2026秋高三数学复习 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题(原卷版)

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练

考点目录

中线问题角平分线问题

高线问题最值与范围问题

考点一中线问题

1．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若

c-asinA=csinC-bsinB,b=3，则AC边上中线长度的最大值为（）

32433342

A．B．C．D．

2323

2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B=60°，

b=2，则边AC上中线BD的取值范围为（）

éùæù

2121ù

A．ê,3úB．ç,3úC．1,3D．1,3û

ë3ûè3û

uuuruuur

3．（24-25高一下·浙江台州·期中·多选）在VABC中，设a=6，c=5，CA×CB=18，则下列说法正确的是（）

25

A．VABC的面积为12B．VABC外接圆的周长是π

4

975

C．若D为AC的中点，则中线BD长度为D．VABC内切圆的面积是π

22

4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c²=2，a2+b2=10，

BC,AC边上的中线AM，BN相交于点P，则直线AM,BN的夹角为.

5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

3a=3bcosC+3csinB，若点M为AC中点，且b=3，则中线BM的最大值是．

6．（24-25高一下·广东汕尾·期中）如图，在VABC中，已知AB=2，AC=62，ÐBAC=45°，BC，AC边上的

两条中线AM，BN相交于点P．

(1)求BN；

(2)求MPN的余弦值．

∠

7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且

3sinA

sinC+3cosC=，b=3.

sinB

(1)求角B；

(2)若a+c=2，求边AC上的角平分线BD长；

(3)求边AC上的中线BE的取值范围.

π

8．（24-25高三上·云南临沧·期中）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=．

3

当，时，

(1)c=43SVABC=33

（i）若线段BD是角B的内角平分线，点D在边AC上，求BD的长；

uuuruuur

（ii）若点O是VABC的外心（即各边垂直平分线的交点），求BO×AC的值；

(2)当c=43，AC边上的中线BM=21时，求A的大小．

9．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知在VABC中，AB=AC=1，E，F分别为边AB，BC上的点，且

AE=EB，2BF=FC．

(1)若ÐBAC=90o，用向量方法求证：CE^AF；

(2)若BC=3，求AB边上的中线CE的长．

10．（24-25高三上·四川成都·期中）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且

bsinB=asinA+csinC+asinC.

(1)若acosC+csinA-b=0，求角C；

(2)若bcosC+ccosB=2，3sinA=2sinC，求AC边的中线BD的长；

(3)若角B的内角平分线BE的长为2，求4a+c的最小值.

11．（24-25高一下·广东·阶段练习）记ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4bcosA-c=2acosB.

(1)判断ABC的形状；△

2π

(2)若a=△2，C=，求ABC内切圆的直径；

3

△

(3)设AD为BC边上的中线，若c=3，2AD=34，求a.

12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记VABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bsinA=c.

(1)求A；

(2)若c=2，AC边上的中线BD长为10，求VABC的面积.

13．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在VABC中，AC=3AB，且BC边上的中线AD长为1．

5π

(1)若ÐBAC=，求BC的长；

6

(2)若ÐABC=2ÐDAC，求BC的长．

考点二角平分线问题

1．（24-25高三上·湖北·阶段练习）在VABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2=a2+b2+ab，点D在边

1

AB上，CD平分ÐACB，且CD=，则4a+9b的最小值为（）

2

2525

A．B．25C．D．24

24

2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在VABC中，BC=2AB，ÐABC=60°，ÐABC的角平分线交AC于点D，

BD=2，则VABC的面积为（）

3333

A．B．C．3D．

422

3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知在VABC中，角A和角B的角平分线交点为M,M到AB的距离为2，

πuuuruuur

VABC的周长为4，C=，则BC×CA=（）

3

8316383163

A．-B．-C．D．

3333

4．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）已知VABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在BC上，AD平分ÐBAC，下

列结论正确的是（）

1

A．cosÐBAC=B．VABC的面积为3

2

CD143

C．=D．AD=

BD45

2π

5．（23-24高三下·江西·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ÐBAC=，AD平分

3

ÐBAC交BC于D，AD=1，则VABC面积S的最小值为；若a=25，则VABC的面积为．

6．（2025·北京·三模）在锐角VABC中，ÐBAC=60°，AB=2，BC=6，ÐBAC的角平分线交BC于D，则

∠ACB=；AD=.

π

7．（2025·陕西西安·一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，D为BC上一动点.

3

AB△BD

(1)若AD平分ÐBAC，求证：=；

ACDC

(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当c=2，b=1时，求AD的长.

8．（24-25高三下·浙江·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

2C2A3ac

asin+csin=.

222a+b+c

(1)求角B的大小；

(2)设D是边AC上一点，满足AD=2DC，且BD平分ÐABC，若a=2，求VABC的面积.

9．（24-25高三上·江苏苏州·期末）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b+c=acosC+3sinC，

D为边BC上一点，BD=2DC,AD=3．

(1)求A；

(2)若AD平分ÐBAC，求a．

10．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

3asinB+bcosÐBAC=b,D为BC边上的一点，且AD平分ÐBAC.

(1)求ÐBAC的大小；

(2)若ÐBAC的平分线交BC于点D，且AD=1，求VABC周长的最小值.

2asinCcosA

11．（2025·河南·三模）记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且ctanBcosC+csinC=.

cosB

(1)证明：B+C=2A；

(2)若AD平分ÐBAC交BC于点D，且4b+9c=25，求AD的最大值.

12．（2025·四川·模拟预测）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,VABC的面积S满足：

23S×cosC+c2sinAsinB=0.

(1)求C；

uuuruuur

(2)若AD=2DB,CD平分ÐACB，且CD=2，求c．

c+2acosπ-CsinA+sinCb-c2B

13．（2024·山东·模拟预测）从=，=，2asin=3bsinA这三个条件中

bcosBsinB+sinCa2

任选一个，补充在下面的问题中①.②③

已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且______.

(1)求角B的大小；

(2)若A的角平分线交边BC于点D，且AD=6，c=2，求边b.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

14．（2025·江西·三模）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

b+c+ccos2A+2acosAcosC=0．

(1)求A；

11

(2)若BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求+的最小值．

BDDC

∠

考点三高线问题

1．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，记BC边上的高为h，若A为

h

锐角，b=2asinB，则的最大值为（）

a

22+13+13

A．B．C．D．

2222

2．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形ABC中，角A,B,C对的边分别为a,b,c，a=65，若

11b2+2c2=a2+6bcsinA，则BC边上的高为（）.

185

A．5B．

13

305

C．25D．

13

3．（2025·河南·模拟预测·多选）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a-bcosC=csinB，

b=2c，BC边上的高为2，则（）

A．tanB=2B．b=25

C．VABC的周长为3+35D．VABC的面积为3

3

4．（2025·河南·二模）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的高为h.若a=4，h=，

2

3b2+c2

则bc的最小值为；若h=a，则的最大值为.

6bc

5．（24-25高三上·河北唐山·期末）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知8sinA=3sinB，

5

b2-c2=ab．

8

(1)求角C；

(2)若VABC的面积为63，求AB边上的高．

1

6．（2024·四川成都·三模）在VABC中，BC=5,AC=6,cosB=．

8

(1)求AB的长；

(2)求AC边上的高．

sinA

7．（24-25高三上·广东中山·期中）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2b，=3cosC．

sinC

a

(1)求的值；

b

37

(2)若VABC的面积为，求AB边上的高．

2

π

8．（2025·河北·三模）在VABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=7,D是BC的三等分点，且

3

BD=2DC.

33

(1)当VABC的面积S=时，求AD的长；

2

uuuruuuruuur7

(2)当AD×BC+AC=时，求AB边上的高.

3

考点四最值与范围问题

1．（2024·广东梅州·一模）已知VABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为VABC的面

c

积，2S=b2+c2-a2，则的取值范围为（）

b

æ5öæ25ö

A．ç,5÷B．ç,5÷

è5øè5ø

æ25öæ5ö

C．ç,2÷D．ç,2÷

è5øè5ø

2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范

围是（）

é2π5πùé2πö

A．,B．,π÷

ëê36ûúëê3ø

é5πöæπ5πù

C．,π÷D．ç,

ëê6øè26ûú

æππöa

3．（2024·山东日照·三模）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+bc，且AÎç,÷，则

è32øb

的取值范围为（）

æ6+2ö

A．1,3B．ç,2÷C．2,3D．3,2

è2ø

uuur1uuur2uuur

4．（2025·四川广安·模拟预测）已知在VABC中，角A=60o，边BC=a.点D在线段BC上满足AD=AB+AC，

33

则线段AD长度的取值范围是（）

a2aaa+3aa

A．(0,3)B．(,)C．(,]D．(,a)

33332

5．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习·多选）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

B=60°,b=4，则下列判断中正确的是（）

9

A．若c=3，则该三角形有一解B．若a=，则该三角形有一解

2

C．VABC周长有最大值12D．VABC面积有最大值43

6．（2025·河北邢台·三模）VABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确的有（）

A．若a2+b2<c2，则VABC是钝角三角形

π

B．若a=13，b=3，A=，则VABC的周长为7+13

3

π

C．若A=，b2+c2-16=3bc，则VABC面积的最大值为4+23

6

π7

D．若c=2，b=3，A=，则BC边上的中线长为

32

7．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S为VABC的面积，4S+3a2=

10b

3b2+3c2，则的取值范围为．

c

8．（25-26高三上·广东·开学考试）VABC中，D为边BC上靠近点B的三等分点，且ÐDAB=2ÐDAC,AD=1，则

BC长度的取值范围为．

9．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

fx=3sin2cx-2cos2cx+1．

épù

(1)若fx在0,上单调递增，求c的取值范围；

ëê3ûú

(2)若c=1，fC=-1，求a+b的最大值．

10．（2025·湖南益阳·三模）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=1，且bcosA-cosB=1．

π

(1)若C=，求A；

4

(2)若VABC是锐角三角形，求VABC周长的取值范围．

3bsinA

11．（2025·辽宁·一模）在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足=a