2026秋高三数学复习 解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题(解析版)

解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练

考点一三角形的面积问题

1．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A，B两点，与C的准线交

uuuruuur

于点M．若MA=2AB，点F为C的焦点，则△OAF与VOBF的面积之比为（）

2231

A．B．C．D．

5342

【答案】B

【详解】

如图，分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为P,Q，

则AP=AF,BQ=BF，VAPM~VBQM，

抛物线C:x2=4y的焦点F0,1，

直线l:y=kx+1过定点F0,1，

uuuruuur

因为VAPM:VMBQ，MA=2AB，

PAAM2

所以==，

QBMB3

SAFPA2

所以VOAF===.

SVOBFBFQB3

故选：B.

2

x2

2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆C:+y=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于点

3

A，B两点，若VF1AB面积是VF2AB的2倍，则m=（）

222

A．-32B．-或-32C．-D．-

333

【答案】C

【详解】设直线y=x+m与x轴的交点为M，则M-m,0．

11

所以S=MFy-y，S=MFy-y．

F1AB21ABF2AB22AB

S=2SMF=2MF

因为F1ABF2AB，所以12．

2

x2

由+y=1得c=2，即F1-2,0，F22,0，F1F2=22．

3

2

所以-2+m=22+m，解得m=-或-32．

3

ìy=x+m

ï

y=x+m222

因为与C有两个交点，联立íx2消y得4x+6mx+3m-3=0，

ï+y=1

î3

222

则Δ=36m-163m-3>0，解得m2<4．所以m=-

3

故选：C.

3．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知点A-4,0，C，D是eO:x2+y2=25与x轴的交点，P为动点，以PA为直

径的圆与eO相内切，则△CPD面积的最大值为（）

A．8B．10C．12D．15

【答案】D

【详解】如图，设以PA为直径的圆心为E，半径为r，

因为eE与eO相内切，则OE=5-r．

1

设F4,0，连接PF，则OE=PF，

2

\PF=2OE=10-2r，又PA=2r，

所以，PA+PF=10>8，

所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，

由2a=10，得a=5，又c=4，所以b=3．

11

显然P为椭圆短轴端点即0,3或0,-3时△CPD的面积最大，为CD´3=´10´3=15．

22

故选：D

4．（2025·江苏·模拟预测·多选）设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于

5

A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，与x轴交于点C，AF=,BF=4，则下列说法正确的是（）

2

A．y1y2=2B．p=4

3

C．AB=17D．△AFB与VAFC的面积之比为3:1

2

【答案】BCD

p5p

【详解】由题得AF=y+=,BF=y+=4且y>y>0，

1222221

则A在第二象限，B在第一象限，且p<8，

2

ìx=2py2

联立íÞx-2pkx-2p=0Þx1+x2=2pk,x1x2=-2p，

îy=kx+1

x2x2

则y+y=kx+x+2=2pk2+2,yy=1×2=1，

1212122p2p

æ5pöæpö

所以ç-÷ç4-÷=1Þp=4或p=9（舍去），

è22øè2ø

1

所以抛物线E:x2=8y，F2,0，y=,y=2，

122

æ1ö1

所以可得Aç-2,÷,B4,2，k=，

è2ø4

2

2æ1ö3

所以AB=4+2+ç2-÷=17，

è2ø2

1

直线y=x+1与x轴交于点C-4,0，

4

2

2æ1ö17

所以AC=-2+4+ç-0÷=，

è2ø2

æ1öæ1ö31717

所以SVAFB:SVAFC=çAFABsinÐFAC÷:çAFACsinÐFAB÷=AB:AC=:=3:1.

è2øè2ø22

所以A错误，BCD正确.

故选：BCD.

x2y2

5．（24-25高二下·重庆·阶段练习·多选）已知椭圆+=1的左右焦点为F1-1,0，F21,0，P为椭圆上一动

43

点，设点M，N是椭圆上位于x轴上方的点，且MF1//NF2，则下列说法正确的有（）

A．VPF1F2面积的最大值为3B．存在点M，使MF1^MF2

5

C．若H1,1，则PF+PH的最大值为5D．MF×NF的最小值为

1122

【答案】AC

x2y2

【详解】由椭圆方程+=1，可知a=2，b=3，c=1，

43

1

A选项：VPFF的面积S=FF×y=c×y=y，

12212PPP

所以当点P为椭圆短轴顶点时VPF1F2面积最大为3，A选项正确；

224

ùx1y122

B选项：设Mx1,y1，y1Î0,3，则+=1，即x1=4-y1，

û433

uuuuruuuur

MF1=-1-x1,-y1，MF2=1-x1,-y1，

uuuuruuuur2212

则MF1×MF2=x1+y1-1=-y1+3Î2,3，

3

uuuuruuuur

所以不存在M使MF1^MF2，B选项错误；

C选项：

如图所示，由椭圆定义可知PF1+PH=2a-PF2+PH£2a+HF2=4+1=5，

当点P在HF2延长线时取等号，C选项正确；

D选项：

设直线MF1与椭圆的另一个交点为N¢x2,y2，

由椭圆的对称性可知，当MF1//NF2时，NF2=N¢F1，

设直线MF1的方程为x=my-1，

ìx2y2

ï+=122

联立直线与椭圆í43，化简可得3m+4y-6my-9=0，D>0，

ï

îx=my-1

6m-9

则y+y=，yy=，

123m2+4123m2+4

22

则MF1=1+my1，N¢F1=1+my2，

93

¢2

所以MF1×NF2=MF1×NF1=1+m×2=3-2，

3m+43m+4

39

又m2³0，所以MF×NF=3-³，D选项错误；

123m2+44

故选：AC.

6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线M:x-42+2y2=9的中心为M，过1,0的直线交曲线M于A，B

两点，C3,0，则三角形BCM面积的最大值为．

【答案】32

4

2

x-4y2

22M:+=1

【详解】由M:x-4+2y=9可得99，故M4,0,

2

令y=0，则x=1或x=7，

因此曲线M与x轴的交点为1,0,7,0，

11

S=CMh=h，

VBCM22

故要使得VBCM的面积最大，只需要h最大，即只需要B的纵坐标的绝对值最大即可，

29

在M:x-4+2y2=9中令x=4，则y=，

2

11932

故S=h£´=，

VBCM2224

故答案为：32

4

7．（2025·山东日照·二模）已知eO:x2+y2=16与x轴相交于C，D两点，点A(-23,0)，以AB为直径的圆与

O内切，则BCD面积的最大值为．

⊙【答案】8△

【详解】

如图，设以AB为直径的圆的圆心为E，F23,0，

1

因为两圆内切，所以OE=4-BA，

2

1

又OE为△ABF的中位线，所以OE=BF，

2

11

所以BF=4-BAÞBA+BF=8>43，

22

所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，

2a=8Þa=4，c=23Þb=a2-c2=16-12=2，

显然当B为椭圆短轴顶点即0,±2时，S△BCD的面积最大，

11

最大值为BO´CD=´2´8=8.

22

故答案为：8

x2y2

8．（2025·山东临沂·三模）已知O为坐标原点，点P为椭圆+=1上任意一点，PA，PB为圆x2+y2=2的两

94

条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△MON面积的最小值为.

2

【答案】

3

【详解】先求在圆上一点的切线方程：

22

设圆U的方程为x-a+y-b=r2，圆心为Ua,b，半径为r，

222

设Vx0,y0是圆U上的一点，则x0-a+y0-b=r，

①uuuruuur

设Wx,y是圆U在Vx0,y0处的切线方程上任意一点，则VU×VW=0，

即a-x0,b-y0×x-x0,y-y0=a-x0x-x0+b-y0y-y0=0，

2②

①-②并整理得x-ax0-a+y-by0-b=r，

2

即圆U在Vx0,y0处的切线方程为x-ax0-a+y-by0-b=r.

根据题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

22

PA是圆x+y=2的切线且切点为A，则PA的方程为x1x+y1y=2，

同理PB的方程为x2x+y2y=2，

又由PA､PB交于点P，则有x1x0+y1y0=2，x2x0+y2y0=2，

则直线AB的方程为x0x+y0y=2（1）.

要使O,M,N围成三角形，则P不是椭圆的顶点，所以x0¹0,y0¹0，

22

由（1）可得M的坐标为(，0)，N的坐标为(0,)，

x0y0

12

SVOMN=OM×ON=，

2x0y0

x2y2x2y2

又由点P是椭圆+=1上的动点（非顶点），则有0+0=1，

9494

2222

x0y0x0y01

则有1=+³2´=xy，即|x0y0|£3，

9494300

x2y21

当且仅当0=0=时，即x=±32,y=±22时等号成立，

94200

122

SVOMN=OM×ON=³，

2x0y03

2

即VOMN面积的最小值为.

3

2

故答案为：

3

x2y2æ3ö

9．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知椭圆C：+=1a>b>0的右焦点为F，点A0,3和点Pç3,÷

a2b2è2ø

在C上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P的直线l与C交于另一点B，求VABP的最大面积．

x2y2

【答案】(1)+=1；

129

9

(2)33+.

2

ì9

=1

ïb2ìb2=9x2y2

【详解】（1）由题设í，可得í，可得椭圆方程为+=1；

99a2=12

ï+=1î129

îïa24b2

33

（2）由题设，直线AP:x+2y-6=0，且|AP|=(0-3)2+(3-)2=5，

22

|23cosq+6sinq-6|

由B在椭圆上，令B(23cosq,3sinq)，则B到直线AP的距离d=，

5

113|23cosq+6sinq-6|33

所以S=|AP|×d=´5´=|43sin(q+j)-6|，其中tanj=，

VABP222543

9

所以sin(q+j)=-1时，面积最大值为33+.

2

10．（2025·海南·模拟预测）直线l过抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F，与C交于A,B两点，当线段AB中点的纵

坐标为2时，AB=6．

(1)求p；

(2)证明：直线OA,OB的斜率之积为定值，并求出该定值；

(3)设C在点A,B处的切线l1,l2相交于T点，若AF=3，求VABT的面积．

【答案】(1)p=2

(2)证明见解析

272

(3)

8

【详解】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB中点设为(x0,2)，则y1+y2=4，

æpö

由题意，抛物线C的焦点为ç0,÷，

è2ø

pp

根据抛物线的定义得AB=y++y+=y+y+p=4+p=6，所以p=2；

122212

（2）当直线l斜率不存在时，l:x=0，与抛物线只有一个交点，不符合题意.

所以直线l斜率必存在，设为y=kx+1，

ìx2=4y

2

与抛物线联立得：í，所以x-4kx-4=0，得x1x2=-4，

îy=kx+1

x2x2

121

所以直线OA,OB的斜率之积为y1y216x1x21，所以直线OA,OB的斜率之积为定值，该定值为-；

===-4

x1x2x1x2164

2

（3）由（1）知x=4y，F0,1，由题意AF=y1+1=3，所以y1=2，

-411

所以x=22或x=-22，当x=22时，x==-2，此时A(22,2)，B(-2,)，由y=x2得

11122224

1

y¢=x，

2

所以过点A的切线方程为TA:y-2=2x-22，即y=2x-2，

1221

过点B的切线方程为TB:y-=-x+2，即y=-x-，

2222

ìy=2x-2

ï2

联立í21得T(,-1)，

ïy=-x-2

î22

1

2-

22

又l的斜率k=2=，即l:y=x+1，即2x-4y-4=0，

22--244

93219

所以T到l的距离d==，因为AB=y1+y2+p=2++2=，

2+16222

1932272

所以VABT的面积为´´=；

2228

-4

当x=-22时，x==2，

12-22

111

此时A(-22,2)，B(2,)，由y=x2得y¢=x，

242

所以过点A的切线方程为TA:y-2=-2x+22，即y=-2x-2，

1221

过点B的切线方程为TB:y-=x-2，即y=x-，

2222

ìy=-2x-2

ï2

联立í21得T(-,-1)，

ïy=x-2

î22

1

2-2

又的斜率2，即，即，

lk=2=-l:y=-x+12x+4y-4=0

-22-244

93219

所以T到l的距离d==，因为AB=y1+y2+p=2++2=，

2+16222

1932272

所以VABT的面积为´´=；

2228

272

综上，VABT的面积为

8

uuuruuur

11．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知点P是圆x2+y2=25上的动点，O是坐标原点，OP=5OQ，过P垂

直于x轴的直线与过Q垂直于y轴的直线交于点M，点M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

uuuruuur

(2)A0,-1，B0,1，点D是C上一点，E在射线y=5x>0上且BD=BE，BD×BE=0，求VADE的面积.

x2

【答案】(1)+y2=1

25

292

(2)

25

【详解】（1）设点Mx,y，则x=xp，y=yQ.

uuur

OP=5OQÞyp=5yQ，所以Px,5y.

2

P在圆x2+y2=25上，得x2+5y=25，

x2

C的方程是+y2=1.

25

（2）设Dm,n，Et,5t>0，

ìm2+25n2=25,①

ï

ï222

则ím+n-1=t+16,②

ïmt+4n-1=0,③

îï

由、式联立，解得：m2=16，由题意m>0，\m=4，

ì3ì3

②③n=,n=-,

ï5ï5

解得：í或í

28

ït=ït=,

îï5îï5

6

æ3öæ2öAE:y=x-1=15x-1

\当Dç4,÷，Eç,5÷时，2，

è5øè5ø

5

3

15´4--122

D到AE的距离为5292，AE=1+225-0=226，

=55

1+2255226

12292292

故S=´´=，

VADE25525

æ3öæ8ö292

当Dç4,-÷，Eç,5÷时，同理可得SADE=.

è5øè5øV25

292

故所求面积为.

25

12．（24-25高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(2,0)，动点P与A,B两点连线斜率乘积为

1

-．

2

(1)记动点P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程；

(2)过点E(1,0)的直线l与曲线C交于M,N两点，且△NOE的面积是△MBE的面积的2倍，求直线l的斜率．

x2y2

【答案】(1)+=1x¹±2

42

3030

(2)或-

66

yy

【详解】（1）设P(x,y)，则k=,k=，

PAx+2PBx-2

yy1x2y2

由kPA×kPB=×=-得，+=1x¹±2，

x+2x-2242

x2y2

所以曲线C的方程为+=1x¹±2.

42

（2）

由题意得直线l的斜率不为0，设l:x=my+1，Mx1,y1,Nx2,y2，

ìx=my+1

ï22

由íx2y2得，m+2y+2my-3=0，

ï+=1

î42

2m3

所以y+y=-,yy=-，

12m2+212m2+2

因为△NOE的面积是△MBE的面积的2倍，

11

所以OE×y=2×EB×y，

2221

因为OE=EB=1，所以y2=2y1，

由题意得，y1,y2符号相反，故y2=-2y1，

2m3

所以y+y=-y=-,yy=-2y2=-，

121m2+2121m2+2

2m236

所以æö，解得，

2´ç2÷=2m=±

èm+2øm+25

3030

所以直线l的斜率为或-.

66

æ3öx2y2

13．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知A23,0和B3,为椭圆上两点．

ç÷C:2+2=1(a>b>0)

è2øab

(1)求C的方程；

(2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线AP交y轴于点Q，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，若VF1PQ的面积是

△F2PA面积的3倍，求直线PQ的方程．

x2y2

【答案】(1)+=1；

129

3

(2)y=±x-23.

2

ìa=23

ïìb2=9

【详解】（1）由题意得í9，解得í，

9a2=12

ï+4=1î

îïa2b2

x2y2

所以C的方程为+=1．

129

（2）由题意得，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx-23，

ìx2y2

ï+=1

联立方程组í129，消去y整理得(3+4k2)x2-163k2x+48k2-36=0，

ïy=kx-23

î

48k2-3683k2-63

由根与系数的关系得x×x=，所以x=，

AP3+4k2P3+4k2

æ83k2-63-123kö

所以P,，Q0,-23k，又因为F-3,0，F3,0，

ç22÷12

è3+4k3+4kø

111

所以S=´33´y，S=´3´y，S=´33´y，

VF1QA2QVF2PA2PVF1AP2P

S=S+S=3S+Sy=2y

所以△F1QA△F1PQ△F1AP△F2PA△F1AP，所以QP，

123k3

即-23k=2-，解得k=±，

3+4k22

3

所以直线PQ的方程为y=±x-23．

2

x2y26

14．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆C:+=1a>b>0的离心率为，且点A3,1在椭圆上.

a2b23

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C的左焦点为F，若T为直线x=-3上一点，过点F且与TF垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，线段PQ

的中点为M.

（ⅰ）证明：点M在直线OT上（O为原点）；

（ⅱ）求△OPQ的面积的最大值，以及此时点T的坐标.

x2y2

【答案】(1)+=1

62

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）面积最大值为3，点T的坐标-3,±1.

c6622212

【详解】（1）由题知=，c=a，b=a-c=a，

a333

2∴∴

312

又+=1，a=6，b=2，

a2b2

∴

x2y2

椭圆C的标准方程为+=1.

62

∴

（2）（ⅰ）由题可设Px1,y1，Qx2,y2，PQ的中点为Mx0,y0，

若直线PQ的斜率为0，不存在满足TF^PQ的点T，故设PQ的方程为x=my-2，

代入椭圆方程得m2+3y2-4my-2=0，

4m-22m6

则y+y=，y×y=，y=，x=-

12m2+312m2+30m2+30m2+3

TF的方程为y-0=-mx+2，令x=-3，得y=m，

∵y0m

kOM==-=kOT，OT过PQ的中点，即点M在直线OT上.

x03

（∴ⅱ）由（ⅰ）可得，∴

222

116m+8m+324m+126m2+1

S=OFy-y===.

VOPQ212m2+3m2+3m2+3

m2+1m2+11

==

222，

m+3m+1+2m2+1+

m2+1

∵

22

22m+11m+1

而m+1+³22，£，26£3，

m2+1m2+322m2+3

当且仅当m2+1=2，即m=±1时等号成立.

S△OPQ£3，当且仅当m=±1时等号成立.

∴

△OPQ的面积最大值为3，及此时点T的坐标-3,±1.

∴

考点二四边形的面积问题

x2

1．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系xOy中，点P是双曲线-y2=1上任意一点，过点P所作的

3

两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为A,B，则四边形OAPB的面积（）

A．为定值3B．最大值为3

33

C．为定值D．最大值为

22

【答案】C

m2

【详解】设点Pm,n，则-n2=1，即m2-2=n33，

3

33

则直线OA:y=x，所以直线PA:y-n=-x-m，

33

ì3ì13

ïy=xïx=m+n

ï3ï22

联立í，解得í，

331

ïy-n=-x-mïy=m+n

îï3îï62

æ1331ö

所以Açm+n,m+n÷，

è2262ø

222

æ13öæ31öæ3ö

，

\OA=çm+n÷+çm+n÷=çm+n÷

è22øè62øè3ø

m-3n

点P到直线OA的距离为d=，

2

2