2026秋高三数学复习 空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量(解析版)

空间向量与立体几何：已知线线角、线面角、二面角、空间距离求其他量专项训练

考点一已知线线角求其他量

1．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD,BC//平面PAD,BC^AB.

(1)证明：平面PAD^平面PAB.

3

(2)若AD=AB，PA=BC，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正

2

弦值.

【答案】(1)证明见解析

561

(2)

61

【详解】（1）QPA^底面ABCD，BCÌ平面ABCD，\PA^BC，

QBC^AB，PAIAB=A，PA,ABÌ平面PAB，\BC^平面PAB，

QBC//平面PAD，平面PADÇ平面ABCD=AD，BCÌ平面ABCD，

\BC//AD，\AD^平面PAB，

又ADÌ平面PAD,\平面PAD^平面PAB.

（2）QBC//AD，\直线PD与直线BC所成的角为ÐPDA，

QPA^底面ABCD，ADÌ平面ABCD，

PA33

\PA^AD,\tanÐPDA==，即PA=AD，

AD22

设AD=2，则PA=3，

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),D(0,2,0)，C(2,3,0)，P(0,0,3)，

uuuruuur

\CD=(-2,-1,0)，DP=(0,-2,3)，

ruuur

rïìn×CD=-2x-y=0

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则íruuur，

îïn×DP=-2y+3z=0

r

取x=-3，则y=6,z=4，得n=(-3,6,4)，

uuur

易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0)，

uuurr

uuurrAD×n12661

则cosáAD,nñ=uuur==，

|AD||nr|2´9+36+1661

2

æ661ö561

故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为.

1-ç÷=

è61ø61

2．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PB^平面ABCD，AB^AD,AB∥CD，

且AB=1,AD=CD=2,E在线段PD上．

(1)若E是PD的中点，试证明：AE平面PBC；

(2)若异面直线BC与PD所成的角为∥60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

【答案】(1)证明见解析

55

(2)

5

【详解】（1）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，

1

因为E是PD的中点，所以EFPCDPAB，且EF=AB，

2

所以四边形AEFB是平行四边形，则AE∥FB，

而AE平面PBC,FBÌ平面PBC，

\AE//平面PBC．

证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间

直角坐标系，

设PB=t，则P0,0,t,D-1,2,0,C1,2,0,A-1,0,0，

æ1töuuuræ1tö

所以Eç-,1,÷,AE=ç,1,÷，

è22øè22ø

ruuur

rïìa×BC=0ìx+2y=0ìx=-2y

设平面PBC的法向量为a=x,y,z，则íruuur，所以í，即í

îïa×BP=0îtz=0îz=0.

r

取y=-1，得到平面PBC的法向量为a=2,-1,0．

uuur

所以AE×ar=0，而AE平面PBC，则AE//平面PBC．

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，

设PB=t(t>0)，则P0,0,t,D-1,2,0,C1,2,0，

uuuruuur

所以PD=-1,2,-t,BC=1,2,0，

uuuruuur

则PD=5+t2,BC=5,

uuuruuuruuuruuur1

由已知异面直线BC与PD成60°角，所以PD×BC=PD×BC×cos60°=5+t2×5×，

2

uuuruuur

又PD×BC=-1´1+2´2+-t´0=3，

215555

所以5+t×5×=3，解得t=，即PB=，

255

15555

所以侧视图的面积为S=´2´=．

255

3．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知棱AB,AD,AP两两垂直，长度分别为1，2，

uuuruuuruuuruuur15

2，若DC=lAB，且向量PC与BD夹角的余弦值为.

15

(1)求实数λ值；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)求平面PBD与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)l=2；

10

(2)；

5

3

(3).

3

【详解】（1）依题意，以A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz，

uuuruuuruuuruuur

B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，由DC=lAB，得C(l,2,0)，则PC=(l,2,-2)，而BD=(-1,2,0)，

uuuruuur

uuuruuurPC×BD4-l15

而cosáPC,BDñ=uuuruuur==，显然l<4，解得l=2.

|PC||BD|l2+8´515

uuuruuurr

（2）由（1）得PC=(2,2,-2)，PD=(0,2,-2)，设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，

ruuur

ïìn×PC=2x+2y-2z=0ruuur

则íruuur，令z=1，得n=(0,1,1)，又PB=(1,0,-2)，

îïn×PD=2y-2z=0

uuurr

uuurrPB×n-210

于是cosáPB,nñ=uuurr==-，

|PB||n|5´25

10

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.

5

ruuur

urïìm×PB=a-2c=0ur

（3）由（2）令平面PBD的法向量m=(a,b,c)，则íruuur，令c=1，得m=(2,1,1)，

îïm×PD=2b-2c=0

urr

urr|m×n|23

设平面PBD与平面PCD夹角为q，则cosq=|cosám,nñ|=urr==，

|m||n|6´23

3

所以平面PBD与平面PCD夹角的余弦值为.

3

4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AAC11C^平面ABC，AA1=AC1，

AC=2，AC^BC，AA1^AC1.

(1)证明：BB1^平面A1BC；

1

(2)若异面直线AB,CA所成角的余弦值为，求BC.

113

【答案】(1)证明过程见解析

(2)22

【详解】（1）因为平面AAC11C^平面ABC，交线为AC，

AC^BC，BCÌ平面ABC，

所以BC平面AAC11C，

⊥

因为AA1Ì平面AAC11C，所以BCAA1，

⊥

因为AA1^AC1，A1CIBC=C，AC1,BCÌ平面A1BC，

所以AA1^平面A1BC，

又BB1//AA1，所以BB1^平面A1BC；

（2）取AC的中点P，连接PA1，因为AA1=AC1，所以A1PAC，

⊥

因为平面AAC11C^平面ABC，交线为AC，A1PÌ平面AAC11C，

所以A1P平面ABC，

取AB的中点⊥H，连接PH，则PH//BC，

因为AC^BC，所以PHAC，

⊥

x,y,z

故以P为坐标原点，PH,PC,PA1所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

1

因为AC=2，所以AP=AC=1，故A0-1,0,C0,1,0,A0,0,1，

121

设BC=m，则Bm,1,0，设B1s,t,h，

uuuruuur

由AA1=BB1得0,1,1=s-m,t-1,h，

解得s=m,t=2,h=1，故B1m,2,1，

uuuruuur

AB1=m,3,1,CA1=0,-1,1，

1

因为异面直线AB,CA所成角的余弦值为，

113

uuuruuur

uuuruuurAB1×CA1m,3,1×0,-1,121

所以cosAB1,CA1=uuuruuur===，

AB×CA223

11m+9+1×1+12m+10

解得m=22，故BC=22.

5．（23-24高二上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD,AB^AD,AD∥BC，

AP=AB=AD=1,BC=2.

(1)求二面角B-PD-C的正弦值；

(2)在棱PC上确定一点E，使异面直线PD与BE所成角的大小为60o，并求此时点E到平面PBD的距离.

22

【答案】(1)

3

uuur2uuur43

(2)PE=PC，d=

39

uuuruuuruuur

【详解】（1）以AB,AD,AP为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为BC=2,AP=AB=AD=1，

所以B1,0,0,P0,0,1,D0,1,0,C1,2,0，

uuuruuuruuur

则PB=1,0,-1,PD=0,1,-1,DC=1,1,0.

ur

设平面PBD的法向量n1=(x1,y1,z1)，

uruuur

ì

ïn1×PB=x1-z1=0ur

则íuruuur，取x1=1得n1=(1,1,1)，

îïn1×PD=y1-z1=0

uur

设平面PCD的法向量n2=x2,y2,z2，

uuruuur

ì

ïn2×DC=x2+y2=0uur

则íuuruuur，取x2=1得n2=(1,-1,-1)，

îïn2×PD=y2-z2=0

设二面角B-PD-C的大小为q，则

uruur11

cosq=cosn,n==，

123´33

22

所以sinq=1-cos2q=.

3

uuuruuur

（2）设PE=lPC=l,2l,-l(0<l£1)，则

uuuruuuruuur

BE=PE-PB=l-1,2l,-l+1.

因为异面直线PD与BE所成角的大小为60o，

°uuuruuur|2l+(l-1)|12

所以cos60=|cos<PD,BE>|==，解得l=或l=0（舍去）.

2´2(l-1)2+4l223

uuuræ242ö

此时PE=ç,,-÷，

è333ø

uuurur4

PE×n

1343

所以点E到平面PBD的距离d=ur==.

9

n13

6．（2024·广西贺州·一模）某几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分），其中

A1ABB,1,CC1,DD1均与底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为120°，E为弧A1D1

的中点．

(1)证明：AB//平面CD1E．

9

(2)直线AB与CD所成角的余弦值为．

1110

（i）求直线AB1与平面CD1E所成角的正弦值；

（ii）求二面角C-D1E-D的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

2285419

(2)（i）；（ii）.

9519

【详解】（1）设上下底面圆的圆心分别为O1,O，连接OO1,OC,OB,O1C1,O1B1，在底面ABCD内过点O作

Oy^OD，

x,y,z

以O为原点，直线OD,Oy,OO1分别为轴建立空间直角坐标系，设AA1=t，

13

由OC=1,OA=2,AB=1,ÐAOB=120°，得A(-1,3,0),B(-,,0),D(2,0,t),E(1,3,t)，

221

uuur13uuuuruuuuruuuruuuuruuur

则AB=(,-,0),ED=(1,-3,0)，显然ED=2AB，即ED//AB，

22111

而点A不在直线ED1，于是AB//ED1，又ED1Ì平面CD1E，AB平面CD1E，

所以AB//平面CD1E.

13uuur13uuuur

（2）（i）由（1）知，B(-,,t),C(1,0,0)，则AB=(,-,t),CD=(1,0,t)，

1221221

uuuruuuur12

9uuuruuuur+t

由直线AB与CD所成角的余弦值为，得|AB1×C1D|29，解得t=2，

11|cosáAB,CDñ|=uuuruuuur==

101122

|AB1||C1D|1+t×1+t10

uuur13uuuuruuuurr

则AB=(,-,2),CD=(1,0,2)，而ED=(1,-3,0)，设平面CD1E的法向量n=(x,y,z)，

12211

uuuur

ìr

ïn×CD1=x+2z=0r

则íruuuur，令z=-3，得n=(23,2,-3)，

îïn×ED1=x-3y=0

ruuur

ruuur|n×AB1|232285

所以直线AB1与平面CD1E所成角的正弦值为|cosán,AB1ñ|=ruuur==.

|n||AB1|5´1995

ruuuur

（ii）由（i）知，平面CD1E的法向量n=(23,2,-3)，DD1=(0,0,2)，

uuuur

ìr

urïm×DD1=2c=0ur

设平面DDE的法向量，则，令，得，

1m=(a,b,c)íruuuurb=1m=(3,1,0)

îïm×ED1=a-3b=0

urr

urrm×n8419

于是cosám,nñ=urr==，显然二面角C-D1E-D为锐角，

|m||n|2´1919

419

所以二面角C-D1E-D的余弦值为.

19

7．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD^平面PAD，PA^AD．

(1)证明：PA^平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为

60°．

（ⅰ）求PF的长度；

（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

é63ù

(2)（ⅰ）2；（ⅱ）ê,ú

ë63û

【详解】（1）因为CD^平面PAD，PAÌ平面PAD，

所以CD^PA，

又因为PA^AD,ADÌ平面ABCD，CDÌ平面ABCD，ADICD=D，

所以PA^平面ABCD．

（2）（i）由（1）可知PA^平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，

故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意可得A0,0,0,D0,2,0,P0,0,2,E1,0,1，

uuuruuuruuur

所以AE=1,0,1,PD=0,2,-2,PB=2,0,-2，

uuuruuur

设PF=lPD=0,2l,-2l,0£l£1，

uuuruuuruuur

则AF=AP+PF=0,2l,2-2l，

因为异面直线AF与PB所成角为60°，

uuuruuur

uuuruuurAF×PB4l-41

所以cos60°=cosAF,PB=uuuruuur==，

AFPB4l2+4l-12´222

11

解得l=，所以PF=PD=2．

22

uuuruuur

（ⅱ）设PG=mPC0£m£1，

uuuruuuruuuruuuruuur

则AG=AP+PG=AP+mPC=0,0,2+m2,2,-2=2m,2m,2-2m，

uuuruuur

AE=1,0,1,AF=0,1,1，

ruuur

rïìn×AE=0ìx+z=0

设平面AEF的法向量为n=x,y,z，则íruuur，即í，

îïn×AF=0îy+z=0

r

取x=-1,y=-1,z=1，得n=-1,-1,1，

ruuurruuur1

因为n^AG，所以n×AG=0，即-2m-2m+2-2m=0，解得m=，

3

æ224öuuuræ121ö

所似Gç,,÷所以EG=ç-,,÷

è333øè333ø

uuuuruuur

因为M在线段PB上，所以PM=tPB=2t,0,-2t,0£t£1，

uuuruuuur

则M2t,0,2-2t,AD=0,2,0,AM=2t,0,2-2t，

uuur

ìr

rïm×AD=0ìy1=0

设平面MAD的法向量m=x,y,z，则í即í

111ruuuurtx+1-tz=0

îïm×AM=0î11

r

取x1=t-1,y1=0,z1=t，得m=t-1,0,t，

设EG与平面MAD所成角为q，

æ1ö1

uuurrç-÷t-1+t

uuurEG×mè3ø311

sinq=cosEG,mr====

则uuurr22，

EGm62

´t-1+t26´2t-2t+1æ1ö1

23´çt-÷+

3è2ø4

12111é63ù

tÎ0,1æöéùsinqÎ,

由于，所以çt-÷+Îê,ú，所以êú

è2ø4ë42ûë63û

é63ù

即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为ê,ú

ë63û

8．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，VABC是底边为2的等腰三角形，且BA=BC=3，△DAC为等腰直

角三角形，ÐCDA=90°，将△DAC沿AC翻折到VPAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2），点F为线段

PB的中点．

(1)证明：AC^PB；

(2)当平面PAC^平面ACB时，求直线PB与平面ACF所成角的余弦值；

6

(3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面PAC与平面ABC的夹角为a，求cosa的值．

4

【答案】(1)证明见解析；

3

(2)；

3

2

(3).

4

【详解】（1）取AC中点为E，连接PE，BE，

QPA=PC，AB=BC，

\PE^AC，BE^AC，

又PEÇBE=E，PE、BEÌ平面PBE，

\AC^平面PBE，又PBÌ平面PBE，

\AC^PB．

（2）Q平面PAC^平面ACB，平面PACI平面ACB=AC，PE^AC，PEÌ平面PAC，

\PE^平面ACB，易知EA，EP，EB两两互相垂直，

uuuruuuruuur

以E为原点，以{EA,EB,EP}为基底，建立空间直角坐标系，

21

\A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(-1,0,0)，P(0,0,1)，F(0,,)，

22

uuuruuuruuur21

\PB=(0,2,-1)，CA=(2,0,0)，CF=(1,,)，

22

uuur

ìr

CA×m=2x1=0

rï

设平面的法向量为m=(x,y,z)，则，

ACF111íuuurr21

ïCF×m=x+y+z=0

î12121

r

取y1=-1，得m=(0,-1,2)，

uuurr

uuurrPB×m-2-222

\cosPB,m=uuur==-，

PB×mr3´33

22π

设直线PB与平面ACF所成角为q，则sinq=，又qÎ[0,]，

32

3

\直线PB与平面ACF所成角的余弦值为.

3

（3）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，垂直于平面ABC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

Q△DAC为等腰三角形，DA=DC=2，

\EP=1，则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(-1,0,0)，

uuuruuur

设ÐBEP=q，则Pn(0,cosqq),si，则PC=(-1,-cosq,-sinq)，AB=(-1,2,0)，

uuuruuur

uuuruuurPC×AB1-2cosq6

故cosPC,AB=uuuruuur==，

PCAB2´34

252π

\cosq=-或cosq=（舍），又aÎ[0,]，

442

2

\cosa=cosq=．

4

考点二已知线面角求其他量

1．（2025·云南·模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD^AB，侧面PAB^

1

底面ABCD，PA=PB=AD=BC=2，且E，F分别为PC，CD的中点，

2

(1)证明：DE//平面PAB；

(2)若直线PF与平面ABCD所成的角为30°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

5

(2).

5

【详解】（1）取PB中点M，连接AM，EM，

1

QE为PC的中点，\ME//BC，ME=BC，

2

1

又AD//BC，AD=BC，\ME//AD，ME=AD，

2

\四边形∵ADEM为平行四边形，\DE//AM，

QDE平面PAB，AMÌ平面PAB，

\DE//平面PAB；

（2）取AB中点G，连接PG，

由PA=PB，点G为AB中点，可得PG^AB

因为平面PAB^平面ABCD，平面PABÇ平面ABCD=AB，PGÌ平面PAB，

所以PG^平面ABCD，

因为直线PF与平面ABCD所成的角为30°

1

\ÐGFG=30°，GF=AD+BC=3，

2

PG

\tan30°=，\PG=3，又PA=PB=2,\AG=GB=4-3=1,AB=2，

3

如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，

\P0,0,3,C1,4,0,D-1,2,0，

uuuruuurur

\PC=1,4,-3,CD=-2,-2,0，设平面PCD的一个法向量，n1=x,y,z，

uruuur

ì

ïn1×PC=x+4y-3z=0ur

则íuruuur，取y=1，则n1=-1,1,3，

îïn1×CD=-2x-2y=0

uur

平面PAB的一个法向量可取n2=0,1,0，

设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为q，

uruur

n×n15

\cosq=ur1uur2==，

5

n1n25

5

所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

5

2．（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥S-ABCD中，二面角S-AD-B为直二面角，

4

AD=CD=2SD=4BC=4，ÐBCD=ÐADC=ÐASD=90°，M为棱DA上一点.

3

(1)证明：SA^SC；

(2)若M为DA中点，求二面角B-SC-M的正弦值；

π

(3)若BM//平面SCD，点N在平面SMB上，若直线AN与平面SCD所成角为，求MN的最小值.

6

【答案】(1)证明见解析；

39

(2)；

8

(3)3.

【详解】（1）由ÐADC=90°，得CD^AD，二面角S-AD-B为直二面角，即平面SAD^平面ABCD，

而平面SADÇ平面ABCD=AD，CDÌ平面ABCD，故CD^平面SAD.

因为SAÌ平面SAD，所以SA^CD，又SA^SD，

SD，CDÌ平面SCD，SDICD=D，故SA^平面SCD，

又SCÌ平面SCD，故SA^SC.

（2）过点S作SO^AD于点O，连接OB，由△ADS:△SDO，得OD=1=BC.

又OD//BC，故四边形OBCD为平行四边形，

因为ÐADC=90°，所以ÐDOB=90°，即OD^OB，故OA，OB，OS两两垂直，

以O为坐标原点，OA，OB，OS所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B0,3,0，S0,0,3，C-1,3,0，M1,0,0，

uuuruuuruuuuruuur

故BS=0,-3,3，BC=-1,0,0，CM=2,-3,0，SM=1,0,-3，

uuur

ìr

rïa×BS=-3y1+3z1=0

设平面的法向量a=x,y,z，则，

SBC111íruuur

îïa×BC=-x1=0

r

y=1x=0a=0,1,3

令1，则z1=3，1，故为平面SBC的一个法向量，

ruuuur

ì

rïb×CM=2x2-3y2=0,

设平面SCM的法向量的b=x2,y2,z2，则íruuur

îïb×SM=x2-3z2=0,

r

y=2b=3,2,3

令z2=3，则x2=3，2，故为平面SCM的一个法向量，

rr

rra×b55

2rr39

则cosa,b=rr==，二面角B-SC-M的正弦值为1-cosa,b=.

ab2´488

（3）若BM//平面SCD，BMÌ平面ABCD，平面ABCDI平面SCD=CD，则BM//CD，

由（2）知OB//DC，故M与O点重合，因为N在平面SMB上，

uuur

设N0,p,t，p，tÎR，A3,0,0，则AN=-3,p,t，

uuuruuur

因为S0,0,3，C-1,3,0，D-1,0,0，则SC=-1,3,-3，SD=-1,0,-3，

ruuur

ïìm×SC=-x+3y-3z=0

mr=x,y,z

设平面SCD的法向量，则íruuur，

îïm×SD=-x-3z=0

r

令z=3，则x=-3，y=0，故m=-3,0,3为平面SCD的一个法向量，

ruuur

ruuurm×AN9+3t1

故cosm,AN===，整理得p2-63t-18=0，

ruuur22

mAN12´9+p+t2

又p2=63t+18³0，故t³-3，

uuuuruuuur2

由MN=0,p,t，故MN=p2+t2=t2+63t+18=t+33