2026秋高三数学复习 立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质(解析版)

立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练

考点一线面平行的判定

1．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）如图，在多面体ABCDQP中，底面四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，

ÐABC=60°，VPAB为正三角形，四边形ADQP为直角梯形，ÐADQ=ÐDQP=90°，AB=AD=2，E为平面∥

ADQP上的点．

(1)当点E在直线AD上时，求线段AE的长度，使得CE平面PAB；

(2)若CE平面PAB，求线段CE的最小值．∥

【答案】∥(1)4

(2)3．

【详解】（1）因为CE平面PAB，CEÌ平面ABCD，平面ABCDI平面PAB=AB，

所以CEAB．∥

又因为四边形∥ABCD为等腰梯形，ADBC，

所以四边形ABCE为平行四边形，因此∥AE=BC．

在BC上找一点F，使得AB=BF=2．

因为ÐABF=60°，所以△ABF为等边三角形，

因此ÐAFB=60°，

又因为在等腰梯形ABCD中，ÐDCB=ÐABC=60°，所以ÐAFB=ÐDCB.

所以AFCD．

又因为AD∥FC，所以四边形AFCD为平行四边形，

因此FC=AD∥=2，所以AE=BC=BF+FC=4．

（2）过点C作CE1AB交AD的延长线于点E1，过点E1作E1E2PA，交PQ的延长线于点E2，

∥∥

CE1PA，PAÌ平面PAB，CE1Ë平面PAB，CE1平面PAB，

∵∥∴∥

同理E1E2平面PAB，

∥

又因为CE1IE1E2=E1,CE1,E1E2Ì平面CE1E2，

所以平面CE1E2平面PAB.

∥

直线E1E2上任意一点记为E，则CEÌ平面CE1E2，所以CE平面PAB．

∥

所以线段CE的最小值为点C到E1E2的距离，即△CE1E2中以C为顶点的高．

因为PE2ADBC，所以四边形E1E2PA，四边形ABCE1为平行四边形，

∥∥

所以PE2=AE1=BC,PBCE2为平行四边形，

所以△CE1E2≌△PAB，

所以△CE1E2是以2为边长的等边三角形，则高为3，

因此线段CE的最小值为3．

224-25··

．（高一下河北期末）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1=2,AC=22,N为线段AB的中点.

(1)证明：AC1//平面B1CN；

(2)平面B1CN将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.

【答案】(1)证明见解析

(2)5

【详解】（1）如图：

连接BC1交B1C于点O，连接ON，

则O为BC1的中点，又N为线段AB的中点，则AC1∥ON，

因为AC1Ë平面B1CN,ONÌ平面B1CN，

所以直线AC1//平面B1CN.

（2）由题知AB2+BC2=AC2，所以AB^BC，

1

所以三棱柱的体积V=´22´2=4.

2

112

三棱锥B-BCN的体积V=´´1´2´2=，

11323

210

所以多面体ABC-ACN的体积V=4-=.

111233

V

所以2=5.

V1

3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，平面PAC^底面ABCD．

(1)求证：BD^PC．

PM

(2)若E为侧棱PC的中点，在侧棱PD上是否存在点M，使得BE//平面MAC？若存在，求出的值；若不存

MD

在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，2

【详解】（1）由已知得ABCD为菱形，所以BD^AC，

因为平面PAC^平面ABCD，平面PACI平面ABCD=AC，BDÌ平面ABCD，

所以BD^平面PAC，

又PCÌ平面PAC,所以BD^PC．

（2）如图，记ACIBD=O，显然O为BD的中点．

取侧棱PD上的点M，使得BE//平面MAC，

连结ED，交MC于点F，连结OF，

则OF//BE，从而F是DE的中点．

uuur1uuur

因为E为PC的中点，所以PE=PC．

2

uuuruuuur

设PD=lPM，

uuur1uuur1uuur1uuuur1uuur

则PF=PD+PE=lPM+PC．

2224

因为M,F,C三点共线，

113

所以l+=1，解得l=．

242

uuur3uuuurPM

所以PD=PM，故=2．

2MD

PM

又当=2时，确有F是DE的中点，

MD

从而OF//BE，故BE//平面MAC．

所以在侧棱PD上存在点M，使得BE//平面MAC，

PM

此时=2．

MD

4．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点

G在棱BB¢上，且满足B¢G=aB¢B.

(1)若a=0.5，求证：EG//平面D¢AC；

1

(2)若点M在线段BD上，且满足D¢M//平面EFG，且a的取值范围为[,1]，求D¢M的取值范围.

2

【答案】(1)证明见详解

é32ù

(2)ê，6ú

ë2û

1

【详解】（1）证明：连接A¢B，a=0.5，B¢G=B¢B，则G为BB¢中点，

2

又E为A¢B¢的中点，所以EG//A¢B，

在正方体中，D¢C//A¢B，所以EG//D¢C，

又EGË平面D¢AC，D¢CÌ平面D¢AC，所以EG//平面D¢AC.

（2）设EF,B¢D¢交于点P，连接PG并延长交DB的延长线于Q，

QD¢M//平面EFG，D¢MÌ平面BB¢D¢D，平面BB¢D¢DI平面EFG=PQ，

\D¢M//PQ，又D¢P//MQ，所以四边形PQMD¢为平行四边形，

32PB¢B¢G

则D¢P=MQ=，又VPB¢G~VQBG，所以=，

2BQBG

222

又PB¢=,B¢G=aB¢B=2a,BG=2-2a，所以BQ=-，

22a2

32æ22ö22

BM=-ç-÷=22-，DM=，

2è2a2ø2a2a

1é1ù1132

所以¢因aÎ,1则可得

DM=4+2,êú,££2,Þ£D¢M£6.

2aë2û22a22

5．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=4．

(1)求证：BB1//平面ACD1；

(2)求点B1到平面ACD1的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【详解】（1）连接BD交AC于点E，连接ED1,AD1，

BD,B1D1是正四棱台的对角面BDD1B1与下底面和上底面的交线，则BD//B1D1，

又BC=2B1C1，所以BD=2B1D1=2BE，即BE=B1D1，

所以BED1B1是平行四边形，所以BB1//ED1，BB1=ED1，

又BB1Ë平面ACD1，ED1Ì平面ACD1，所以BB1//平面ACD1；

BB//ACDV=V=V

（2）由（1）1平面1，所以B1-ACD1B-ACD1D1-ABC，

正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=4，

作D1H^BD于H，则D1H是正四棱台的高，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=4，

22242-222

BD=42,B1D1=22，则DH=DD-DH=2-()=2，

112

1

S=´4´4=8，

△ABC2

1182

所以V=V=S×DH=´8´2=，

B1-ACD1D1-ABC3!ABC133

又D1A=D1C，E是AC中点，所以D1E^AC，

由（1）知D1E=B1B=2，而AC=42，

11

所以S=AC×DE=´42´2=42，

VACD1212

182

设点B1到平面ACD1的距离为h，则´42h=，h=2，

33

所以点B1到平面ACD1的距离为2.

6．（24-25高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面VABC是边长为2的正三角形，AA1^

BF1

底面ABC，AA1=3，D,E分别是AC,AC11的中点，点F在线段BB1上，且=．

BB13

(1)证明：DE//平面ABB1A1．

(2)求直线AF与平面DAB1所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

5

(2)

5

【详解】（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D,E分别是AC,AC11的中点，

根据三棱柱的性质，AC//AC11且AC=AC11，所以四边形ADEA1为平行四边形,

所以DE//AA1，

又因为DEË平面ABB1A1,AA1Ì平面ABB1A1，

所以DE//平面ABB1A1．

（2）由题意，底面VABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1=3，则AD=1,BD=3．

如图，以D为原点，DA,DB,DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

BF1

=

因为，所以D0,0,0,A1,0,0,B10,3,3，F0,3,1，

BB13

uuuruuuruuuur

所以AF=-1,3,1,DA=1,0,0,DB1=0,3,3．

r

设平面DAB1的法向量为n=x,y,z，

ruuur

ïìn×DA=x=0,

nr0,3,1

则íruuuur令z=1，则=-．

îïn×DB1=3y+3z=0,

设直线AF与平面DAB1所成的角为q，

uuurr

uuurrAF×n-1´0+3´-3+1´15

则sinq=cosAF,n=uuurr==，

AFn(-1)2+(3)2+1202+(-3)2+125

5

所以直线AF与平面DAB1所成角的正弦值为．

5

7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，侧面PAD^底面

ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别为AB，PC的中点．

(1)求证：直线EF平面PAD；

(2)若AD=2，求侧面∥PBC与侧面PAD所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见详解

21

(2)

7

【详解】（1）证明：取PD的中点G，连接AG,FG.

1

因为F为PC的中点，所以FGCD且FG=CD,

2

∥1

因为底面ABCD为正方形，E为AB中点，所以AECD且AE=CD，

2

所以FGAE且FG=AE，所以四边形AGFE为平行四边形，所以∥EFAG.

因为AG∥Ì平面PAD，EFË平面PAD，∥

所以直线EF平面PAD.

（2）∥

取AD的中点M，BC的中点N，连接PM,MN，因为△PAD为正三角形，故PM^AD，

因为侧面PAD^底面ABCD，交线为AD，PMÌ平面PAD，所以PM^底面ABCD，

又MN^AD，以M为原点，MA,MN,MP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

又AD=2，故AM=1，PM=3，AB=2，

故P0,0,3，B1,2,0，A1,0,0，D-1,0,0，C-1,2,0，

uuuruuuruuuruuur

PB=1,2,-3，BC=-2,0,0，PA=1,0,-3，AD=-2,0,0

r

设平面PBC的法向量为n=x,y,z，那么

ruuurìruuur

ïìn^PBïn×PB=x,y,z×1,2,-3=x+2y-3z=0

íuuurÞíuuur

nr^BCr

îïîïn×BC=x,y,z×-2,0,0=-2x=0

3ræ3ö

解得x=0，令z=3，则y=，所以n=ç0,,3÷.

2è2ø

r

同理，设平面PAD的法向量为m=x0,y0,z0，则

ruuurìruuur

ïìm^PAïm×PA=x0,y0,z0×1,0,-3=x-3z=0

Þ

íruuuríuuur

ïm^ADr

îîïm×AD=x0,y0,z0×-2,0,0=-2x=0

r

解得x0=0，z=0，令y=1则m=0,1,0.

设侧面侧面PBC与侧面PAD所成角为θ，那么

æ3ö3

rr0,1,0ç0,,3÷

rrm×nè2ø221

cosq=cosm,n=rr===

m×n9217

+3

44

8．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点．

(1)证明：EF//平面ABCD．

(2)求异面直线AF与BC1所成角的大小．

(3)求直线BD与平面D1EF所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)30o；

3

(3).

3

【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O，

QE,F分别为AD1，CD1的中点，

\EF//AC，

QACÌ平面ABCD，且EFË平面ABCD，

\EF//平面ABCD；

（2）QBC1//AD1，

\AF与BC1所成角大小等于与ÐFAD1，

QAC=AD1=CD1,F为CD1的中点，

oo

\ÐFAD1=30，即AF与BC1所成角的大小为30；

（3）连接D1O，过D作DG^D1O于点G，

QDD1^平面ABCD，且ACÌ平面ABCD，

\DD1^AC，又BD^AC且DD1IBD=D,且两直线在平面内，

\AC^平面D1DO，

QDGÌ平面D1DO，

\DG^AC，又DG^D1O，且ACÇD1O=O，,且两直线在平面内，

\DG^平面ACD1，

\直线BD与平面D1EF所成角大小等于ÐDOD1，

Q正方体的边长为1，

26

\DO=,DD=1,DO=

2112

DO3

\cosÐDOD1==.

D1O3

考点二线面平行的性质

1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，

PA=PB=PC=AC=4，点O，M分别为线段AC，AB的中点．

(1)若平面POMI平面PBC=l，证明：l//BC；

(2)证明：OP^平面ABC；

(3)求PM与AC所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见详解.

(2)证明见详解.

14

(3)

14

【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以OM//BC；

又因为OMË平面PBC，BCÌ平面PBC，所以OM//平面PBC；

而OMÌ平面POM，平面POMI平面PBC=l，故OM//l,所以l//BC.

（2）因为PA=PB=PC=AC=4，所以VPAC为边长为4的等边三角形，

O为线段AC的中点，所以OP^AC,OP=23；

又因为AB=BC=22，AC=4，故OB=2；

在VPOB中，OP2+OB2=PB2，所以OP^OB；

而ACIOB=O，AC,OBÌ平面ABC，所以OP^平面ABC.

（3）

取BC中点N，连接PM,MN,PN，于是MN是VABC中位线，则MN∥AC，

1

于是PM与AC所成角即为ÐNMP，由题知，MN=AC=2，

2

又PA=PB，由三线合一，PM^AB，做完PM=PA2-AM2=16-2=14，

14+4-1414

同理PN=14，在VPMN中，由余弦定理cosÐPMN==

214´214

14

故直线PM与AC所成角的余弦值为.

14

2．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，PD^平面ABCD，底面ABCD是正方形，

PD=AB=2，E为PC中点．

(1)求证：PA//平面BDE；

(2)求证：DE^平面PCB；

(3)设平面PABÇ平面PCD=l，求证：l//平面ABCD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【详解】（1）连接AC，交BD于M，如下图所示：

因为底面ABCD是正方形，故M为AC的中点，所以ME//PA，

又因为EMÌ平面BDE，APË平面BDE，

所以AP//平面BDE；

（2）PD^平面ABCD，BCÌ平面ABCDPD^BC，

又在正方形∵ABCD中，CD^BC，∴

PD∵ÇCD=D，PD，CDÌ平面PCD，

BC^平面PCD，

∴又DEÌ平面PCD，BC^DE，

PD∵=CD，E为PC中点，故∴DE^PC，

∵又PCÇBC=C，且PCÌ平面PCB，BCÌ平面PCB，

DE^平面PCB

∴（3）在正方形ABCD中，有AB//CD，

因为ABË平面PCD，CDÌ平面PCD，

所以AB//平面PCD，

又因为ABÌ面PAB，平面PABÇ平面PCD=l，所以AB//l，

又因为lË平面ABCD，ABÌ平面ABCD，

所以l//平面ABCD．

3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形．M、N、Q分别为

PC、CD、AB的中点，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)求证：平面MNQ//平面PAD；

(2)求证：BC//l；

(3)若PA=5，AB=42，求四棱锥P-ABCD的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)32.

【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，

所以MN//PD，NQ//AD，

又MNË平面PAD，PDÌ平面PAD，

则MN//平面PAD，

同理NQË平面PAD，ADÌ平面PAD，

可得NQ//平面PAD，

又MNINQ=N，MN,NQÌ平面MNQ，

所以平面MNQ//平面PAD．

（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以BC//AD，

又BCË平面PAD，ADÌ平面PAD，

所以BC//平面PAD，

又BCÌ平面PBC，平面PBCI平面PAD=l，

所以BC//l.

（3）

因为四棱锥P-ABCD是正四棱锥，

所以底面ABCD是正方形，P在底面上的投影是底面的中心，

又AB=42，所以AC=8，

又PA=5，

2

2æ1ö22

所以四棱锥的高为PA-çAC÷=5-4=3，

è2ø

12

所以正四棱锥P-ABCD的体积V=×42×3=32．

3

4．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB^AC，BB1=2BA，点Q是线段BB1的

中点，连接QA,QC,QA1,QC1．

(1)求证：QA^平面QAC11

(2)设平面QAC与平面QAC11的交线为直线l．求证：AC//l

(3)若AB=AC=1，求二面角C1-QA-C的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

6

(3)

3

【详解】（1）由Q为BB1的中点，BB1=2BA，则BQ=AB，易知A1B1=B1Q，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，易知BB1^AB，BB1^A1B1，

则ÐAQB=ÐAQB11=45°，故AQ^AQ1，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，由AB^AC，则A1B1^AC11，

由BB1^平面A1B1C1，AC11Ì平面A1B1C1，则BB1^AC11，

因为A1B1ÇBB1=B1，A1B1,BB1Ì平面ABB1A1，所以AC11^平面ABB1A1，

因为AQÌ平面ABB1A1，所以AQ^AC11，

因为AQ1ÇAC11=A1，AQ1,AC11Ì平面AC11Q，所以AQ^平面AC11Q.

（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC//AC11，

因为ACË平面AC11Q，ACÌ平面AC11Q，所以AC//平面AC11Q，

因为平面ACQÇ平面AC11Q=l，ACÌ平面ACQ，所以AC∥l.

（3）由题意，将三棱柱ABC-A1B1C1补形成四棱柱ABDC-A1B1D1C1，如下图：

其中底面ABDC为正方形，E为DD1的中点，

由（1）可知AC11^平面ABB1A1，且AC∥A1C1，则AC^平面ABB1A1，

在四棱柱ABDC-A1B1D1C1中，易知AC∥EQ，则EQ^平面ABB1A1，

因为AQÌ平面ABB1A1，所以QE^AQ，

由（1）可知AQ^平面AC11Q，且C1QÌ平面AC11Q，所以AQ^C1Q，

所以ÐC1QE为二面角C1-AQ-C的平面角，

在四棱锥ABDC-A1B1D1C1中，EQ^平面CDD1C1，

因为C1EÌ平面CDD1C1，所以EQ^C1E，

2222222

易知EC1=C1D1+ED1=2，C1Q=B1Q+B1C1=B1Q+B1D1+C1D1=2，

C1E66

所以sinÐC1QE==，则二面角C1-AQ-C的正弦值为.

C1Q33

5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为梯形，

BC//AD，平面PAB^平面PBC，且AB=BC=2，PA=AD=4.

(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC//l；

(2)求l与AC所成的角；

(3)求二面角C-PD-A的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

π

(2)

4

3

(3)

3

【详解】（1）因为BC//AD，BCË平面PAD，ADÌ平面PAD，所以BC//平面PAD，

因为BCÌ平面PBC，平面PBCI平面PAD=l，故l//BC.

（2）过点A在平面PAB内作AH^PB，垂足为点H，如下图所示：

因为平面PAB^平面PBC，平面PABÇ平面PBC=PB，AHÌ平面PAB，

AH^PB，故AH^平面PBC，

因为BCÌ平面PBC，所以AH^BC，

因为PA^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BC^PA，

因为PAIAH=A，PA、AHÌ平面PAB，所以BC^平面PAB，

因为ABÌ平面PAB，所以BC^AB，

因为l//BC，故l与AC所成的角为ÐACB或其补角，

π

又因为AB=BC=2，则VABC为等腰直角三角形，则ÐACB=，

4

π

即l与AC所成的角为.

4

（3）取AD的中点O，连接CO，

因为AD=4，BC=2，AD//BC，故AO=2=BC，

所以，四边形ABCO为平行四边形，所以CO//AB，CO^AD，

由PA^平面ABCD，COÌ平面ABCD，则CO^PA，

而PAÇAD=A，PA,ADÌ平面PAD，于是CO^平面PAD，

又PDÌ平面PAD，则PD^CO，过O作OE^PD于E，连接CE，

显然COÇOE=O，CO、OEÌ平面COE，因此PD^平面COE，

而CEÌ平面COE，则PD^CE，即ÐOEC是二面角C-PD-A的平面角，

由PA=AD=4，PA^AD，得ÐADP=45o，

OE3

则OE=ODsinÐADP=2，CE=6，cosÐOEC==，

CE3

3

所以二面角C-PD-A的余弦值是.

3

6．（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在圆锥PO中，ABCD为底面圆的内接四边形，对角线AC过圆心O，圆

π

锥母线长为22，BC=2，ÐACB=.

3

(1)若AD//BC，平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：AD//l；

(2)若AD=2，求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

43

(2)

7

【详解】（1）证明QAD//BC，ADË平面PBC，BCÌ平面PBC，

\AD//平面PBC，

Q平面PADÇ平面PBC=l，ADÌ平面PAD，

\AD//l.

π

（2）由题意知PA=PC=22，BC=AD=2，ÐACB=，

3

π

\AC=4，AB=CD=23，ÐADC=ÐABC=，PO=2，

2

方法一：向量法

\ABCD为矩形，因此可建立如图所示空间直角坐标系，过点D平行于PO竖直向上为z轴，

\D0,0,0，A2,0,0，B2,23,0，C0,23,0，P1,3,2，

uuuruuuruuuruuur

\DA=2,0,0，DP=1,3,2，CB=2,0,0，CP=1,-3,2，

rr

设平面PAD的法向量为m=x1,y1,z1，平面PBC的法向量为n=x2,y2,z2.

uuurr

ïìDA×m=0ïì2x1=0r

则，所以，令y=-2，m=0,-2,3，

íuuurrí1

îïDP×m=0îïx1+3y1+2z1=0

uuurr

ìïCB×n=0ïì2x2=0r

，所以，令y=2，可得n=0,2,3，

íuuurrí2

îïCP×n=0îïx2-3y2+2z2=0

rr

rrm·n-4+31

\cosm,n=rr==-，

mn7´77

2

æ1ö43

\平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为1-ç-÷=.

è7ø7

方法二：几何法：

过点P分别向AD、BC引垂线，垂足分别为M、N，连接MN，

由（1）知AD//l，所以PM^l，PN^l，

\ÐMPN为平面PAD与平面PBC所成角的平面角，

\PM=PN=7，MN=23，

222

PM+PN-MN1

\根据余弦定理得：cosÐMPN==，

2PMPN7

43

\平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为.

7

7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为底面中心，M,E分别

为PA,PD的中点，△PDC为等腰直角三角形，且DP=DC.

(1)若平面PBCI平面PAD=l，判断直线l与BC的位置关系并证明；

(2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值；

(3)若F,N分为CE,DE的中点，点G在线段PB上，且|PG|=l|GB|，若平面GFN//平面ABCD，求实数l的值.

【答案】(1)l//BC，证明见解析

310

(2)

10

(3)l=3

【详解】（1）l//BC

证明：因为底面ABCD为平行四边形，

所以BC//AD，

又因为BCË面PAD，ADÌ面PAD，

所以BC//面PAD，

又因为BCÌ面PBC，面PBCI平面PAD=l，

所以l//BC.

（2）

连接AC，则O为AC中点，又点M为PA中点，所以MO//PC，

异面直线MO与EC所成角即为EC与PC夹角，

在等腰直角三角形PDC中，设DP=DC=2a，则PE=DE=a，PC=22a，CE=5a，

222

PC+CE-PE8a2+5a2-a2310

在VPEC中，由余弦定理得，cosÐPCE===，

2PC×CE410a210

310

所以异面直线MO与EC所成角的余弦值为.

10

（3）连接BD，如图所示，

3

因为N为DE的中点，E为PD的中点，所以PN=PD，

4

因为平面GFN//平面ABCD，平面PBDI平面ABCD=BD，

平面PBDI平面GFN=GN，所以GN//BD，

PNPG

则==3，即PG=3GB，所以l=3.

NDGB

8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为梯形，

BC//AD，平面PAB^平面PBC，且AB=BC=1，PA=AD=2.

(1)若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC//l；

(2)求证：AB^BC；

(3)求二面角C-PD-A的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

3

(3).

3

【详解】（1）由BC//AD，BCË平面PAD，ADÌ平面PAD，得BC//平面PAD，

又BCÌ平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线l，所以BC//l.

（2）在平面PAB内作AH^PB于H，

平面PAB^平面PBC，平面PABÇ平面PBC=PB，

∵PH^平面PBC，BCÌ平面PBC，则PH^BC

∴又PA^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，则PA^BC，

又PAIAH=A且都在平面PAB内，故BC^平面PAB，

又ABÌ平面PAB，则BC^AB.

（3）若O是AD的中点，连接CO，

由（2）知，CO//AB，CO^AD，

由PA^平面ABCD，COÌ平面ABCD，则CO^PA，

而PAÇA