2026秋高三数学复习 数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和(解析版)

数列：裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和专项训练

考点目录

裂项相消法错位相减法

倒序相加法分组与并项求和

考点一裂项相消法

ì1ü

1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，记Tn为íý的前n项

îSnþ

和，则T8=（）

911614232

A．B．C．D．

54555

【答案】B

ì1

A=

ì4A+2B=2ï4n2+2n

【详解】设S=An2+Bn，则í解得í，所以S=，

n36A+6B=121n

îïB=4

îï2

14æ11ö

所以=2=2ç-÷.

Snn+2nènn+2ø

éæ1öæ11öæ11öæ11öæ11öæ11öù

T8=2êç1-÷+ç-÷+ç-÷+ç-÷+L+ç-÷+ç-÷ú

ëè3øè24øè35øè46øè79øè810øû

æ111ö116

=2ç1+--÷=.

è2910ø45

故选：B.

2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知数列an满足：a1=1,a2=3,an+2+an=2an+1+1，数列bn满足

2an×bn=1，则数列bn的前50项的和为（）

50150

A．B．C．D．50

5150101

【答案】A

【详解】由an+2+an=2an+1+1有an+2-an+1=an+1-an+1，令cn=an+1-an，则cn+1-cn=1，

所以数列cn是以c1=a2-a1=3-1=2为首项，1为公差的等差数列，故cn=2+n-1´1=n+1，

即an+1-an=n+1，故an=an-an-1+an-1-an-2+L+a3-a2+a2-a1+a1

nn+1nn+1

=n+n-1+n-2+L+3+2+1=，当n=1时，符合题意，即a=.

2n2

1111

b

又由2an×bn=1有n===-，

2annn+1nn+1

11111150

设数列bn的前n项和为Tn，T=b+b+L+b=1-+-+L+-=1-=.

50125022350515151

故选：A.

ì1ü

324-25··22ïï

．（高三上云南大理开学考试）在数列an中，a1=2，且an+1-an=2an+1-2an+n+1，则数列í2ý

îïan-1þï

的前2025项和为（）

2025202520262025

A．B．C．D．

2026101320251012

【答案】B

2222

【详解】由an+1-an=2an+1-2an+n+1，可得an+1-1=an-1+n+1，

22

所以an+11--an-1=n+1.

22

所以a21a1---1=1+1；

22

a31a2---1=2+1；

22

a41a3---1=3+1；

……

22

an-1-an-1-1=n-1+1.

以上各式相加得：

222nn+1

an-1-a1-1=2+3+×××+nÞa-1=1+2+3+×××+n=.

n2

12æ11ö

则2==2ç-÷.

nn+1nn+1

an-1èø

ïì1ïü

n

设í2ý的前项和为Sn，

îïan-1þï

æ11111ö2n

则Sn=2ç1-+-+×××+-÷=，

è223nn+1øn+1

2025

从而S=.

20251013

故选：B

424-25···n-1n

．（高二下四川成都阶段练习多选）已知数列an满足a1+2a2+L+2an=n×2，数列an的前n项和

为Sn，则（）

A．a5=6B．数列an是等比数列

ì1ü50

C．S4，S8，S12构成等差数列D．数列íý前200项和为

îan×an+1þ101

【答案】AD

n-1n

【详解】由a1+2a2+L+2an=n×2，

n-2n-1

当n³2时，a1+2a2+L+2an-1=n-1×2，

n-1nn-1n-1

两式相减可得2an=n×2-n-1×2=n+12，所以an=n+1，

当n=1，a1=2适合上式，所以an=n+1；

ann+1

由=不是常数，所以数列an不是等比数列，故B错误；

an-1n

对于A，因为an=n+1，所以当n=5时，可得a5=5+1=6，故A正确；

对于C，由an=n+1可知，an-an-1=n+1-n=1，

所以an是以2为首项，1为公差的等差数列，

n(n-1)2n(2n-1)3n(3n-1)

所以S=2n+，所以S=4n+，S=6n+，

n22n23n2

n(n-1)3n(3n-1)

S+S=2n++6n+=8n+5n2-2n，

n3n22

2

又2S2n=8n+4n-2n，所以SnS3n¹+2S2n，

所以Sn，S2n，S3n不构成等差数列，故C错误；

1111

对于D，==-，

an×an+1n+1n+2n+1n+2

1111

所以T200=+++L+

a1×a2a2×a3a3×a4a200×a201

111111111110050

=-+-+-+L+-=-==，故D正确.

2334452012022202202101

故选：AD.

5．（24-25高二下·内蒙古包头·期末·多选）若等差数列an的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确

的是（）．

A．a6=7B．an+n为递增数列

125ì1ü5

C．Sn=n+nD．íý的前4项和为

22îanan+1þ21

【答案】BC

7a1+a7

【详解】对于A，由S7=42，则=42，所以a1+a7=12，即a2+a6=12，又a2=4，所以a6=8，故A

2

错误；

对于B，设等差数列an的公差为d，由A知a6=8，则a6-a2=8-4=4d，

\d=1，\an=a2+n-2d=n+2，

所以an+n=2n+2，故数列an+n为递增数列，故B正确；

n3+n+2125

对于C，由an=n+2，则S==n+n，故C正确；

n222

1111

对于D，因为==-，

anan+1n+2n+3n+2n+3

ì1üæ11öæ11öæ11öæ11ö114

所以íý的前4项和为ç-÷+ç-÷+ç-÷+ç-÷=-=，故D错误.

îanan+1þè34øè45øè56øè67ø3721

故选：BC.

1o1o

6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列a的前项和为S，若æöæö，则S=

nnnan=cosçn-÷sinç÷90.

è2øè2ø

1

【答案】/0.5

2

【详解】由积化和差公式可得

oo°°

æ1öæ1ö1éæ11öæ11öù1°

a=cosn-sin=sinn-+-sinn--=ésinn°-sinn-1ù，

nç÷ç÷êç÷ç÷úëû

è2øè2ø2ëêè22øè22øûú2

111

则S=a+a+×××+a=sin1°-sin0°+sin2°-sin1°+×××+sin90°-sin89°

901290222

111

=sin1°-sin0°+sin2°-sin1°+×××+sin90°-sin89°=sin90°-sin0°=.

222

1

故答案为：.

2

ìü

ïï

2ï2ï

7．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数fx=x+3x，数列an的前n项和为fn，记数列íý的

ïænöï

anf¢ç÷

îïè2øþï

11

前n项和为T，则使得T>成立的n的最小值为．

nn36

【答案】7

【详解】根据题意，显然a1=f1=4，

22

当n³2时，an=fn-fn-1=n+3n-n-1-3n-1=2n+2，因为a1也符合，所以an=2n+2．

ænö

由题易得f¢x=2x+3，所以f¢ç÷=n+3，

è2ø

2211æ11ö

===ç-÷

则ænö2n+2n+3n+1n+32èn+1n+3ø，

anf¢ç÷

è2ø

1æ111111111111ö

所以Tn=ç-+-+-+-L+-+-÷

2è24354657nn+2n+1n+3ø

1æ1111ö51æ11ö

=ç+--÷=-ç+÷，

2è23n+2n+3ø122èn+2n+3ø

51æ11ö434411

易得Tn单调递增，且T6=-´ç+÷=<=，

122è89ø14414436

51æ11ö1411

n

T7=-´ç+÷=>，所以的最小值为7．

122è910ø4536

故答案为：7.

ì1ü

82025··n-1n

．（四川广安模拟预测）已知数列an满足a1+2a2+×××+2an=n×2，且数列íý的前n项和为Sn，

îan×an+1þ

则S20=.

5

【答案】

11

【详解】若n=1，则a1=2；

n-2n-1

若n³2，则a1+2a2+×××+2an-1=n-1×2.

n-1nn-1n-1

所以，2an=n×2-n-1×2=n+1×2，即an=n+1.

又a1=2也满足an=n+1，所以an=n+1.

1111

由于==-，

an×an+1n+1n+2n+1n+2

111111115

所以S=-+-+×××+-=-=.

202334212222211

5

故答案为：.

11

925-26··22

．（高二上甘肃张掖阶段练习）在正项数列an中，a1=1，且an+1-2an+1=an+2an.

(1)求an的通项公式；

1

(2)若数列bn满足bn=，求bn的前n项和Sn.

an×an+1

【答案】(1)an=2n-1

n

(2)S=

n2n+1

2222

【详解】（1）由an+1-2an+1=an+2an可得an+1-an-2an+1-2an=0，

所以an+1+anan+1-an-2an+1+an=an+1+anan+1-an-2=0，

因为an是正项数列，an+1+an>0，所以an+1-an-2=0，即an+1-an=2，

所以数列an是首项a1=1，公差d=2的等差数列，

所以an=1+2n-1=2n-1.

11æ11ö

（2）由（1）可得bn==ç-÷，

2n-12n+12è2n-12n+1ø

1éæ1öæ11öæ11öù1æ1ön

所以Sn=êç1-÷+ç-÷+...+ç-÷ú=ç1-÷=.

2ëè3øè35øè2n-12n+1øû2è2n+1ø2n+1

10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,a3=8,2Sn=nan+1-1.

ìa+1ü

(1)证明：íný是常数列；

înþ

1

(2)设bn=，求数列bn的前n项和.

3Sn-1

【答案】(1)证明见解析

n

(2)

3n+2

【详解】（1）已知数列an的前n项和为Sn,a3=8,2Sn=nan+1-1.

当n=2时，2a1+a2=2´8-1,a1+a2=7.

当n=1时，2a1=a2-1，a1=2,a2=5.

∴

当n³2时，2Sn-1=n-1an-1，

2an=2Sn-2Sn-1=nan+1-1-n-1an-1，

∴anan+1æ11ö

即n+1an=nan+1-1,=-ç-÷，

nn+1ènn+1ø

a+1a+1

n=n+1，

nn+1

∴ìa+1ü

当n=1时也符合上式，数列íný是常数列.

înþ

an+1∴n3n+1

（2）由（1）知=3，an=3n-1，S=，

nn2

∴∴

222æ11ö

bn=2==ç-÷，

9n+3n-23n+23n-13è3n-13n+2ø

2æ111111ö2æ11ön

b1+b2+L+bn=ç-+-+L+-÷=ç-÷=.

3è25583n-13n+2ø3è23n+2ø3n+2

∴

11．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知正项数列an满足a1=1，an+1-an=2n+1.

(1)求an的通项公式；

ìü

ïan+2-an+1ï

(2)求íý的前n项和Sn.

îïan+1an+2þï

2

【答案】(1)an=n

n

(2)Sn=

2n+2

【详解】（1）当n³2时，an-an-1=2n-1+1=2n-1，

an-1-an-2=2n-2+1=2n-3，

…..

a2-a1=3，

n1+2n-12

累加可得an-1=3+L+2n-3+2n-1，即a=1+3+L+2n-3+2n-1==n，

n2

2

易得当n=1也符合，所以an=n.

ìü

ïan+2-an+1ïn+2-n+111

（2）数列íý的通项为=-，

n+1n+2n+1n+2

îïan+1an+2þï

1111æ11ö11n

所以Sn=-+-+L+ç-÷=-=.

2334èn+1n+2ø2n+22n+2

12．（25-26高三上·山东·开学考试）若等比数列an的各项均大于1，其前n项和为Sn，且a2=4，S3=14，

(1)求数列an的通项公式；

nì1ü

nT

(2)设bn=ålog2ak，求数列íý的前项和n.

k=1îbnþ

n

【答案】(1)an=2

2n

(2)T=

nn+1

ìaq=4

q1

【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知可得í2，

îa1+a1q+a1q=14

ìa1=8

ìa1=2ï

解得í或í1，

îq=2q=

îï2

因为等比数列an的各项均大于1，所以a1=2,q=2，

n-1n-1n

所以数列an的通项公式为an=a1q=2´2=2；

n

（2）由（1）知an=2，

nnn

knn+1

所以bn=ålog2ak=ålog22=åk=1+2+3+L+n=，

k=1k=1k=12

12æ11ö

所以==2ç-÷，

bnnn+1ènn+1ø

æ1öæ11öæ11öæ11ö

所以Tn=2ç1-÷+2ç-÷+2ç-÷+L+2ç-÷

è2øè23øè34øènn+1ø

æ1111111ö

=2ç1-+-+-+L+-÷

è22334nn+1ø

æ1ö2n

=2ç1-÷=.

èn+1øn+1

1

13．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列a的前n项和为S，满足a=，n2a=S．

nn12nn

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)若b=a，且数列b的前n项和为Tn，求证：T<．

nn+1nn2

1

【答案】(1)a=

nn(n+1)

(2)证明见解析

22

【详解】（1）由nan=Sn，则(n-1)an-1=Sn-1（n≥2），

2222

两式左右分别相减得nan-(n)1an-1=-an，即(n-1)an=(n-1)an-1．

得(n+1)an=(n-1)an-1，

an-1an-2a2a1

则n=，n-1=，…，3=，2=，

an-1n+1an-2na24a13

1

将以上n-1个式子相乘得a=(n³2)．

nn(n+1)

1

上式对n=1仍成立，所以a=．

nn(n+1)

111

（2）b=a==-，

nn+1(n+1)(n+2)n+1n+2

æ11ö11æ11ö111

Tn=ç-÷+(-)+L+ç-÷=-<．

è23ø34èn+1n+2ø2n+22

故命题得证．∴

14．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知等差数列an的公差d>0，前n项和为Sn，且S5=15,a1,a3,a9成等

比数列.

(1)求数列an的通项公式；

111*

(2)证明：++L+<2nÎN.

S1S2Sn

N*

【答案】(1)an=nnÎ

(2)证明见解析

ïìS5=5a1+10d=15

【详解】（1）由已知可得í2；

îïa1+2d=a1a1+8d

ìa1=1

因为d>0，解得í；

îd=1

N*

故通项公式为an=nnÎ；

nn+1

（2）由（1）可知S=，

n2

12æ11ö

\==2ç-÷

Snnn+1ènn+1ø

111éæ1öæ11öæ11öùæ1ö

\++L+=2êç1-÷+ç-÷+L+ç-÷ú=2ç1-÷<2；

S1S2Snëè2øè23øènn+1øûèn+1ø

111*

即++L+<2nÎN.

S1S2Sn

考点二错位相减法

12100

124-25··æö

．（高二下江西阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=ç-÷Sn，则åSi=（）

è3n3øi=1

3203919792039203

A．-B．-C．-D．-

22´310044´39944´39944´3100

【答案】C

æ12ön+1Sn+11Sn

【详解】由a1=1，an+1=Sn+1-Sn=ç-÷Sn，得Sn+1=Sn，所以=×，

è3n3ø3nn+13n

SìSü1

而1=1¹0，所以数列íný是首项为1、公比为的等比数列，

1înþ3

S1n

所以n=，S=，

n3n-1n3n-1

nnn1nnn

S=S=

所以ånån-1，ånån，

i=1i=133i=1i=13

2n111n31n32n+3

S=1++++-=--=-

两式相减得ån2Ln-1nn-1nn，

3i=1333322×3322×3

n92n+3

S=-

所以ånn-1，

i=144×3

1009203

S=-

所以åi99．

i=144´3

故选：C

1111

2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）19´+17´+15´+L+1´=（）

22223210

3333

A．18+B．17+C．18+D．17+

211211210210

【答案】D

1111

【详解】令S=19´+17´+15´+×××+1´，

22223210

11111

则S=19´+17´+15´+×××+1´

2222324211

11æ111ö1173

两式相减得S=19´-2ç2+3+×××+10÷-1´11=+11

22è222ø222

3

所以S=17+，

210

故选：D.

a2

*n+1

3．（24-25高二下·四川达州·期中）在数列{an}中，若a1=2，且对任意nÎN有=2+，则数列{an}的前30

ann

项和为（）

A．30´231+2B．31´231+2

C．29´230+2D．29´231+2

【答案】D

an+12æ1ön+1

【详解】因为任意nÎN*有=2+=2ç1+÷=2×，

annènøn

anan-1an-2a2

所以n=2×，n-1=2×n-2=2×，，……，2=2×，

an-1n-1an-2n-2an-3n-3a11

ann-1n-22

上式累乘可得：n=2n-1×××××L×=n×2n-1，

a1n-1n-2n-31

n

因为a1=2，所以an=n×2，

设数列{an}的前n项和为Tn，

Tn=a1+a2+a3+L+an-1+an，

123n-1n

Tn=1×2+2×2+3×2+L+n-1×2+n×2，

234nn+1

2Tn=1×2+2×2+3×2+L+n-1×2+n×2，

1234nn+1

两式相减可得：-Tn=1×2+1×2+1×2+1×2+L+1×2-n×2，

21-2n

所以-T=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=1-n2n+1-2，

n1-2

n+1

所以Tn=n-12+2，

3131

所以T30=30-1´2+2=29´2+2.

故选：D.

n

4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列an的通项公式为a=，则数列an的前n项和Sn=（）

n2n

2n-n-12n+1-n-22n-n+12n+1-n+2

A．B．C．D．

2n2n2n2n

【答案】B

123n1123n-1n

【详解】由题设S=+++L+，则S=+++L++，

n2122232n2n2223242n2n+1

111231n1n

两式作差，有S=++++L+-=1--，

2n22223242n2n+12n2n+1

2n2n+1-n-2

所以S=2--=.

n2n2n2n

故选：B

5．（24-25高二上·山东烟台·期末·多选）已知数列an的前n项和为Sn，且满足

n2+n

n-1N*，则（）

a1+2a2+L+2an=nÎ

2

n+1

A．a=1B．a=

1n2n

n+2

C．a为递减数列D．S=4-

nn2n-1

【答案】AD

12+1

【详解】当n=1时，a==1，故A正确；

12

n-12+n-1n2+n

当时，n-2，又n-1N*，

n³2a+2a+L+2a=a1+2a2+L+2an=nÎ

12n-122

22n

n-1n+nn-1+n-1

两式相减得2a=-=n，所以an=n-1n³2，

n222

n

当n=1时，a=1适合上式，所以a=，故B错误；

1n2n-1

nn-12-n

所以a-a=-=，

nn-12n-12n-22n-1

所以a2=a1，当n³3时，an<an-1，所以an从第二项起是递减数列，故C错误；

231n

S=+++L+，

n2021232n-1

1123n

所以S=+++L+，

2n2122232n

11111n

两式相减得S=+++L+-

2n2021232n-12n

2nn+2

所以S=4--=4-，故D正确.

n2-12nn-12n-1

故选：AD.

6．（25-26高三上·四川内江·开学考试·多选）记S