2026秋高三数学复习 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题、解多三角形问题(解析版)

解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题、解多三角形问题专项训练

考点目录

周长与周长最值问题面积与面积最值问题

解多三角形问题

考点一周长与周长最值问题

11

1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=3,b=6,cosB=，则

21

VABC的周长为（）

A．13B．14C．15D．16

【答案】D

11

【详解】由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得36=9+c2-2´3´c´，

21

27

解得c=7或c=-，

7

因为c>0，所以c=7，

所以VABC的周长为a+b+c=3+6+7=16.

故选：D.

2．（24-25高一下·福建泉州·期中）在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bc=1，

2b2+c2=a2，则当角B取最大值时，VABC的周长为（）

A．2+2B．2+3C．3D．3+2

【答案】B

a2-c2

【详解】因为bc=1，2b2+c2=a2，则b2=，

2

22

22a-c

222a+c-22

由余弦定理可得a+c-b2a+3c1æa3cö1a3c3，

cosB====ç+÷³´2×=

2ac2ac4ac4ècaø4ca2

a3c3

当且仅当=时，即当a=3c时等号成立，即cosB³，

ca2

π

因为余弦函数y=cosx在0,π上单调递减，且BÎ0,π，故0<B£，

6

πa2-c2

故B的最大值为，此时a=3c，则b==c，

62

再由bc=1可得b=c=1，则a=3，此时VABC的周长为a+b+c=2+3.

故选：B.

12

3．（24-25高三下·江西·阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA=sinC,cosB=,VABC的

33

面积为25，则VABC的周长为（）

A．8+26B．11C．8+27D．8+43

【答案】A

1

【详解】由sinA=sinC及正弦定理，得c=3a，

3

25

因为cosB=，且BÎ0,π，所以sinB=，

33

135

所以VABC的面积为acsinB=a2´=25，解得a=2，所以c=3a=6，

223

2

由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=4+36-2´2´6´=24，所以b=26，

3

所以VABC的周长为a+b+c=8+26.

故选：A.

4．（2025·陕西安康·模拟预测）已知VABC中，角A，B，C与sinA，sinB，sinA+B分别成等差数列，若

VABC外接圆的面积为4p，则VABC的周长为（）

A．63B．6C．23+4D．43+2

【答案】A

π

【详解】因为角A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，又B+A+C=π，所以B=，

3

又VABC外接圆的面积为4p，所以VABC外接圆的半径为r=2，

π

由正弦定理可得b=2rsinB=4´sin=23，

3

由sinA，sinB，sinA+B成等差数列，所以2sinB=sinA+B+sinA，

所以2sinBsiC+=snniA，由正弦定理可得a+c=2b=43，

所以VABC的周长为a+b+c=43+23=63.

故选：A.

5．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在VABC中，已知2asinA=2b-csinB+2c-bsinC，a=2，则

VABC周长最大值为（）

4343

A．4B．6C．D．+2

33

【答案】B

【详解】在VABC中，由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理，

得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c，整理得a2=b2+c2-bc，而a=2，

b+c1

因此4=(b+c)2-3bc³(b+c)2-3()2=(b+c)2，解得b+c£4，当且仅当b=c时取等号，

24

所以当b=c=2时，VABC周长取得最大值6.

故选：B

6．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在VABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ÐABC的平分

线交AC于点D，BD=2且b=4，则VABC周长的最小值为（）

A．2+22B．225C．4+42D．4

【答案】C

【详解】由题可得，S△ABC=S△ABD+S△BCD，

11ÐABC1ÐABC

即acsinÐABC=BD×csin+BD×asin，

22222

ÐABCÐABCÐABCÐABC

又BD=2，b=4，所以2acsincos=2csin+2asin，

2222

ÐABCπÐABC

因为0<ÐABC<π，所以0<<，则sin¹0，

222

ÐABCÐABCc+a

所以accos=c+a，即cos=，

22ac

c2+a2-16ÐABC

又因为cosÐABC=，且cosÐABC=2cos2-1，

2ac2

2

æc+aöc2+a2-16

所以2ç÷-1=，

èacø2ac

22

整理得4(c+a)=acëé(c+a)-16ûù，

(c+a)2

所以4(c+a)2=acé(c+a)2-16ù£×é(c+a)2-16ù，

ëû4ëû

解得(c+a)2³32，则a+c³42，当且仅当a=c=22时等号成立，

则b+a+c³4+42，故VABC周长的最小值为4+42.

故选：C.

.

π

7．（2025·四川德阳·模拟预测）已知VABC的外接圆O的半径为1，C=．从圆O内随机取一点M，若点M在

3

33

VABC内的概率恰为，则VABC的周长为．

4π

【答案】33

【详解】在VABC中，设A,B,C对应的边为a,b,c，如图，

π2π

在圆O中，由C=，得ÐAOB=，

33

在等腰VAOB中，OA=OB=1，由余弦定理，

得c2=OA2+OB2-2OA×OBcosÐAOB=3，得c=3.

1

absinC

33S33

因为点M在VABC内的概率恰为，所以VABC=2=，

4π2

SeO1×π4π

得ab=3.

a2+b2-c2

在VABC中，由余弦定理，得cosC=，

2ab

1a2+b2-3

即=，得a2+b2=6，

26

有(a+b)2=a2+2ab+b2=12，由a+b>0得a+b=23，

所以VABC的周长为a+b+c=33.

故答案为：33.

11

8．（24-25高三下·江苏扬州·期末）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，+=1

tanBtanC

1

且cosBcosC=，则VABC的周长为.

5

【答案】4+45

11cosBcosC

【详解】由+=1得+=1，

tanBtanCsinBsinC

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，

即sinB+C=sinBsinC，

由B+C=π-A以及诱导公式得sinA=sinBsinC，

1

又cosBcosC=，

5

1

得sinA-=sinBsinC-cosBcosC=-cosB+C=cosA，

5

43

又sinA>0，由同角三角函数的基本关系得sinA=，cosA=，

55

bca4

====5

因为a=4，根据正弦定理：sinBsinCsinA4，

5

所以b=5sinB，c=5sinC，

1616

由余弦定理得16=a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-bc=(b+c)2-´25sinBsinC，

55

4

将sinBsinC=sinA=代入上式得(b+c)2=80，

5

解得b+c=45，所以VABC的周长为4+45.

故答案为:4+45.

a2

9．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在VABC中，已知角A,B,C所对的边分别a,b,c，VABC的面积S=，

3sinA

3cosBcosC=1，a=3，则VABC的周长为．

【答案】3+33

a21

【详解】因为VABC的面积S=，S=bcsinA，

3sinA2

3

所以bcsin2A=a2，

2

3

所以sinBsinCsin2A=sin2A，又sinA¹0，

2

2

所以sinBsinC=，又3cosBcosC=1，

3

1

cosB+C=cosBcosC-sinAsinB=-，

3

1

所以cosA=-cosB+C=，

3

22

又AÎ0,π，所以sinA=1-cos2A=，

3

1b2+c2-a2

由余弦定理可得=cosA=，

32bc

327

由bcsin2A=a2，a=3，可得bc=，

24

227

所以b2+c2=bc+9=，

32

22727

所以b+c=+=27，

22

所以b+c=33，

所以VABC的周长为a+b+c=3+33.

故答案为：3+33.

10．（2025·上海杨浦·模拟预测）在VABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知VABC是一个面积为5的锐角三

角形，且a=2,b=3，则VABC的周长为.

【答案】5+5/5+5

15

【详解】由于三角形的面积为5，所以absinC=5ÞsinC=,

23

2

æ5ö422

因为2，故cosC=（锐角三角形），

cosC=1-ç÷=ÞcosC=±

è3ø933

22

当cosC=时：c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2´2´3´=5Þc=5，

33

则VABC的周长为5+5.

故答案为：5+5.

rrrr

11．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知a=3sinwx,-sinwx,b=coswx,sinwxw>0，函数fx=a×b

π

的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

2

(1)求w的值；

(2)已知a，b，c分别为VABC中角A，B，C的对边，且满足a=3，fA=0，求VABC周长l的最大值.

【答案】(1)w=1

(2)33

rr

【详解】（1）由a=3sinwx,-sinwx,b=coswx,sinwx，

rr2311æπö1

则fx=a×b=3sinwxcoswx-sinwx=sin2wx+cos2wx-=sinç2wx+÷-，

222è6ø2

π

又函数fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为，

2

Tπ2π

即=，T==π，

222w

所以w=1；

æπö1

（2）由fA=sinç2A+÷-=0，AÎ0,π，

è6ø2

πæπ13πö

所以2A+Îç,÷，

6è66ø

π5ππ

则2A+=，A=，

663

2

22π

由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA得3=b+c-2bccos，

3

所以bc=b2+c2-3，

2

23b+c

所以b+c-3=3bc£，

4

解得b+c£23，

当且仅当b=c时等号成立，

所以l=a+b+c£33，

即当VABC为等边三角形时，周长最大为33.

23

12．（24-25高三上·山西运城·阶段练习）在b2+c2-a2=acsinB；sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC这两个

3

条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．①②

在VABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．

(1)求角A；

(2)若a=43，求VABC周长的范围．

π

【答案】(1)A=

3

(2)83<a+b+c≤123

23

【详解】（1）选择：因为b2+c2-a2=acsinB，

3

①23

由余弦定理可得2bccosA=acsinB，

3

所以结合正弦定理可得3sinBcosA=sinAsinB．

因为BÎ0,π，则sinB>0，

所以3cosA=sinA，即tanA=3，

π

因为AÎ0,π，所以A=；

3

选择：因为sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，

由正弦定理得②b2+c2-a2=3bc，

b2+c2-a21

由余弦定理得cosA==．

2bc2

π

因为AÎ0,π，所以A=；

3

π

（2）由（1）知A=，又已知a=43，由正弦定理得：

3

abc

===8,

sinAsinBsinC

∵b=8sinB，c=8sinC,

∴éæ2πöùé13ù

b+c=8sinB+8sinC=8êsinB+sinç-B÷ú=8êsinB+sinB+cosBú

ëè3øûë22û

∴

æ13ö

=83çcosB+sinB÷

è22ø

æπö

=83sinçB+÷,

è6ø

2π

0<B<,

3

∵1æπö

<sinçB+÷£1,

2è6ø

∴

43<b+c≤83,

∴

83<a+b+c≤123．

13∴．（2025·贵州贵阳·模拟预测）记VABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

a2+b2-c2acosB+bcosA=abc．

(1)求C；

(2)若VABC为锐角三角形，c=2，求VABC周长范围．

π

【答案】(1)C=

3

(2)(2+23,6]

【详解】（1）在VABC中，由射影定理得acosB+bcosA=c，

则题述条件化简为a2+b2-c2=ab，

由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC．

1

可得cosC=,CÎ0,π,

2

π

所以C=.

3

（2）在VABC中，

abc243

====

由正弦定理得π，

sinAsinBsinCsin3

3

4343éæ2πöù

则周长C=a+b+2=2+(sinA+sinB)=2+sinA+sin-A，

VABCVABCêç÷ú

33ëè3øû

æ2πöæπöæπö

因为sinA+sinç-A÷=3sinçA+÷，则CVABC=2+4sinçA+÷，

è3øè6øè6ø

2π

因为VABC为锐角三角形，A+B=，

3

æππöπæπ2πö

则得AÎç,÷,A+Îç,÷，

è62ø6è33ø

æπöæ3ù

故sinA+Î,1,CÎ(2+23,6]．

ç÷çúVABC

è6øè2û

14．（2025·湖南娄底·模拟预测）（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公

式：sin(a+b)×sin(a-b)=sin2a-sin2b；sin(a+b)×sin(a-b)=cos2b-cos2a．请你在和中任选一个

进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）①②①②

（2）在VABC中，内角A，B，C所对的边分则为a，b，c，且(2b-c)cosA=acosC，若VABC的面积为3，

底边BC上的高为1，求VABC的周长．

【答案】（1）证明见解析；（2）26+23

【详解】（1）若选，证明如下：

sin(a+b)×sin(a-b①)=(sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasinb)

=sin2acos2b-cos2asin2b

=sin2a1-sin2b-1-sin2asin2b

=sin2a-sin2b．

若选，证明如下：

sin(a②+b)×sin(a-b)=(sinacosb+cosasinb)(sinacosb-cosasinb)

=sin2acos2b-cos2asin2b

=1-cos2acos2b-cos2a1-cos2b

=cos2b-cos2a，

（2）由题意得(2b-c)cosA=acosC，

由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC，

所以2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，

1

因为在VABC中，sinB¹0，所以cosA=．

2

π

又因为0<A<π，所以解得A=．

3

1

因为VABC的面积为3，所以´a´1=3，解得a=23．

2

1

由bcsinA=3，解得bc=4．

2

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即12=b2+c2-bc，

则(b+c)2=3bc+12，即(b+c)2=24，解得b+c=26．

故VABC的周长为a+b+c=26+23.

15．（2025·河北唐山·三模）已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足an+bn=mcn，其中

m,nÎZ.

tanC×sinC

(1)当n=2，m=2025时，求的值；

sinA×sinB

4

(2)当n=1，m=2时，若sinC=，b=5且b>a，求sinA及VABC的周长.

5

1

【答案】(1)

1012

3

(2)sinA=，VABC的周长为12.

5

tanC×sinCsin2Cc2

【详解】（1）由正弦定理可得==，

sinA×sinBcosC×sinA×sinBabcosC

1

由余弦定理知abcosC=a2+b2-c2，

2

由题意知a2+b2=2025c2，

故abcosC=1012c2，

tanC×sinC1

故=.

sinA×sinB1012

（2）当n=1，m=2时，即a+b=2c，由正弦定理可得sinA+sinB=2sinC，

又因为sinB=sinA+C，所以sinA+sinA+C=2sinC，

3

因为a+b=2c且b>a，故a<c<b，因此C为锐角，故cosC=1-sin2C=，

5

438

故sinA+cosA+sinA=，即2sinA+cosA=2，

555

2

因此cosA=2-2sinA，因此sin2A+2-2sinA=1，即5sin2A-8sinA+3=0，

3

解得sinA=（sinA=1舍去）.

5

43π

所以sinB=2sinC-sinA=2´-=1，故B=.

552

因为b=5，故c=4，a=3，

因此VABC的周长为12.

16．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）在VABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，VABC的面

a2

积S=，3cosBcosC=1，a=3．

3sinA

(1)求cosA的值；

(2)证明VABC为等腰三角形；

(3)求VABC的周长．

1

【答案】(1)cosA=

3

(2)证明见解析

(3)3+33

1a2

【详解】（1）由三角形的面积公式可得S=bcsinA=，则3bcsin2A=2a2，

23sinA

由正弦定理可得：3sinBsinCsin2A=2sin2A，

2

QsinA¹0，\sinBsinC=，

3

1

又3cosBcosC=1，则cosBcosC=，

3

11

\cosBcosC-sinBsinC=-，即cos(B+C)=-，

33

1

\cosA=．

3

1

（2）QcosA=，AÎ0,π,

3

22

\sinA=，

3

abc392

====

Qa=3，\sinAsinBsinC224，

3

9292

\b=sinB，c=sinC，

44

92928181227

\bc=sinB×sinC=sinBsinC=´=，

448834

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，则9=(b+c)2-2bc-2bccosA，

27271

即9=(b+c)2-2´-2´´，解得b+c=33，

443

33

\b=c=，

2

\VABC为等腰三角形

（3）由（2）知b+c=33

\VABC的周长为a+b+c=3+33．

故答案为：3+33．

考点二面积与面积最值问题

32

1．（2025·山西·三模）在VABC中，A=45o，BC=10，AB=AC，则VABC的面积是（）

2

33

A．B．C．3D．12

42

【答案】C

【详解】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cosA，

932π

得AC2+AC2-2´AC2cos=10，解得AC=2，则AB=32．

224

112

所以VABC的面积为S=AB×AC×sinA=´2´32´=3．

VABC222

故选：C.

2．（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且

DE=3,DF=2,ÐDEF=90°．则三角形ABC面积的最大值是（）

73

A．B．23C．73D．63

3

【答案】A

【详解】设ÐDEB=q，

π2ππ

\ÐFEC=-q,ÐBDE=-q,ÐCFE=+q，

236

π

QÐDEF=,DF=2,DE=3，

2

\EF=1，

3BE

DEBE=

在VBDE中，=，即πæ2πö，

sinÐDBEsinÐBDEsinsinç-q÷

3è3ø

æ2πö

\BE=2sinç-q÷=3cosq+sinq，

è3ø

23æπö3

同理，在△ECF中，EC=sinç+q÷=cosq+sinq，

3è6ø3

3221

\VABC的边长BC=BE+EC=3cosq+sinq+cosq+sinq=sin(q+j)，

33

23

其中tanj=，

3

æpöπ221

QqÎç0,÷\q+j=时，BC取得最大值为，

è2ø23

332873

\S=BC2£´=.

VABC4433

故选：A.

3．（2025·广东佛山·三模）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝120o，且A的内角平分线

AD＝3，则VABC面积的最小值为（）

A．2B．23C．3D．33

【答案】D

æπ2πö2ππ

【详解】解法1：设ÐADB=qç<q<÷，则ÐADC=π-q,ÐB=-q,ÐC=q-

è33ø33

3sinq

ABADAB=

在△ABD中，由正弦定理=，故æ2πö；

sinÐADBsinÐBsinç-q÷

è3ø

3sinq

ACADAC=

在△CBD中，由正弦定理=，故æπö；

sinÐADCsinÐCsinçq-÷

è3ø

133sin2q

\S=AB×ACsinA=

2æ2πöæπö

4sinç-q÷sinçq-÷

è3øè3ø

33sin2q33sin2q33

===

2223，当sinq=1，即q=90°时，面积最小值33．

sinq-3cosq4sinq-34-

sin2q

解法2：由角平分线性质可知，SVABC=SVADC+SVADB，所以有

111

´bc´sin120°=´b´AD´sin60°+´c´AD´sin60°，

222

化简得：3b+c=bc³23×bc，即bc³12，当且仅当b=c=23时，等号成立．

3

故而S³´12=33．

△ABC4

故选：D.

4．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

1

bcosC=a+ccosB，b=2，则VABC的面积的最大值为（）

2

3124

A．B．C．D．

2333

【答案】D