2026秋高三数学复习 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和(原卷版)

数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练

考点一错位相减法

1111

1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）19´+17´+15´+L+1´=（）

22223210

3333

A．18+B．17+C．18+D．17+

211211210210

n

2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列an的通项公式为a=，则数列an的前n项和Sn=（）

n2n

2n-n-12n+1-n-22n-n+12n+1-n+2

A．B．C．D．

2n2n2n2n

3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，

an+1=3an-2an-1n³2，则下列说法正确的有（）

A．数列an+1-an为等差数列

B．数列an+1-2an为等比数列

n+1

C．Sn=2-n-2

2

nn+1n+n-4

D．若bn=nan，则数列bn的前项和T=n-1×2-

n2

4．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列an的前n项和为Sn，其中a1=1，a2n=2an+1，在等比数列

bn中，b1=a2，b2=a5，则（）

2

A．Sn=nB．数列log2bn是等差数列

ì1ü2nn+1

C．数列íý的前n项和为D．数列anbn的前n项和为n-13+3

îanan+1þ2n+1

n-1

5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n-2×3，其前n项和为Sn，则

Sn=．

624-25··2

．（高二下山西开学考试）已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an-3，则数列nan的前n项和

为.

aa1

7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列a满足a=3，n+1=n+

n1nn+1n(n+1)

(1)证明：nan为等差数列；

2m

(2)设f(x)=a1x+a2x+L+amx，求f¢(-2)．

8．（2025·云南昆明·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，当n³2时，Sn+2=5Sn+1-8Sn+4Sn-1，已知a1=1，

a2=4，a3=12．

(1)证明：数列an+1-2an为等比数列；

(2)求数列an的通项公式；

(3)求Sn．

9．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记Sn为正项数列an的前n项和，且a1Sn=n+1an.

(1)求a1的值；

ìanü

(2)判断íý是否为等差数列，并求an的通项公式；

înþ

a×anT

(3)求数列n2n的前项和n.

1

10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列a的前n项和为S，其中a=3，S=n2+ln．

nn3n2

(1)求l的值以及数列an的通项公式；

nn

(2)若bn=a5n-4×3，求数列bn的前项和Tn．

11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn，

*

an+1an+1+1=4Sn+nnÎN，数列bn为等比数列，首项b1=3,b2=a5．

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cn=an×bn，求数列cn的前n项和Tn．

12．（2025·四川成都·一模）记Sn为数列an的前n项和，已知a2=6，且n+2Sn=nan+1.

(1)求S1，S2，S3；

(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）

ìSüìaü

íný是等比数列；íný是等比数列.

înþîn+1þ

①②

(3)记Tn为数列Sn的前n项和，求Tn.

1324-25··n

．（高二下辽宁期末）已知数列an满足a1=-2，且an+1+an=-4´3．

(1)求a2，a3，a4；

(2)求数列an的通项公式；

(3)设bn=nan，求数列bn的前n项和Sn．

14．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn．

(1)求an的通项公式；

(2)设bn=nan+1，求数列bn的前n项和Tn．

考点二裂项相消法

1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn=an+1-2n+1，数列bn满足

an+1

bn=，记bn的前n项和为Tn，若Tn<m恒成立，则m的最小值为（）

anan+1

111

A．1B．C．D．

234

a-aa-a

224-25··n+1nn+2n+1*1

．（高二下云南丽江期末）已知数列an满足=nÎN，且a1=1，a2025=，则

anan+21013

a1a2+a2a3+K+anan+1=（）

nn2n2n

A．B．C．D．

2n+1n+22n+1n+2

ì1ü

3．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，记Tn为íý的前n项

îSnþ

和，则T8=（）

911614232

A．B．C．D．

54555

a

424-25··N*ìnü

．（高二下云南期末）设数列an满足a1+2a2+3a3+L+nan=2n-1nÎ，则数列íý的前9项和

în+2þ

为（）

1611064971

A．B．C．D．

1651656666

*

5．（24-25高二下·四川雅安·期末·多选）已知数列an中，a1=-7，an+1=an+2，nÎN，其前n项和为Sn，则

（）

A．an=2n-9B．S8=0

ì2ü11

C．当Sn取最小值时，n=5D．数列íý的前n项和为Tn=--

îanan+1þ72n-7

6．（24-25高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列an的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确

的是（）．

A．a6=7B．an+n为递增数列

125ì1ü5

C．Sn=n+nD．íý的前4项和为

22îanan+1þ21

7．（24-25高二下·四川资阳·期末）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人

称为“三角垛.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，则

1

a5=，数列{}的前50项和为.

an

8．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列an中，a1=4，且an+1=an+a1+8n，则

1111

+++L+=.

a1-1a2-1a3-1a2025-1

ì1ü

924-25··21

．（高二下湖北武汉期末）已知数列í-4ný既是等差数列又是等比数列，且a1=，则数列an的前

îanþ3

50项的和S50=．

ì1ü

1024-25··n-1n

．（高二下湖南永州期末）已知数列an满足a1+2a2+L+2an=n×2，则数列íý前100项和

îan×an+1þ

为．

2

11．（24-25高三下·山西大同·期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=6，Sn=an+2n-2．

(1)求an的通项公式：

1

(2)若bn=，Tn=b1b2+b2b3+L+bnbn+1，求Tn．

an

1224-25··2

．（高二下广东江门期末）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n+3n.

(1)求数列an的通项公式；

4

(2)令bn=+1，求数列bn的前n项和Tn.

anan+1

1æ1ö

1324-25··nN*

．（高三下云南阶段练习）设正项数列an的前项和为Sn，满足Sn=çan+÷nÎ.

2èanø

(1)求a2；

ì21ü

(2)求证：数列ían+2ý为等差数列；

îanþ

(3)求数列an的前100项的和S100.

14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列an的首项为1,3a2=a5.数列bn为等比数列，且

b2-a2=1,a5-b3=1.

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设数列an×bn的前n项和为Sn，求Sn；

nk2n(n+1)

(3)求证å=.

k=1ak×ak+12an+1

1524-25··22

．（高三上福建福州阶段练习）已知各项均为正数的数列an满足a1=1，an+1-an+1=an+an.

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设bn=2数列bn的前n项和为Tn，若Tn>100bn，求满足条件的最小正整数n.

4an-1

16．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，a4=11，S3=21．

(1)求an的通项公式；

1

(2)设bn=，数列bn的前n项和为Tn，求T100．

anan+1

考点三分组与并项求和

1．（2025·河南·模拟预测）已知数列an和bn满足a1=2,a2=5,b1=2,b2=3,an+bn是等比数列，an-bn是等

差数列.

(1)求an+bn和an-bn的通项公式；

(2)求an和bn的通项公式；

(3)求an的前n项和Sn.

2．（24-25高二下·北京房山·期末）设an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，已知a1=1，b1=2，

b2=a2，b3=a2+4.

(1)求an和bn的通项公式；

(2)设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Sn.

ìan+1,n为奇数，

3．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列a的首项是1,an+1=í

n为偶数

îan+2,n.

(1)证明：an的奇数项成等差数列；

(2)求an的前n项和Sn.

4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列an满足a1=3,a2=6，数列bn为各项均为正数的等比数列，且满足

N*

bnan+1-an=bn+1,nÎ

(1)求数列an的通项公式；

(2)已知数列bn的前n项和为Sn，若______．

下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中．

3S2=S3-3；

①

b2,2a3,b3成等差数列；

②

b1,a3,b3成等比数列．

③

ìan,n为奇数,

记数列cn满足cn=í求数列cn的前20项和T20．

为偶数

îlog3b2n,n,

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

ìan+2,n为奇数

5．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列a