABD.

因为CDC平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD.………………·(5分)

数学参考答案(27T)—3

(2)由(1)知，CD⊥平面ABD.

因为EDC平面ABD,所以CD⊥ED(即∠CDE=90°).

又AE⊥平面BCD,AE⊥ED,

以D为坐标原点，分别以DC,BD的方向为x轴、y轴正方向，以过点D且平行于EA的

方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,……(7分)

则D(0,0,0),B(0,-3,0),C(2√3,0,0),A(0,—2,2).

AB=(0,-1,—2),AC=(2√3,2,—2),

设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则有：

令z=-1,则y=2,x=—√3.

所以平面ABC的一个法向量为m=(一√3,2,—1).………(9分)

AD=(0,2,—2),CD=(-2√3,0,0),

设平面ACD的法向量为n=(a,b,c),则：

解得a=0,b=c,令b=1,则n=(0,1,1).………………(10分)

设平面ABC与平面ACD的夹角为θ,则：

故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为…………………(13分)

16.【解析】(1)△ABC中，由余弦定理，a²=b²+c²—2bccosA,又b²+c²-a²=2bcsinA,故sinA=cosA,tanA=1,…

………………(3分)

又0<A<π,…………………………(5分)

(2)由题，a……………(7分)

记∠ADB=α,则∠ADC=π—a,

△ABD

△ACD中

由①+②×2得……………………(9分)

由(1)知，a²=b²+c²—√2bc,代入③中整理得：

当且仅当时取“=”,

,解得……………(12分)

故△ABC面积的最大值……………………(15分)

17.【解析】(1)由题意，用频率估计概率，甲校学生答对该题的概率为

乙校学生答对该题的概率为

设从甲、乙两校各抽取的1名学生答对的人数分别为X₁,X₂,则X₁~B(1,0.8),X₂~B(1,0.75),

且X₁,X2相互独立。

总答对人数X=X₁+X₂,且X的可能取值为0,1,2.

P(X=1)=P(X₁=1,X₂=0)+P(X₁=0,X₂=1)=0.8×(1—0.75)+(1—0.8)×0.75=0.35.……………(3分)

根据期望的线性性质：

数学参考答案(27T)—4

E(X)=E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂)=0.8+0.75=1.55(6分)

(也可列分布列计算：P(X=0)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.60,

则E(X)=0×0.05+1×0.35+2×0.60=1.55.)

(2)①记事件M为“甲校学生掌握该知识点”,事件C为“甲校学生选择正确”。

由题意知，选项有4个，随机盲猜答对的概率为0.25.

则P(C|M)=1,P(C|M)=0.25.

根据全概率公式：P(C)=P(M)P(C|M)+P(M)P(C|M).

代入已知数据：0.8=p₁×1+(1一p₁)×0.25.

解得方程：0.75p₁=0.8—0.25=0.55,

所以甲校学生掌握该知识点的概率估计值……………………(10分)

②本问即求在事件C发生的条件下，事件M发生的概率，

,代入数据：

所以已知甲校学生答对的条件下，该生是靠“盲猜”答对的概率为：…………(15分)

18.【解析】(1)由已知,则,即,得4a²=9b²,所以2a=3b.…………(2分)

又2a—2b=2,即a=b+1,则2(b+1)=3b,得b=2,从而a=3.……………(3分)

所以E的方程…………………(4分)

(2)设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),因：

,………………(5分)

因为点C在E上，则

…………(7分)

因为点A,B在E上，则

,即

所以

(3)由题设，直线AD的方程为y=3x,设直线l的方程为,联立两方程解得，

,所以点,…………(10分)

将,即5x²+2mx+2m²—18=0.

设点M(x₃,y3),N(x4,y4),则………………(12分)

不妨设x₃>x₄,因为点P在线段AD上，则

……………………(15分)

因为点N在y轴左侧，则—2≤x₄<0.当x₄=—2时，直线l过E的左顶点(一2,0),

L的方程为1,联立y=3x,解得

因为点在椭圆内，从而在线段AD上.

数学参考答案(27T)-5

所以当x₄=—2时，|PM|+2|PN|取最大值3√5.………………(17分)

19.【解析】(1)由,f(0)=0,,求导,令f(x)=0,在

内有唯一零点xo。当x∈(0,xo)时，f(x)>0,f