2026秋高三数学复习 平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题(解析版)

平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题

专项训练

考点一平面向量的线性运算与基本定理

uuurruuurruuur

1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记AB=a,AD=b，则BE=（）

r1rr1r1rr1rr

A．a+bB．a-bC．-a+bD．-a-b

2222

【答案】C

uuur1uuur

【详解】因为E为CD的中点，所以CE=CD，

2

uuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuur1rr

所以BE=BC+CE=BC+CDAD-=AB=-a+b.

222

故选：C

uuur

2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，则AF=（）

3uuur1uuur1uuur2uuur2uuur1uuur1uuur3uuur

A．AB+ADB．AB+ADC．AB+ADD．AB+AD

44333344

【答案】B

【详解】因为在平行四边形ABCD中，AB//CD，所以VDEF:VBAF，

DFDE1uuur2uuur

因为E是CD的中点，所以==，即BF=2DF，BF=BD，

BFAB23

uuuruuuruuuruuur2uuuruuur2uuuruuur1uuur2uuur

根据向量的加法法则，AF=AB+BF=AB+BD=AB+(BA+AD)=AB+AD，

3333

故选：B.

uuuruuur

3．（24-25高一下·四川成都·期末）设D为VABC所在平面内一点，CD=3BD，则（）

uuur1uuur4uuuruuur3uuur1uuur

A．AD=-AB+ACB．AD=AB-AC

3322

uuur3uuur1uuuruuur4uuur1uuur

C．AD=-AB+ACD．AD=AB-AC

2233

【答案】B

uuuruuuruuuruuur3uuuruuur3uuuruuur3uu1uuurur

【详解】根据题意可知AD=ACCD=+AC+CB=AC+CA+AB=AB-AC.

2222

故选：B.

uuuruuur

4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且BA=4PA.若

uuuruuuruuur

OP=xOA+yOB，则（）

31211213

A．x=,y=B．x=,y=C．x=,y=D．x=,y=

44333344

【答案】A

uuuruuuruuur3uuur

【详解】由BA=4PA，可得BP=BA，

4

uuuruuuruuuruuur3uuuruuur3uuur1uuur

所以OP=OB+BP=OB+OA-OB=OA+OB，

444

31

\x=，y=．

44

故选：A

uuuuruuuur

5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在VABC中，BM=2MC,N为线段AM上一点，且

uuuruuurluuur

AN=(1-l)AB+AC，则实数l的值为（）

3

3256

A．B．C．D．

4567

【答案】D

uuuuruuuuruuuur2uuur

【详解】因BM=2MC，则BM=BC，

3

uuuuruuuruuuuruuur2uuuruuur2uuuruuur1uuur2uuur

故AM=AB+BM=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+AC，

3333

uuuruuuuruuurtuuur2tuuur

因A,N,M三点共线，故设AN=tAM，则AN=AB+AC，

33

ìt

1-l=

uuuruuurluuurï36

因AN=(1-l)AB+AC，则í，解得l=．

3l2t7

ï=

îï33

故选：D．

uuuruuruuuruuuruuur

6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形ABCD中，已知EC=BE，DF=2FC，则FE=（）

1uuur1uuur1uuur1uuur

A．-AB+ADB．-AB-AD

3232

1uuur1uuur1uuur1uuur

C．AB+ADD．AB-AD

3232

【答案】D

uuuruuuruuuruuur

【详解】在平行四边形ABCD中，有AB=DC,AD=BC.

uuuruuruuuruuur

已知EC=BE，DF=2FC，

法一：

uuruuuruuuruuuruuruuuruuuræuuur1uuuröæuuur2uuurö

FE=AE-AF=AB+BE-AD+DF=çAB+BC÷-çAD+DC÷

è2øè3ø

æuuur1uuuröæuuur2uuurö1uuur1uuur

=çAB+AD÷-çAD+AB÷=AB-AD.

è2øè3ø32

uuuruuuruuur1uuur1uur1uuur1uuur

法二：FE=FC+CE=DC+CB=AB-AD.

3232

故选：D

uuurruuurruuurrr

7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在VABC中，D为BC的中点，设AB=a,AD=b，且AC=la+mb，则

lm=．

【答案】-2

uuur1uuur1uuur1r1uuurr

【详解】由于D为BC的中点，故AD=AB+AC=a+AC=b,

2222

uuurrrrr

故AC=2b-a=la+mb，故l=-1,m=2，

进而lm=-2，

故答案为：-2

8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在VABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F.若

uuur3uuur1uuurAC

AF=AB+AC，则的值为.

77AD

【答案】4

uuuruuur

【详解】设AC=lAD，

uuur3uuur1uuur

因为AF=AB+AC，

77

uuur3uuur1uuur

所以AF=AB+lAD，

77

因为B，F，D三点在同一条直线上，

31

所以+l=1，所以l=4，

77

AC

所以=4．

AD

故答案为：4.

9．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在VABC中，已知AB=6，AC=8，ÐBAC=60°，AB,AC边上的两条中

线CM,BN交于点P，则BC=，cosÐMPN=．

10710

【答案】213-/-7

4949

【详解】由题可知：BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosÐBAC=62+82-2´6´8´cos60o=52ÞBC=213，

uuuruuuruuuruuur

AB×AC=AB×ACcosÐBAC=24

由AB,AC边上的两条中线CM,BN交于点P，所以P为VABC的重心，

uuuur1uuuur1uuuuruuur1æ1uuuruuuröuuur1uuur1uuuruuur1æ1uuuruuurö

PM=CM=AM-AC=çAB-AC÷，PN=BN=AN-AB=çAC-AB÷，

333è2ø333è2ø

2

uuuuré1æ1uuuruuuröù11uuur2uuur2uuuruuur1117

PM=êçAB-AC÷ú=AB+AC-AB×AC=´36+64-6´8´=，

ë3è2øû343423

2

uuuré1æ1uuuruuuröù11uuur2uuur2uuuruuur11127

PN=êçAC-AB÷ú=AC+AB-AB×AC=´64+36-6´8´=,

ë3è2øû343423

uuuuruuur1æ1uuuruuurö1æ1uuuruuurö1æ1uuur21uuur25uuuruuurö20

PM×PN=çAB-AC÷×çAC-AB÷=ç-AB-AC+AC×AB÷=-，

3è2ø3è2ø9è224ø9

20

uuuuruuur-

PM×PN9107

所以cosÐMPN=uuuuruuur==-.

PM×PN72749

´

33

107

故答案为：213，-

49

10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB^AD，E是CD的中点，若

uuuruuuruuur

AC=lBD+mAE，则l+m=.

【答案】1

uuuruuuruuuræ1uuuruuuröæuuur1uuuröæ11öuuuruuur

【详解】AC=lBD+mAE=lç-DC+AD÷+mçAD+DC÷=çm-l÷DC+l+mAD，

è2øè2øè22ø

ì3

ì11m=

uuuruuuruuurïm-l=1ï2

而AC=AD+DC，所以í22，解得í.

1

îïm+l=1ïl=-

îï2

所以l+m=1.

故答案为：1.

考点二平面向量的数量积

rrrrrrπrr

1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a，b满足a=4，b=2，a与b的夹角为，则a-b=（）

3

A．2B．4C．23D．25

【答案】C

r2rr1

【详解】法一：ar-b=ar2+b2-2ar×b=16+4-2´4´2´=12，

2

rr

即a-b=23；

法二

由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，

ruuurruuur

若a=AC，AC=4，b=AB，AB=2，ÐA=60o，

rruuurrr22

则∠B=90o，a-b=BC，故a-b=4-2=23.

故选：C.

rrrrrrrr

2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量a,b满足a=b=1，a+b=2，则a-b=（）

A．4B．2C．1D．2

【答案】D

rrrr

【详解】因为a=b=1，a+b=2，

r2rr2r

所以ar+b=ar2+2ar×b+b=2+2ar×b=2，

rr

可得a×b=0，

rrr2r

则ar-b=ar2-2ar×b+b=2-2ar×b=2.

故选：D.

3．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知正六边形ABCDEF边长为2，下列说法正确的是（）

uuuruuuruuuruuuruuur

A．AC-AE=BFB．|AC+AE|=4

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

C．AD×ED=AD×DED．AD在AB上的投影向量为AB

【答案】D

【详解】在正六边形ABCDEF中，以点A为原点，直线AB,AE分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0),B(2,0),C(3,3),D(2,23),E(0,23),F(-1,3)，

uuuruuuruuuruuuruuur

对于A，AC=(3,3),AE=(0,23)，AC-AE=(3,-3)，BF=(-3,3)，A错误；

uuuruuuruuuruuur

对于B，AC+AE=(3,33)，|AC+AE|=32+(33)2=6，B错误；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

对于C，AD=(2,23),ED=(2,0)，AD×ED-AD×DE=2AD×ED=8¹0，C错误；

uuuruuur

uuuruuuruuurAD×ABuuur4uuuruuur

对于D，AB=(2,0)，AD在AB上的投影向量为uuurAB=AB=AB，D正确.

|AB|222

故选：D

rrrrrrrrrr

4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量a,b满足a-2b×a+b=3，且|a|=2,|b|=1，则a与b的夹角为

（）

A．30oB．60oC．120oD．150o

【答案】C

rrrrrrrrr

【详解】由a-2b×a+b=3，可得ar2+ar×b-2ar×b-2b2=ar2-ar×b-2b2=3

r

又|ar|=2,|b|=1

rr

所以22-ar×b-2´12=3解得：ar×b=-1

rr

rra×b1

所以cosa,b=r=-

arb2

rrrr

又0o£a,b£180o所以a,b=120°

rr

所以a与b的夹角为120°．

故选：C.

rrrrrrrr

5．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量a与b满足a-2b×b=2，且b=2，则a在b上的投影向量的模为

（）

A．2B．4C．5D．8

【答案】C

rrrrrr2

【详解】由a-2b×b=2，可得：a×b=2+2b

r

因为b=2，

rr2

所以ar×b=2+2b=2+2´22=10.

rrr

rra·bb

又因为在上的投影向量为r·r，

abbb

rr

rra×b10

所以a在b上的投影向量的模r==5.

b2

故选：C.

rrrr1rrrrrr

6．（24-25高三下·山西大同·期末）已知a，b是单位向量，且a×b=．若平面向量p满足p×a=p×b=2，则p

2

的值为（）

2243

A．B．C．3D．2

33

【答案】B

rrrr

【详解】由题意，得a=b=1，设向量a、b的夹角为θ，

r11π

因为ar×b=，所以cosq=，故q=．

223

以O为原点，以ar方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

rrræ13ö

使b的起点与O重合，终点在第一象限，则a=1,0，b=ç,÷，

è22ø

rr

ìp×a=x=2ìx=2

rïï

设p=x,y，则írr13，故í23，

ïp×b=x+y=2ïy=

î22î3

2

ræ23ö2æ23ö43

所以p=ç2,÷，故pr=2+=．

ç3÷ç÷

èøè3ø3

故选：B

uuuruuur

7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知AD为VABC的高，且AD=2，则BA×AD=（）

A．-2B．2C．22D．-22

【答案】A

【详解】

uuuruuur

因为AD为VABC的高，所以BD×AD=0

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22

BA×AD=BD+DA×AD=BD×AD+DA×AD=BD×AD-AD=0-2=-2,

故选：A.

rrrπ

8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知a=2b=2，且向量ar,b的夹角为，下列说法正确的是（）

3

rr

A．a+2b=25

rrr

B．a-4b^a

rrπ

C．向量ar-2b和a的夹角为

2

rrrr2

D．若la+2b//a-3b，则l=-

3

【答案】BD

rrrπ

【详解】因为a=2b=2，且向量ar,b的夹角为，

3

对于选项A：

rr2rrπ

ar+2b=ar+2b=ar2+4b2+4ar·b=4+4+4´2´1´cos=23，则A错误；

3

对于选项B：

rrr

要使得a-4b^a，则它们的数量积为0.

rrrπ

即a-4b×a=4-4´2´1´cos=0，则B正确；

3

对于选项C：

rπ

ar-2b·ar4-2´2´1´cos

rrr321rrrπ

因为cosa-2b,a=rrr===，则<a-2b,a>=，则C错误；

a-2baπ42

4+4-4´2´1´cos´23

3

rrrr

对于选项D：因为la+2b//a-3b，

rrrr2

所以la+2b=ka-3b，解得l=k=-，则D正确．

3

故选：BD．

uuuuruuuruuuruuur

9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形ABCD中，AB=10，BC=8，BM=lBC，DN=mDC，其中

uuuur

0£l，m£1，MN=5，则（）

3uuur5uuur3uuuur

A．l+m是定值B．若m=，则AN=AD+AM

585

uuuuruuuruuuuruuur2

C．AM×AN>90D．AM+AN£521

【答案】BCD

311

【详解】当CM=5时，N与C重合，l+m=+1=，当CN=5时，，M与C重合，

88

13

1+=，故A错误；

22

3uuuruuuuruuuur

当m=时，CN=4，而MN=5，故CM=3，

5

uuuruuuruuuruuur3uuur5uuur3uuur3uuur5uuur3æ5uuuruuurö

则AN=AD+DN=AD+AB=AD+AD+AB=AD+çAD+AB÷

588585è8ø

5uuur3æ5uuuruuurö5uuur3uuuuruuur5uuur3uuuur

=AD+çBC+AB÷=AD+BM+AB=AD+AM，故B正确；

85è8ø8585

uuur1uuuur55

取线段MN的中点P，因为CP=MN，故点P在以C为圆心、为半径的圆上,与BC,DC分别交于H、I，且

222

在矩形ABCD内（含边上位置），

uuuruuuruuuruuuruuuruuur5

QAP+PC³AC，\AP³AC-PC=241-，

2

2

uuuræ5ö521

当点P在H处时，AP取得最大值100+ç8-÷=，

è2ø2

2

uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuuruuur2uuuur2æ5ö25

AM×AN=(AP+PM)×(AP-PM)=AP-PM³ç241-÷-=164-1041>90，故C正确；

è2ø4

uuuuruuur2uuur2uuuruuur2521

AM+AN=2AP=4|AP|2£4AH=4´=521，故D正确.

4

故选：BCD.

10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB^BC,BC=2AB=2AD=4,E为BC的

中点，则（）

uuuruuuruuuruuur

A．AE=DCB．AD×AC=8

uuuruuuruuuruuuruuur

C．DE×AC=25D．2AD-4AB^AC

【答案】ABD

【详解】

对于A，由AD//EC，且AD=EC=2，

uuuruuur

得四边形AECD为平行四边形，因此AE=DC，故A正确；

uuuruuuruuuruuuruuuruuur2

对于B，AD×AC=AD×2AD+AB=2AD=8，故B正确；

uuuruuuruuuruuuruuuruuur2

对于C，DE×AC=AB×AB+BC=AB=4，故C错误；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

对于D，(2AD-4AB)×AC=2AD×AC-4DE×AC=16-16=0，

uuuruuuruuur

因此2AD-4AB^AC，故D正确.

故选：ABD

uuuuruuuruuuuruuurπuuur

11．（24-25高一下·江苏盐城·期中·多选）已知OM=ON=2，OM与ON夹角为，若OP=2且

3

uuuruuuuruuur

OP=xOM+yONx³0,y³0，则下列说法正确的是（）

uuuruuur3uuuruuuruuuur

A．当y=0时，OP在ON上的投影向量为ONB．当x=y时，OP×MN=0

2

113-1uuuuruuur

C．当x=时，y=D．PM×PN的最大值为0

24

【答案】BCD

uuuuruuur

【详解】由题设，VOMN是边长为2的等边三角形，且OM×ON=2´2´cos60°=2，

uuuruuuuruuuuuururuuuruuuuruuuruuur1uuur

A：当y=0时，OP=xOM，又OMOP==2，即OP=OM，故OP在ON上的投影向量为ON，错；

2

uuuruuuuruuur

B：当x=y时，OP=x(OM+ON)，即P在VOMN中边MN的中线上，

uuuruuuur

又VOMN为等边三角形，故OP^MN，即OP×MN=0，对；

1uuur1uuuuruuuruuur1uuuuruuur

C：当x=时，OP=OM+yON，则|OP|=(OM+yON)2，

222

uuur1uuuur2uuuuruuuruuur2

所以|OP|=OM+yOM×ONy2ON=+12y++4y2=2，

4

2213-1

所以1y++42y=4，即4y+2y-3=0，又y³0，故y=（负值舍），对；

4

uuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruuruuuur

D：PM×PN=(OM-OP)×(ON-OP)=[(1-x)OM-yON]×[(1-y)ON-xOM]=

2(1-x)(1-y)+4x(x-1)+4y(y-1)+2xy=4x2+4y2-6x-6y+4xy+2,

uuuruuuuruuur

由|OP|=(xOM+yON)2=4x2+4xy+4y2=2，即x2+xy+y2=1，

uuuuruuur

所以PM×PN=6-6(x+y)，要使该值最大，只需x+y最小，①

uuuuruuur

由得(x+y)2-1=xy³0，则x+y³1，所以PM×PN£0，对.

故选：①BCD

rrrrrr

12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量a与b方向相同，a=(2,-6)，|b|=2，则|2a-b|=.

【答案】2

rrrrr

【详解】由a=(2,-6)，得|a|=22，而向量a与b方向相同，|b|=2，

rrrrr

则a=2b，所以|2a-b|=|b|=2.

故答案为：2

rrrrrrrrrr

13．（2025·四川巴中·三模）非零向量a，b满足：|a-b|=|a|，a×(a-b)=0，则ar-b与b夹角的余弦值为.

21

【答案】-/-2

22

uuurruuurruuuruuuruuur

【详解】根据题意，设ar=OA，b=OB，则ar-b=OA-OB=BA，

rrrrrruuuruuuruuuruuur

若|a-b|=|a|，a×(a-b)=0，即|BA|=|OA|，且OA^BA，

则△OAB为等腰直角三角形，

rr2

则ar-b与b的夹角为180°-45°=135°，余弦值为-.

2

2

故答案为：-.

2

rrrr2πrrr

14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角q=，则(a+b)×b=.

3

【答案】6

rrrr2π

【详解】由|a|=5,|b|=4,a与b的夹角q=，

3

rrrrrr22π2

则(a+b)×b=a×b+b=5´4´cos+4=6.

3

故答案为：6.

rrrrrrrr

15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量a，b满足|a|=3,|b|£2，且|3a-2b|£11，则向量a在向量b方向上

的投影的最小值为．

41

【答案】/1

33

rr

r2rrr2rrr2r2

【详解】因为3a-2b£11，所以9a-12a×b+4b£11，所以12a×b³9a+4b-11，

rrrr2

又a=3，所以3a×b³4+b，

rr

因为向量a在向量b方向上的投影为

rrr2r

rrra×b4+b4b414

acosa,b=r³r=r+³2´=，

b3b3b3333

rrrr43

当且仅当a=3,b=2,cosa,b=时等号成立，

9

rr4

故向量a在向量b方向上的投影的最小值为.

3

4

故答案为：．

3

rrrrrrrr

16．（2024·上海·三模）已知向量a、b满足a=1，b=2，a+b=5，则a,b=．

π

【答案】

2

r2r2rrrr2

【详解】由题意有ar+b=ar+b=ar2+2ar×b+b2=ar2+2ar×b+b=5，

rrrπ

解得ar×b=0，所以a,b=.

2

π

故答案为：.

2

rrrr

17．（24-25高一下·上海·期中）已知a=3,b=4,a-b=13

rr

(1)求a与b的夹角大小；

rr

(2)求a在b上的数量投影.

π

【答案】(1)

3

3

(2)

2