2026秋高三数学复习 解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题(解析版)

解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题专项训练

考点目录

边角互化问题周长与周长最值问题

面积与面积最值问题解多三角形问题

考点一边角互化问题

b2+c2-a2

1．（2025·辽宁大连·一模）在VABC中，已知2c-a=，下列说法正确的是（）

c

π

A．B=

6

93

B．若b=3，则VABC面积最大值为

4

C．记VABC的内切圆半径为R，设R=fb，则fb在bÎ1,+¥上单调递增

D．若sin2A+cos2B>1，若a和c的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形

【答案】B

b2+c2-a2

【详解】选项A：由余弦定理得：cosA=，

2bc

b2+c2-a2

又2c-a=，

c

2bccosA

所以2c-a==2bcosA，

c

由正弦定理得：2sinC-sinA=2sinBcosA，

因为A+B+C=π，所以C=π-A+B，

所以2sinA+B-sinA=2sinBcosA，

即2sinAcosB+2cosAsinB-sinA=2sinBcosA，

即2sinAcosB=sinA，

因为AÎ0,π，所以sinA>0，

1

所以cosB=，又BÎ0,π，

2

π

所以B=，故A选项不正确；

3

π

选项B：因为b=3,B=，

3

所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：

9=a2+c2-ac，

所以9=a2+c2-ac³2ac-ac=ac，

当且仅当a=c=3时等号成立，即ac£9，

11393

所以S=acsinB£´9´=，

VABC2224

所以B选项正确；

选项C：由VABC的内切圆半径为R，

11

则S=a+b+cR=acsinB，

VABC22

acsinB3ac

即R==，

a+b+c2a+b+c

π3

当b=2,A=时，a=c=b=2，此时R=；

313

83

π23433

当b=2,A=时，c=,a=，此时R=3=1-.

22

3322+233

3131

因为R=>，所以R=1-<.

132232

所以R=fb在bÎ1,+¥上的不单调递增，故C选项错误；

ab

选项D：由正弦定理=得：

sinAsinB

asinB

sinA=，

b

由sin2A+cos2B>1即sin2A>1-cos2B=sin2B，

所以sinA>sinB，又A,BÎ0,π，

π

所以sinA>sinB，又B=，

3

π2πæπ2πö

所以A>且A<π-B=，即AÎç,÷，

33è33ø

又a和c的长度一定，此时满足条件的角A只有一个值，

所以只有一个满足条件的三角形，

故D选项不正确；

故选：B.

2．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

a-ccosB=b-ccosA，且c2=a2+b2-ab，则VABC的形状为（）

A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形

【答案】D

【详解】由c2=a2+b2-ab得a2+b2-c2=ab，

a2+b2-c21π

所以cosC==，又CÎ0,π，所以C=.

2ab23

由a-ccosB=b-ccosA，根据正弦定理可得sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA，

又sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinBcosC=sinAcosC，又cosC¹0，所以sinB=sinA，

π

由正弦定理可得a=b.因为a=b,C=，所以VABC是等边三角形.

3

故选：D.

3．（2025·四川巴中·模拟预测）在VABC中，若c+ccosA=3asinA+B，则A=（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

【详解】由正弦定理可得sinC+sinCcosA=3sinAsinA+B，

又sinA+B=sinπ-C=sinC，所以sinC+sinCcosA=3sinAsinC，

因为CÎ0,π，所以sinC>0，故1+cosA=3sinA，

æπöæπö1

即3sinA-cosA=2sinçA-÷=1，即sinçA-÷=

è6øè6ø2

πæπ5πöπππ

因为AÎ0,π，所以A-Îç-,÷，所以A-=，即A=.

6è66ø663

故选：B

4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在VABC中，则下列条件不是A>B的充要条件的为（）

A．sinA>sinBB．cosA<cosB

C．cos2A<cos2BD．sin2A>sin2B

【答案】D

ab

【详解】选项A：利用正弦定理可得==2R，

sinAsinB

故\sinA>sinB，等价于a>b，而在VABC中，a>b等价于A>B，故选项A正确；

选项B：cosA<cosB，由余弦函数y=cosx,xÎ0,π为减函数可得A>B，故选项B正确；

选项C：cos2A<cos2B，利用二倍角公式可得1-2sin2A<1-2sin2B，

所以sin2A>sin2B，即sinA>sinB，等价于a>b，

而在VABC中，a>b等价于A>B，故选项C正确；

选项D：sin2A>sin2B不能推出a>b，如A=45°，B=60°时满足sin2A>sin2B，

但由大角对大边可得a<b，故选项D不正确．

故选：D.

5．（25-26高三上·江苏·阶段练习·多选）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

æπöæπö

cosAsinçB+÷=sinçC-÷，a+c=2，则（）

è6øè6ø

A．cosC+cosAcosB=3sinAcosB

3

B．VABC的面积的最大值为

2

8

C．b的一个可能的取值为

5

4

D．b的一个可能的取值为

5

【答案】AC

æπöæπöæπöæ5πö

【详解】由cosAsinçB+÷=sinçC-÷，可得cosAsinçB+÷=sinç-A-B÷，

è6øè6øè6øè6ø

æππö5π5π

所以cosAçsinBcos+cosBsin÷=sincosA+B-cossinA+B，

è66ø66

3113

所以cosAsinB+cosAcosB=cosA+B+sinA+B，

2222

31113

所以cosAsinB+cosAcosB=cosAcosB-sinAsinB+sinA+B，

22222

3133

所以cosAsinB=-sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB，

2222

13

所以-sinAsinB+sinAcosB=0，因为0<A<π，所以sinA¹0，

22

13π

所以-sinB+cosB=0，所以tanB=3，因为0<B<π，所以B=，

223

æ2πö1

对于A，cosC+cosAcosB=cosπ-A-B+cosAcosB=cosç-A÷+cosA

è3ø2

2π2π13

=coscosA+sinsinA+cosA=sinA=3sinAcosB，故A正确；

3322

2

æa+cö

对于B，因为a+c=2，所以ac£ç÷=1，

è2ø

1π3

所以S=acsin£，故B错误；

VABC234

2

对于CD，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a+c-3ac

=4-3a2-a=3a2-6a+4=3a-12+1，

又a+c=2，所以0<a<2，所以1£b2<4，所以1£b<2，故C正确，D错误.

故选：AC.

6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试·多选）VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且

cosC2a-c

=，下列说法正确的是（）

cosBb

π

A．B=

3

B．若b=2且VABC存在且唯一，则0<a£2或a=22

C．若sinC=2sinA，则b=a

D．若b=2，则VABC面积最大值为1+2

【答案】BCD

cosC2a-c2sinA-sinC

【详解】由==，2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，

cosBbsinB

2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sinB+C=sinA，

2π

由于sinA¹0，所以cosB=，QBÎ0,π，\B=，故A错误；

24

ab2

===22

由正弦定理得sinAsinB2，即a=22sinA，又VABC存在且唯一，

2

p

所以0<a£b=2或A=，a=22，故B正确；

2

æ3ö22

由sinC=2sinA，则sinçπ-A÷=2sinA，cosA+sinA=2sinA，

è4ø22

sinA=cosA，即tanA=1，而A为三角形内角，

ππ

所以A=，则A=B=，所以b=a，故C正确；

44

若b=2，则由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac=4，

所以有a2+c2=2ac+4³2ac，即ac£4+22，当且仅当a=c=4+22时取等号，

122

VABC的面积为acsinB=ac£´4+22=1+2，故D正确.

244

故选：BCD.

7．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习·多选）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

2acosA+ccosB+bcosC=0，点D在线段BC上，且AD=4，则（）

2π

A．角A的大小为

3

111

B．若AD为ÐBAC的角平分线，则+=

bc4

uuuruuuræ43ö

C．若AD×AC=0，则线段BD的长度的取值范围为ç,+¥÷

è3ø

uuuruuur

D．若AD×BC=0，则VABC的周长的最大值为16+83

【答案】ABC

【详解】选项A：若2acosA+ccosB+bcosC=0，

即2sinAcosA+sinCcosB+sinBcosC=0，2sinAcosA+sin(B+C)=0，

故2sinAcosA+sinA=0，

12π

因为A为三角形内角，所以sinA¹0，所以cosA=-，A=.故选项A正确.

23

选项B：根据题意，由于SVABC=SVABD+SVACD，

12π1π1π111

即bcsin=´c´AD´sin+´b´AD´sinÞbc=4b+4cÞ+=.故选项B正确.

232323bc4

uuuruuurπ

选项C：若AD×AC=0，则ÐBAD=.

6

BD4

=2

在△ABD中，由正弦定理得：πsinB，BD=，

sinsinB

6

æπöæ43ö

由于BÎç0,÷，则BD的长度的取值范围为ç,+¥÷.故选项C正确.

è3øè3ø

uuuruuur12π118

选项D：若AD×BC=0，根据等面积法有bcsin=´a´AD=´a´4，即bc=a.

23223

2π2228

由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccos，整理可有(b+c)=a+bc=a+a，

33

88

故b+c=a2+a，VABC的周长L=a2+a+a.

33

2288

又因为(b+c)=a+a³4bc=4´a（当且仅当b=c时取等号），解得a³83，

33

8

故VABC的周长L=a2+a+a³16+83，周长的最小值为16+83.故选项D错误.

3

故选：ABC

8．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知VABC中，c=1，若sinC=acosB+bcosA，

1

cosAcosBsinC=，则（）

4

A．sinC=sin2A+sin2B

6

B．sinAsinB=

8

6

C．AC+BC=

2

1

D．VABC的面积是

8

【答案】ACD

【详解】A选项，sinC=acosB+bcosA，c=1，

故csinC=acosB+bcosA，

由正弦定理得sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sinA+B=sinC，

又CÎ0,π，故sinC>0，所以sinC=1，

ππ

又CÎ0,π，故C=，则A+B=，cosA=sinB，

22

因为sin2A+cos2A=1，所以sinC=sin2A+sin2B，A正确；

11

B选项，cosAcosBsinC=ÞcosAcosB=，

44

1

又cosA=sinB，cosB=sinA，故sinAsinB=，B错误；

4

C选项，由勾股定理得a2+b2=c2=1，

ab1

===1

由正弦定理得π，

sinAsinBsin

2

故a=sinA,b=sinB，

116

由B知，ab=sinAsinB=，则a+b=a2+b2+2ab=1+=，

422

6

即AC+BC=，C正确；

2

1111

D选项，VABC的面积为absinC=´=，D正确.

2248

故选：ACD

9．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）设VABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinA=5sinB，

则a=.

【答案】5

【详解】因为bsinA=5sinB，

由正弦定理可得：ba=5b，又b¹0，

解得a=5.

故答案为：5

10．（25-26高二上·广西来宾·阶段练习）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

3acosB=bsinA．则B的值为．

π

【答案】

3

【详解】3acosB=bsinA，

∵

由正弦定理得3sinAcosB=sinBsinA，

∴

又sinA¹0，故3cosB=sinB，

tanB=3，

∴0<B<π，

π

∵B=，

3

∴π

故答案为：

3

3

11．（2025·河北衡水·模拟预测）在VABC中，若AC=BC，sinA=2cosB，则cosA=.

2

151

【答案】/15

55

ACBC33

【详解】由正弦定理得=，又AC=BC，得sinB=sinA，

sinBsinA22

1①

再由sinA=2cosB，得cosB=sinA，

2

9②12

代入sin2B+cos2B=1，得sin2A+sin2A=1，得sin2A=，

445

①②231515

所以cosA=，即cosA=或cosA=-.

555

3

又因为AC=BC>BC，由大边对大角得B>A，所以A为锐角，

2

15

所以cosA=.

5

15

故答案为：.

5

12．（25-26高二上·四川绵阳·开学考试）在VABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，O为VABC的外

23uuuruuuruuur

心，且有AB+BC=AC，sinC(cosA-3)+cosAsinA=0，若AO=xAB+yAC，x,yÎR，则x-2y=．

3

43

【答案】-3或-

33

abc

【详解】由正弦定理可知===2R，所以c(cosA-3)+acosA=0，

sinAsinBsinC

2323

又因为AB+BC=AC，所以c+a=b，

33

联立可得2bcosA=3c，

b2+c2-a2b2+c2-a23c

由余弦定理得cosA=，所以cosA==，解得b2=a2+2c2.

2bc2bc2b

23ïìa=cïìa=5c

联立c+a=b得a2-6ac+5c2=0，解得í或í.

3îïb=3cîïb=33c

ïìa=cuuuruuur3

当í时，而AB×AC=bccosA=c2，

îïb=3c2

uuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur

由AO=xAB+yAC，得AO×AB=xAB+yAC×AB，

uuuruuur1uuur2

因为O为VABC的外心，则AO×AB=AB，

2

13

所以c2=x×c2+y×c2，所以2x+3y=1.

22

uuuruuuruuuruuuruuur①uuuruuuruuur2

同理，由AO=xAB+yAC，得AO×AC=xAB×AC+yAC，

uuuruuur1uuur2

又因为AO×AC=AC，

2

1311

所以b2=x×c2+y×b2，因为b=3c，即得b2=x×b2+y×b2，

2222

所以x+2y=1.

联立解得②x=-1,y=1，所以x-2y=-3.

当a=①②5c,b=33c时，同理可得2x+3y=1，x+18y=9

43③④

解得x-2y=-.

33

43

故答案为：-3或-.

33

13．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）记VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

sinA+sinB+sinCc-a+b=3csinB．

(1)若a=23，求VABC外接圆的半径；

uuuruuur

(2)若b=3,c=2,BD=2DC，求线段AD的长．

【答案】(1)2

213

(2)

3

【详解】（1）因为sinA+sinB+sinCc-a+b=3csinB，

所以由正弦定理得3bc=b+c+ab+c-a=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc，

所以b2+c2-a2=bc，

b2+c2-a21

则由余弦定理得cosA==，

2bc2

π

又AÎ0,π，所以A=，

3

设VABC外接圆的半径为R，

a23

则R===2.

2sinA3

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

（2）由BD=2DC，得AD-AB=2AC-2AD，

uuur1uuur2uuur

所以AD=AB+AC，

33

uuur21uuur24uuur212uuuruuurπ124241

则|AD|=AB+AC+2´´AB´ACcos=c+b+bc´

993339992

144152

=´4+´9+´3´2´=，

99929

uuur213

所以AD=AD=．

3

14．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2bcosA+ccosA+acosC=0．

(1)求A的大小；

uuuruuur

(2)若ABgAC=-5,b+c=7，求a的值．

2

【答案】(1)A=π

3

(2)a=39

【详解】（1）由已知2bcosA+ccosA+acosC=0，

所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0，

所以2sinBcosA+sinA+C=2sinBcosA+sinB=0，

1

因为sinB¹0，所以cosA=-．

2

2

因为AÎ0,π，所以A=π．

3

uuuruuur1

（2）由已知可得ABgAC=bccosA=-bc=-5，所以bc=10．

2

因为a2=b2+c2-2bccosA,b+c=7，

2

所以a2=b+c-2bc+bc=49-10=39，所以a=39．

15．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b=c+2acosC.

(1)求A；

33

(2)若VABC的周长为9，面积为，求a.

4

π

【答案】(1)A=

3

(2)a=4.

【详解】（1）在VABC中，由2b=c+2acosC及正弦定理得2sinB=sinC+2sinAcosC，

则sinC+2sinAcosC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

1

因此2cosAsinC=sinC，而sinC>0，则cosA=，又AÎ(0,π)，

2

π

所以A=.

3

1333

（2）由（1）及已知得S=bcsinA=bc=，解得bc=3，

△ABC244

由a+b+c=9，得b+c=9-a，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc，则a2=(9-a)2-9，

所以a=4.

π26

16．（25-26高三上·上海·阶段练习）在VABC中，a=3,A=,b2=asinB.

33

(1)求sinB；

(2)求c以及SVABC的值.

2

【答案】(1)

2

2+63+3

(2)c=,S=

2VABC4

2626

【详解】（1）由b2=asinB，根据正弦定理得，bsinB=sinAsinB，

33

26263

因为sinB>0，所以b=sinA=´=2，

332

32

ab=2

由=，则3sinB，解得sinB=.

sinAsinB2

2

（2）由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，

212+6

则3=2+c-2´2´c´，解得c=（负值舍去），

22

112+633+3

所以S=bcsinA=´2´´=.

VABC22224

考点二周长与周长最值问题

1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知VABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知

π

B=,c=b1+2cosA,a=1，则VABC的周长为（）

6

2+34+3

A．1+3B．C．3+3D．

24

【答案】A

【详解】Qc=b1+2cosA，由正弦定理得

sinC=sinB1+2cosA=sinB+2cosAsinB，

又sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinAcosB-cosAsinB=sinA-B=sinB，

则A-B=B，A=2B或A-B=π-B，A=π（舍），

ππ

所以A=2B=，C=，

32

a12323π3

c===，b=csinB=sin=

则π，

sinAsin3363

3

CVABC=a+b+c=1+3.

故选：A.

2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在VABC中，已知AC=4，AB=2，VABC的周长为9，则sinB=（）

131515

A．-B．C．D．-

4444

【答案】C

【详解】已知AC=4，AB=2，VABC的周长为9，则BC=3，

AB2+BC2-AC222+32-421

则cosB===-，

2AB×BC2´2´34

2

2æ1ö15

又0<B<π，则sinB=1-cosB=1-ç-÷=.

è4ø4

故选：C.

3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=7，VABC的面积为

63，且acosC+3asinC-b-c=0，则VABC的周长为（）

A．15B．16C．18D．20

【答案】C

【详解】因为acosC+3asinC-b-c=0，

由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

因为B=π-A+C，可得3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

æπö1

又因为sinC¹0，可得3sinA-cosA=1，所以sinçA-÷=，

è6ø2

π

因为0<A<π，所以A=，

3

1

又因为S=bcsinA=63，可得bc=24，

VABC2

又由a2=b2+c2-2bccosA,a=7，可得b2+c2=73，所以b+c=11，

所以VABC的周长为a+b+c=18．

故选：C.

1

4．（25-26高二上·浙江·开学考试）设VABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，其面积S=sinAsinBsinC，

8

若sinA+sinB+sinC=2，则VABC的周长为（）

13

A．1B．C．2D．

24

【答案】A

abc

【详解】由正弦定理有===2R，R为VABC的外接圆半径，

sinAsinBsinC

所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，

111

所以S=absinC=´2RsinA´2RsinB´sinC=2R2sinAsinBsinC=sinAsinBsinC，

228

11

所以2R2=，即R=，又sinA+sinB+sinC=2，所以VABC的周长为

84

1

a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=2R×sinA+sinB+sinC=´2=1.

2

故选：A

π

5．（2025·河南·模拟预测）在VABC中，A=,BC=27,VABC的面积为63，则VABC的周长为.

3

【答案】10+27

1

【详解】因为S=AB×ACsinA=63，所以AB×AC=24.

VABC2

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosA=AB2+AC2-AB×AC

=(AB+AC)2-3AB×AC=(AB+AC)2-72=28.