浙江A9协作体2026-2027学年暑假返校学情诊断数学+答案

绝密★考试结束前

浙江省A9协作体暑假返校学情诊断

高三数学试题卷

命题：桐乡凤鸣高级中学沈金兴审题：马寅初中学陈志远定海一中张翰琼校稿：童金菊

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸

规定的地方。

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷

纸上答题一律无效。

4.考试结束后，只需上交答题卷。

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设A={12,3,4},B={3,4,5,6},则A∩B=

A.{3}B.{3,4}C.{1,2,3,4,5,6}D.

2.已知i为虚数单位，则复数

A.1B.-1C.iD.-i

3.向量a=(-1,2),b=(λ,4),若a⊥b,则λ=

A.2B.-2C.8D.-8

4.在160和-5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为

C.-2D.2

B.

5.设x,y∈R+,若lgx与lgy互为相反数，则

A.xy=1B.C.x+y=0D.x-y=0

6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着

一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河

边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为

B(-1,-4),若将军从点A(1,-1)处出发，河岸线所在直线方程为x-y=0.则“将军饮马”的最

短总路程为

A.√17B.√13C.5D.4

7.sin40°(tan10°-√3)的值是

A.1B.-1C.D.

8.已知三个数a,b,c,a=In10,b=√10,c=log₂10,则

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b

浙江省A9协作体暑假返校学情诊断高三数学试题卷第1页共4页

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.7个样本数据：5,6,3,1,9,6,12,则下列说法正确的是

A.极差是10B.平均数是6

C.众数是6D.中位数是6

10.已知抛物线C:x²=2py(p>0),其焦点F到准线的距离为2,且B为C上的动点，则

A.C的方程为：y=4x²

B.已知点A(2,3),则B|A|+|BF|的最小值为4

C.直线y=kx+1被抛物线截得的弦长最小值为4

D.若抛物线准线与y轴交于点N,设BN斜率为k,则|k|的最小值是1

11.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1,E、F分别为AB、BD₁中点，点M在正方体的表面上运动，

且满足FM⊥DE.记点M的轨迹为厂，则下列命题正确的是

A.I是矩形

B.I所围图形的面积为·

C.点B与I所围成的空间几何的体积是

D.点H∈线段BB,T所在平面与ACH平面的夹角余弦值范围为|

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二项式(x+1)⁶展开式中第4项系数是▲(用数字作答)

13.已知等差数列{aₙ}的前n项和为S。,且S₃=-12,S₉=45,则S₆=▲

14.过椭圆上一点P作椭圆的切线分别交x、y轴于点A、B,|PA|=2,则|PB|=.▲

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△ABC中，点D在边BC上，且满足BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°.

(1)求边AC的长；

(2)若点P是BC中点，求cos∠APC.

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16.(15分)已知函数f(x)=eˣ-ax²(a∈R).

(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a的值和切线方程；

(2)若f(x)在(0,+∞)上有2个零点，求a的范围.

17.(15分)如图，矩形ABCD中，AB=3√3,AD=3.将△BCD没对角线BD折起，得到三棱锥

C'-ABD,C'在底面上的投影O在AB上.

(1)证明：AD⊥BC';

(2)证明：平面DBC′⊥平面ADC';

(3)求AB与平面BC'D所成角的正弦值.

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18.(17分)已知双曲线C:1(a>0,b>0)的离心率为3,且左右焦点分别为F,F₂,点F₂到

渐近线的距离为2√2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点F₂的直线1与C的左右两支交于A、B两点.

(i)若直线1的斜率为-1,求|AB|的长；

(ii)若A|F|=|B|,证明：|AF₂|,|AB|,|BF₂|成等比数列.

19.(17分)甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为p(0<p<1),乙胜概率为9,且P+q=1.比赛进行

到有1人连胜两局时结束.记X为比赛的局数，P(X=k)(k∈N*)表示比赛进行k局结束的概率.

(1)若,求p(X=2),p(X=3);

(2)求p(X=2k),p(X=2k+1)(结果用p,q表示);

(3)E(X)表示X的期望.

(i)求E(X)(结果用p,q表示);

(ii)证明：E(X)≤3.

(参考公式：无穷等比数列{a},公比为q,若0<q<1,则：

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浙江省A9协作体返校联考

高三数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题目12345678

答案BDCAACBC

第8题解答：

∵a=In10<Ine³=3,b>3,c>3,∴a最小

∵由y=2*与y=x²的图象知，当2<x<4时，2*<x²,

∴取x=√10,得210<(√10)²=10,

∴√10<log₂10,即b<c,因此有：a<b<c,选C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

题目91011

答案BCDBCDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.2013.314.3

第14题解答：

法一：由对称性知，不妨设点P(x₀,y)在第一象限，则切线方程：

∴,解得：

,A√15,0),BO,√10),:|PB²=9,得|PB|=3

法二：将椭圆仿射变换成圆：x²+y²=r²,则过圆上一点P作切线1分别交x轴、y轴于A、B两

点，由射影定理知：P|A|·|PB|=r²,故类比还原成椭圆的结论是：PA|·|PB|=ab,

∴2|PB|=2×3,:|PB|=3.

法一图法二图

浙江省A9协作体数学答案第1页共5页

四、解答题：本题共5小题，共77分.

注：阅卷时，每小题答案正确，且有过程，则为满分.若答案错误，则参考提供的分值.有较多解

法的题目，则不同的解答方法可酌情对应给分.

15.解：

(1)∵∠ADC=150°,∴∠ADB=30°,∵∠B=60°,∴∠BAD=90°;

∴AB=1,AD=√3………………(4分)

∴AC²=3+1-2×√3×1×cos150°=7,∴AC=√7………………(6分)

(2)∵

.………………(10分)

………………(13分)

16.解：

(1)∵f(1)=e-a,∴切点(1,e-a),………………(2分)

∴f'(x)=e-2ax………………(4分)

…(6分)

切线方程：…(8分)

………………(10分)

(2)f(x)=e'-a²=0,

设………………(12分)

∴x∈(0,2)时，g(x)为减函数；∴x∈(2,+∞)时，g(x)为增函数；

………………(14分)

………………(15分)

17.证：

(1)∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB…(1分)

又.C'O⊥面ABCD,:.C'O⊥AD…(2分)

…(3分)

∵AB∩C'O=0,:AD⊥面ABC'

………………(4分)

∵AD⊥BC'

(2)由(1)知：

AD⊥BC',又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C'D……(6分)

∵AD∩C'D=D,∴BC′⊥面ADC′………………(7分)

∵BC′c面DBC',面DBC′⊥面ADC′…(8分)

解：

(3)

浙江省A9协作体数学答案第2页共5页

过点O作OH/IAD,显然OH⊥面ABC'.以O为原点，如图建系.

在Rt△ABC'中，∵(BC')²=BO·B4,∴9=BO·3√3,:BO=√3,OA=2√3.

4(0,2√3,0),B(O,-J3,0),C'0,0,√6),D(3,2√3,0)…………(11分)

AB=(0,-3√3,0),BC=(0,√3,√6),BD=(3,3√3,0)

求得平面BC'D的法向量n=(√6,-√2,1)……………(13分)

……………(15分)

(注：本题(1)(2)两问一开始建系也可以，参考提供的分值相应给分即可)

18.解：

(1)∵∴c=3a,∵b=2√2,∴c²=a²+b²=a²+8=9a²,∴a=1

双曲线方程：……………(5分)

(2)(i)F₂(3,0),k=-1,直线l的方程为：y=-x+3,…………(6分)

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则：

消元得：7x²+6x-17=0,△=36+4×7×17=4×128,……………(8分)

…………(10分)

(ii)双曲线C的方程为,焦点F₁(-3,0),F₂(3,0)·由题设知，直线1的斜率必

存在，故设1:y=k(x-3),A(x,y),B(x₂,y₂)(x≤-1,x₂≥1)·

浙江省A9协作体数学答案第3页共5页

由得(k²-8)x²-6k²x+(9k²+8)=0,所以……(12分)

由|AF|=|BF|,所以(x₁+3)²+k²(x₁-3)²=(x₂+3)²+k²(x₂-3)²,即

(x₁-x₂)[(x₁+x₂+6)+k²(x₁-x₂-6)]=0,

所以,解得………(14分)

此时，有|AF₂|·|BE₂|=√1+k²|x-3|·√1+k²|x₂-3|=(1+k³)|xx₂-3(x₁+x₂)+9|=16,

|AB²=(x₁-x₂)²+k²(x₁-x₂)²=(1+k³)[(x+x₂²-4x;x₂]=16.………(16分)