第五讲六年级数学分数除法应用题“不变量”解题

同学们，在分数除法的世界里，应用题往往像一座小小的迷宫，让我们有时感到困惑。其中，有一类问题的关键，就在于找到那个“深藏不露”的“不变量”。今天，我们就专门来探讨如何抓住这个“不变量”，让解题思路豁然开朗，化难为易。一、什么是“不变量”？为何它如此重要？在许多分数应用题中，我们会遇到各种数量的变化，比如“增加了几分之几”、“减少了几分之几”，或者两个量之间的比例发生了改变。但请记住，在这些变化的背后，往往存在着一个或几个始终保持不变的量，这就是我们所说的“不变量”。这个“不变量”之所以关键，是因为它可以作为我们分析问题的“锚点”和“基准”。很多时候，题目中的分数都是相对于某个量而言的，如果这个量本身在变化，直接以它为单位“1”就会很麻烦。但如果我们能找到那个不变的量，将其确定为单位“1”，或者把不同时期的分率都统一到这个不变量上来，就能清晰地找到数量之间的对应关系，从而顺利列出算式求解。二、如何寻找“不变量”？寻找“不变量”并没有固定的公式，它需要我们仔细审题，分析题目中描述的情境，判断哪些量是变化的，哪些量是固定不变的。常见的“不变量”类型有以下几种：1.总量不变：例如，一堆货物，运走一部分，剩下一部分，货物的总量（原来的总量）有时是不变的；或者，两种溶液混合，混合前后的总质量可能不变（在不考虑化学反应等特殊情况下）。2.部分量不变：例如，某班男生人数增加或减少，但女生人数可能不变；或者，从一个容器中倒出一些液体，再加入另一种液体，但容器中某种特定成分的量可能不变（如果只是单纯倒出和加入同一种液体，总量不变，但若加入不同液体，则需具体分析）。3.差量不变：例如，哥哥和弟弟的年龄都在增长，但他们的年龄差始终不变。4.某个量的具体数值不变：题目中明确给出某个量的具体数量，并且在过程中没有发生增减。三、运用“不变量”解决问题的步骤与实例分析找到了“不变量”，接下来就是如何巧妙地运用它。核心思想是：以“不变量”为单位“1”，将其他变化的量用这个单位“1”的分率来表示，然后根据已知条件找出分率与具体数量的对应关系，进而求出单位“1”，再解决其他问题。下面我们通过几个典型的例子来具体说明。（一）总量不变型例1：学校图书馆有一批故事书，借出总数的3/5后，又买来新故事书若干本，这时书架上的故事书是原来总数的4/5。已知买来的新故事书有20本，学校图书馆原来有故事书多少本？分析与解答：首先，我们来分析题目中的量。“借出总数的3/5”，这里的“总数”指的是“原来的总数”。然后“又买来新故事书若干本”，导致书架上的书的数量发生了变化。最后“这时书架上的故事书是原来总数的4/5”。在这个过程中，什么量是不变的呢？“原来的总数”在借出一部分后，又买了新的，所以现在的总数变了。但题目中“原来的总数”这个量本身，它的数值是固定的，虽然书被借走了，但“原来有多少”这个事实没有变。我们可以把“原来的总数”看作不变量，设为单位“1”。借出总数的3/5后，剩下的故事书是原来总数的：1-3/5=2/5。又买来20本后，现在的故事书是原来总数的4/5。那么，买来的这20本对应的分率就是：4/5-2/5=2/5。这意味着原来总数的2/5是20本。所以，原来的总数为：20÷(2/5)=20×(5/2)=50(本)。答：学校图书馆原来有故事书50本。（二）部分量不变型例2：六（1）班原有学生若干人，其中男生占5/9。后来又转来几名女生，这时男生占全班人数的15/31。已知六（1）班原有男生25人，问转来几名女生？分析与解答：题目中提到了“原有学生”、“男生”、“女生”，以及“转来几名女生”。显然，女生人数和全班总人数发生了变化。但题目中明确告诉我们“原有男生25人”，并且在转来女生的过程中，男生人数没有增加或减少，所以男生人数是不变量。我们已知原有男生25人，且原有男生占原有全班人数的5/9。那么，我们可以先求出原有全班人数。设原有全班人数为单位“1”，则：原有全班人数×5/9=25人。所以，原有全班人数=25÷(5/9)=25×(9/5)=45(人)。转来女生后，男生人数仍然是25人，这时男生占全班新人数的15/31。设转来女生后全班人数为新单位“1”（或者说，将新全班人数看作单位“1”）。则：新全班人数×15/31=25人。所以，新全班人数=25÷(15/31)=25×(31/15)=155/3≈51.666...？不对，人数必须是整数。哦，这里计算要准确：25和15约分，5和3，所以是5×31/3=155/3？这显然不对，说明我哪里出错了。（稍作停顿，检查）啊，对不起，同学们，老师刚才计算有误。25÷(15/31)=25×(31/15)=(25/15)×31=(5/3)×31=155/3。这确实不是整数，这说明我们的理解或者计算过程可能存在偏差。让我们再仔细看看题目：“六（1）班原有学生若干人，其中男生占5/9。后来又转来几名女生，这时男生占全班人数的15/31。已知六（1）班原有男生25人...”原有男生25人，占原有全班的5/9，所以原有全班是25÷5/9=45人，这个是对的。男生25人。转来女生后，男生还是25人，占新全班人数的15/31。那么新全班人数就是25÷(15/31)=25×31/15=(5×5×31)/(3×5))=(5×31)/3=155/3。这确实不是整数，这说明题目数据可能我设定得不太好，或者在实际解题中遇到这种情况，我们要检查是否单位“1”找错了，或者题目是否有其他隐含条件。在这个例子中，因为男生人数是不变的25人，而25人对应新全班人数的15/31，那么新全班人数必须是25÷15/31，这说明我最初设定“原有男生25人”这个数据可能不太恰当，导致结果不是整数。我们换一个思路，或者调整一下数据来演示。假设原有男生是30人，那么原有全班就是30÷5/9=54人。转来女生后，男生30人占新全班的15/31，新全班就是30÷15/31=62人。转来女生62-54=8人。这样就合理了。看来，在举例时，数据的选取也要注意合理性。不过，这个例子的核心是说明“部分量不变”的思想，即抓住“男生人数不变”这个关键。回到原题，假设我们通过正确计算得到了新全班人数，那么转来的女生人数就是：新全班人数-原有全班人数。这个例子告诉我们，当某个部分量不变时，我们可以先根据这个部分量及其对应的原有分率求出总量，再根据这个不变的部分量及其对应的新分率求出新的总量，两者之差就是变化的量。（三）差量不变型例3：小明和小红拥有的邮票张数之比是5:3，小明给了小红10张后，两人邮票张数之比变为7:5。小明和小红原来各有多少张邮票？分析与解答：题目中，小明和小红的邮票张数都发生了变化，他们之间的比例也变了。但是，我们思考一下：小明给小红邮票，只是邮票在两人之间的转移，两人邮票的总张数是不变的！对，这就是一个“总量不变”的例子，也可以看作是“和不变”。原来小明和小红邮票张数之比是5:3，那么总份数是5+3=8份。小明占总数的5/8，小红占总数的3/8。小明给了小红10张后，两人邮票张数之比变为7:5，这时总份数是7+5=12份。小明占总数的7/12，小红占总数的5/12。由于总数不变，我们可以把总数看作单位“1”。小明原来占总数的5/8，后来占总数的7/12。他的邮票张数减少了10张，对应的分率就是：5/8-7/12。通分计算：5/8=15/24，7/12=14/24，所以分率差是15/24-14/24=1/24。这意味着总数的1/24是10张。所以，邮票总张数为：10÷(1/24)=240(张)。那么，小明原来有：240×5/8=150(张)。小红原来有：240×3/8=90(张)。我们可以验证一下：小明给小红10张后，小明有140张，小红有100张，140:100=7:5，符合题意。答：小明原来有150张邮票，小红原来有90张邮票。四、总结与提升通过以上几个例子，我们可以清晰地感受到，找到“不变量”对于解决这类分数除法应用题是多么重要。它能帮助我们拨开迷雾，找到解题的突破口。解题小窍门：1.耐心读题，圈点关键信息：明确哪些量在变，哪些量可能不变。2.判断不变量类型：是总量不变、部分量不变、差量不变还是其他？3.巧妙设单位“1”：通常将“不变量”设为单位“1”，使复杂的关系简单化。4.统一分率：将题目中不同状态下的分率，都统一到以“不变量”为单位“1”的标准下。5