不等式的性质

3.1.2不等式的性质（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）我的年龄大于你的年龄,2年后我们年龄的关系，10年后我们年龄的关系又会怎样?要想解决上述问题，请进入本节课的学习！1.掌握不等式性质及各自成立的条件.（重点）2.能利用不等式的性质比较大小和证明不等式.（难点）

思考1

在前面三个例子中，根据我们学习的不等关系，如何加以描述呢？提示:（1）可以描述成“乙的年龄小于甲的年龄”.（2）由题意知，甲的身高一定大于丙的身高.（3）2年后我的年龄依然大于你的年龄，10年后也一样.

思考2

同学们结合上面的例子，能否推测一下不等式的性质呢？提示：性质1（对称性）如果a>b，那么b<a;如果b<a,那么a>b.性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向.性质2（传递性）如果a>b，且b>c,则a>c.证明：根据两个正数之和仍为正数，得这个性质也可以表示为性质3如果a>b,则a+c>b+c.证明：因为a>b,所以a-b>0.因此(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b>0,即(a+c)-(b+c)>0.因此a+c>b+c.性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得到的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出要点归纳：性质3推论1a+b>c⇒a>c-b

（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.性质3推论2如果a>b,c>d,则a+c>b+d.（同向不等式可加）可推广到几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.

思考3

不等式还有什么其他性质吗？解答：性质4可乘性如果a>b,c>0,则ac>bc;

如果a>b,c<0,则ac<bc.

解题过程中要注意c=0.要点归纳：性质4推论1如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd.可推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.性质4推论2如果a>b>0,则an>bn(n∈N+，n>1).性质4推论3如果a>b>0,则(n∈N+,n>1).例.应用不等式的性质，证明下列不等式：(1)已知a>b，ab>0,求证：；(2)已知a>b，c<d,求证：；(3)已知a>b>0，0<c<d,求证：.证明：(2)因为a>b,c<d,所以a>b,-c>-d,根据性质3的推论2，得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

(3)因为0<c<d,根据（1）的结论，得，

又因为a>b>0,所以.因此从以上几个不等式的证明过程，可以看到：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.1.（2013·北京高考）设a,b,c∈R,且a>b,则( )

A.ac>bc B.C.a2>b2 D.a3>b3解析:y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3>b3.D2.（2012·浙江高考）设a>0，b>0.（）A.若2a+2a=2b+3b，则a＞bB.若2a+2a=2b+3b，则a<bC.若2a-2a=2b－3b，则a＞bD.若2a-2a=2b-3b，则a＜bＡ解析:当0<a≤b时，显然2a≤2b，2a≤2b＜3b，所以2a+2a＜2b+3b，即2a+2a≠2b+3b成立.所以它的逆否命题：若2a+2a=2b+3b，则a＞b成立，故A正确.B错误，当0＜a≤b时，由2a≤

2b，2a＜3b，知2a-2a与2b-3b的大小关系不确定，所以C不正确，D不正确.3.对于实数，给出下列论述：①②③