2026秋人教A版高一（必修一）周测练4　指数函数与对数函数

周测练(四)指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2026·上海高考)a是不为1的任意实数，则a·3a＝A．a32 C．a52 2．函数f(x)＝lgx＋lg(5－3xA．0，53 C．1，53 3．函数f(x)＝lgx＋x2－5的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．34．若a＝30.1，b＝log0.72，c＝(π－1)0，则()A．a>c>b B．c>a>bC．a>b>c D．c>b>a5．已知函数f(x)＝11+2x，则对任意实数A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝13 D．f(－x)＋f(x)＝6．已知函数f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，则a的取值范围为()A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－4，4]D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)7．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数，那么函数f(x)＝loga1xABCD8．(2025·北京高考)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A．2 B．4C．20 D．40二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知a＝lg2，b＝lg3，则()A．a＋b＝lg6 B．a2b＝logC．2＋ab＝log212 D．b－a＝lg10．已知函数f(x)＝|2x－2|，且f(a)＝f(b)，a<b，则()A．2a＋2b＝4 B．a＋b<2C．b<1 D．f(a)·2b∈(0，8)11．已知正实数x，y满足log2x＋log12y<12xA．1x<1y B．x3<C．ln(y－x＋1)>0 D．2x-y<1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数y＝3−3+413．已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数f(x)＝log2x2·log2x14．已知函数f(x)＝x2−2x，x≤1，1−x−3|，x>1，若关于四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)(1)计算51160.5－2×21027−23－(2)计算3log32－2log23·log278＋13log6816．(本小题满分15分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(m，n)．在①2m−2＋9−3n＝0，②函数y＝x2－2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝logbx＋3(b>0，且b≠1)过定点(m，n(1)求f(x)的解析式，判断并证明g(x)＝f(x)＋1f((2)解不等式：loga(1＋x)<loga(2－x)．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．17．(本小题满分15分)设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．18．(本小题满分17分)【教材原题·P161复习参考题4T12】对于函数f(x)＝a－22x+1(a(1)探索函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?19．(本小题满分17分)手机实际充电过程中，为保护电池健康，在不同电量时往往采用不同的模式充电，某旧电池从某个电量开始充电到充满电为100%的模拟充电实验中，手机电量Q(t)(单位：%)与充电时间t(单位：min)近似满足：当0≤t<10时，Q(t)＝55·2t10−1；当10≤t≤60时，Q(t)＝at2－t5＋b；当t>60时，Q(t)＝90lgt－80．其中a，b∈R，设t＝0为该旧电池开始充电的时刻，Q(10)＝55，Q(60)＝80．已知Q(t)单调递增，当手机检测到电池已经充满电时(1)求该旧电池开始充电时的电量及充满电的时间；(2)求a，b的值．周测练(四)1．B[a·3a＝a·a13＝a2．C[由lgx≥0，5−3x>0，得x≥1，x3．B[令f(x)＝lgx＋x2－5＝0，则lgx＝5－x2，在同一直角坐标系中作出y＝lgx，y＝5－x2的图象，如图．由图可知，y＝lgx与y＝5－x2的图象有1个交点，则函数f(x)＝lgx＋x2－5有1个零点．故选B．]4．A[因为a＝30.1>1＝c，b＝log0.72<0，所以a>c>b．故选A．]5．D[因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝11+2−所以f(－x)＋f(x)＝2x1+2x＋11+2x＝1．故A、C错误，D正确；f(－x)－f(x)＝11+2−x－11+2x＝2x1+6．C[根据题意得，y＝x2－8x＋a2的值域为(0，＋∞)，所以Δ＝64－4a2≥0，解得－4≤a≤4，所以a的取值范围为[－4，4]．故选C．]7．B[依题设知a>1，且f(x)的定义域为(1，＋∞)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B．]8．B[由题意知，klog2(1.024×109)－klog2106＝20，即klog21.024×109106＝20，所以klog21024＝20，解得k＝20log21024＝2010＝2，所以2log2(4.096×109)－2log2(1.024×109)＝2log24.096×1091.024×9．AD[对于A选项：lg6＝lg2＋lg3＝a＋b，A正确；对于B选项：log34＝lg4lg3＝2lg2lg3＝2ab≠a对于C选项：log212＝log24＋log23＝2＋lg3lg2＝2＋ba，C对于D选项：lg32＝lg3－lg2＝b－a，D正确．故选10．ABD[y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0．对于A，因为f(a)＝f(b)，a<b，所以a∈(－∞，1)，b∈(1，2)，此时2－2a＝2b－2，移项可得2a＋2b＝4，所以选项A正确；对于B，由2a＋2b＝4，根据基本不等式2a＋2b≥22a即4≥22a+b，两边同时平方得16≥4×2a+b，化简得又因为a≠b，所以a＋b<2，选项B正确；对于C，由图象知b>1，所以选项C错误；对于D，由2a＋2b＝4，得2b＝4－2a，所以f(a)·2b＝(2－2a)(4－2a)，令t＝2a，t∈(0，2)．则y＝(2－t)(4－t)＝t2－6t＋8＝(t－3)2－1，当t∈(0，2)时，y∈(0，8)，所以选项D正确．故选ABD．]11．BC[∵正实数x，y满足log2x＋log12y<12∴log2x－12x<log2y－易知f(x)＝log2x－12x在(0，＋∞)上单调递增，故x<∴1x>1y，x3<y3，故A错误，B∴y－x>0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x-y<20＝1，故D不一定正确．故选BC．]12．(－∞，2][令u＝－3＋4x－x2，因为y＝3u为增函数，所以y＝3−3+4u＝－3＋4x－x2＝－(x－2)2＋1的单调递增区间(－∞，2]．]13．34[由2(log2x)2－5log2x＋2≤0，解得12≤log2x≤f(x)＝log2x2·log2x4＝(log2x－1)·(log2x－2)＝log2x－322－14，12≤log2x当log2x＝12时，f(x)取得最大值314．1或－1[因为f(x)＝x2−2作出函数的图象，如图所示：由此可知函数y＝f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，又因为关于x的方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根，结合图象可得a＝1或－1．]15．解：(1)51160.5－2×21027−23－2×(2+π)0÷34-2＝811612－2×6427−23－2×1×342＝94212－2×433−23－2×916＝94－2×43-2－98＝94－9(2)3log32－2log23·log278＋13log6＝2－2log23×log32＋13log623＋2log6＝2－2＋log62＋log63＝1．16．解：(1)由①可知，2m−2＋9−3n＝0，即2m−2=0，9−3n=0，解得m=1，n=3，由②可知，函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则m=1，n=3，由③可知，函数y＝logbx＋3(综上，三个条件中任选一个，均有m=1，n=3，即f(x)＝ax过点(1即a＝3，f(x)＝3x．g(x)为偶函数．证明如下：g(x)＝f(x)＋1f(x)＝3x＋3-x，g(－x)＝f(－x)＋1f(−x)＝3x＋3-x＝g∴g(x)为偶函数．(2)loga(1＋x)<loga(2－x)，即log3(1＋x)<log3(2－x)，可化为2－x>1＋x>0，∴－1<x<12即不等式loga(1＋x)<loga(2－x)的解集为x−1<17．解：(1)由已知得f得a解得a＝4，b＝2．(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，令f(x)＝0，得4x－2x＝1，即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1±5又2x>0，所以2x＝1+52，解得x＝log2所以函数f(x)的零点为log21+5(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，则g(t)＝t2－t＝t−122－14，t所以g(t)∈[0，240]．所以g(x)在[0，4]上的值域为[0，240]．18．解：(1)函数f(x)的定义域为R，而y＝2x为增函数，则y＝22x+1为减函数，故f(x)＝a－证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1+1－a－22x2+1＝2(2因为x1<x2，所以2x1<2x2，则2x1－2x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数．(2)假设存在实数a，使f(x)为奇函数，则f(0)＝0，所以a－220+1＝0，解得a当a＝1时，f(x)＝1－22x+1＝2xf(－x)＝2−x−12−x+1＝则f(x)为奇函数，故存在实数a＝1满足题意．19．解：(1)手机电量Q(t)与充电时间t近似满足：当0≤t<10时，Q(t)＝55·2t已知t＝0为该旧电池开始充电的时刻，则Q(0)＝55·2010−1＝55·2-1故该旧电池开始充电时的电量为27.5%；充满电即电量达到100%