2026秋高三数学复习 二项分布、超几何分布、正态分布(解析版)

二项分布、超几何分布、正态分布专项训练

考点目录

二项分布超几何分布

正态分布

考点一二项分布

1．（24-25高二下·广东云浮·期末）假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布N500,52

（单位：g），该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于500g的概率为

（）．

3131

A．B．C．D．

8448

【答案】A

【详解】每包食盐的质量不低于500g的概率为1，抽取了四包食盐，

2

æ1ö

则四包食盐质量不低于500g的包数服从二项分布Bç4,÷，

è2ø

12123

所以恰有两包食盐的质量不低于500g的概率为2æöæö．

C4ç÷ç1-÷=

è2øè2ø8

故选：A

2．（24-25高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩X~N95,152，

若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名

学生的成绩均在65分以上的概率为（）（参考数据：P(m-s<X£m+s)=0.68,P(m-2s<X£m+2s)=0.95）

A．0.6810B．0.9510C．0.97510D．0.8410

【答案】C

【详解】由X:N(95,152)知P(65<X£125)=0.95，

则P(65<X£95)=0.475，

P(X>65)=0.475+0.5=0.975，

可知10名学生的成绩在65分以上的人数Y~B10,0.975，

所以PY=10=0.97510，

故选：C．

3．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的

13

概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点1的距离不

44

大于一个单位的概率为（）

501713517

A．B．C．D．

24351251281

【答案】C

【详解】由题意，设质点向右移动k次，向左移动5-k次.

最终位置为：x=k+5-k´-1=2k-5，

∴|x-1|£1，解得：0£x£2，

57

∴0£2k-5£2，解得：£k£，

22

∴k为正整数，

∵k=3，

∴质点向右移动3次，向左移动5-k=5-3=2次，

∴该质点位与点1的距离不大于一个单位的概率为：

∴3312271135

3æöæö，

P=C5´ç÷´ç÷=10´´=

è4øè4ø6416512

故选：C.

4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上k次的概率最大，则k=（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】A

æ1ö

【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上X次，则X~Bç8,÷，

è2ø

1811

则正面朝上次的概率为kæök4，

kPX=k=C8ç÷=C8£C8

è2ø256256

所以k=4.

故选：A.

5．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，

记试验进行至事件A发生r次为止时试验进行的次数为X，称X服从负二项分布，记作X~NB(r,p)，则下列说法

正确的是（）

æ1ö4

A．若X~NBç2,÷，则P(X=3)=

è3ø27

k

æ1öæ1ö

B．若X~NBç1,÷，则PX=k=ç÷，k=1,2,3，…

è2øè2ø

r-1k-rr

C．若X~NB(r,p)，则PX=k=Ck-1p1-p，k=r，r+1，r+2，…

r-1

D．若X~NB(r,p)，则当k取不小于的最小正整数时，P(X=k)最大

p

【答案】ABD

æ1ö112214

【详解】对于A，由X~NBç2,÷，则P(X=3)=C2()()=，故A正确；

è3ø3327

æ1ö1k-1111k

对于B，由X~NBç1,÷，则PX=k=(1-)()=()，k=1,2,3，…，故B正确；

è2ø222

r-1r-1k-rr-1rk-r

对于C，因X~NB(r,p)，则PX=k=Ck-1p(1-p)p=Ck-1p(1-p)，k=r，r+1，r+2，…，故C错

误；

ìP(X=k)³P(X=k-1)

对于D，因X~NB(r,p)，P(X=k)最大时，当且仅当í成立，

îP(X=k)³P(X=k+1)

ìCr-1pr(1-p)k-r³Cr-1pr(1-p)k-r-1k-1r-1

即ík-1k-2，解得：£k£1+.

r-1rk-rr-1rk-r+1pp

îCk-1p(1-p)³Ckp(1-p)

r-1

故当k取不小于的最小正整数时，P(X=k)最大，故D正确.

p

故选：ABD.

6．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）下列说法正确的是（）

21

A．若随机变量X服从两点分布，且PX=0=，则EX=

33

B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有

9

2只测量过该指标的概率为

20

æ2ö

C．若随机变量X服从二项分布Bç8,÷，则PX=5>PX=6

è3ø

æ2ö

D．若随机变量X服从二项分布Bç8,÷，且Y=3X-1，则EY=15，DY=16

è3ø

【答案】ABD

21

【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布，且PX=0=，所以PX=1=，所以

33

211

EX=0´+1´=，所以A正确；

333

21

C3C39

对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为P=3=，所以B正确；

C620

æ2ö25231792

对于，因为随机变量服从二项分布B8,，则5æöæö，

CXç÷PX=5=C8ç÷ç1-÷=8

è3øè3øè3ø3

26221792

6æöæö，所以PX=5=PX=6，所以错误；

PX=6=C8ç÷ç1-÷=8C

è3øè3ø3

æ2ö2162116

对于D，因为随机变量X服从二项分布Bç8,÷，则EX=8´=，DX=8´´=，又Y=3X-1，所

è3ø33339

以EY=3EX-1=15,DY=9DX=16，所以D正确.

故选：ABD

2

7．（24-25高二下·福建泉州·期末）一批产品的一等品率为，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，

3

用X表示抽到的一等品的件数，若EX΢，DXÎZ，则满足条件的n的最小值为.

【答案】9

æ2ö

【详解】已知X~Bçn,÷，则

è3ø

22æ2ö2

EX=n，DX=´ç1-÷n=n，

33è3ø9

又EXÎZ，DXÎZ，

所以n是9的倍数，n的最小值为9.

故答案为：9.

8．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能

地向左或向右移动一个单位，共移动6次.该质点位于4的概率为；在该质点有且仅有一次经过点1的条

件下，共经过两次2的概率为.

33

【答案】

3220

【详解】第一空，设质点向右移动的次数为X，又质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6

æ1ö2+4+1+4

次，且每次移动是相互独立的，则X服从二项分布Bç6,÷，经分析质点位于4的位置，则右5次向左

è2ø26

1513

次，则5æö；

1PX=5=C6ç÷×=

è2ø232

第二空，设事件A=“质点有且仅有一次经过1”，事件B=“共两次经过2”，

A1=“质点仅在第1秒位于1”；A2=“质点仅在第3秒位于1"；”

A3=“质点仅在第5秒位于1”，

则A1,A2,A3两两互斥，则PA=PA1+PA2+PA3，

仅在第一秒经过1，则质点的走法：RRRLR（第六步不受影响）；RRRR（第五六步不受影响）；RLLRL（第六步不

2+4+2+43

受影响）；RLLL（第五六步不受影响），PA==，

12616

2+21

仅在第三秒经过1，则质点的走法：LRRLL（第六步不受影响）；LRRRR（第六步不受影响）PA==，

22616

仅在第五秒经过1，则质点的走法：LLRRR（第六步不受影响）；

41

LRLRR（第六步不受影响），PA==，

32616

5

则PA=PA+PA+PA=，又三种情况下，有且仅有一次经过点1的条件下，共经过两次2的情况

12316

33

有：RRRLRR，RRRRLL，LRRRRL，则PAB==.

2664

3

PAB643

则PB∣A===.

PA520

16

33

故答案为：；.

3220

9．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此

21

前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，

33

则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为．

64

【答案】

81

【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数

多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）.

此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于3的概率，即

25241231232+5´16+10´819264

æö4æö3æöæö．

ç÷+C5´ç÷´+C5´ç÷´ç÷===

è3øè3ø3è3øè3ø24324381

64

故答案为：．

81

10．（24-25高二下·吉林长春·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完

全相同．游戏规定：每位参与者进行nnÎN+次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸

球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将

球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y．

(1)若n=4，

（i）求随机变量Y的分布列和数学期望：

（ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为P1，无放回摸

球中奖概率为P2，求P1和P2并比较它们大小．

(2)若n=10，求当P(X=k)取得最大值时的k值，并说明理由．

1251337

【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii）P=，P=，P<P；

5162524212

(2)k=6，理由见解析.

【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，

k4-k

C6C4

Y可取0，1，2，3，4，P(Y=k)=4,k=0,1,2,3,4，

C10

0413223140

C6C41C6C44C6C43C6C48C6C41

P(Y=0)=4=,P(Y=1)=4=,P(Y=2)=4=,P(Y=3)=4=,P(Y=4)=4=，

C10210C1035C107C1021C1014

Y服从超几何分布，Y的分布列为：

Y01234

14381

P

2103572114

nM12

n=4,M=6,N=10，所以E(Y)==；

N5

（ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，

在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为P1，无放回摸球中奖概率为P2，

æ3ö

对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，X~Bç4,÷，

è5ø

2231

3321633216343081

则2æöæö3æöæö4æöæö，

P(X=2)=C4ç÷ç1-÷=,P(X=3)=C4ç÷ç1-÷=,P(X=4)=C4ç÷ç1-÷=

è5øè5ø625è5øè5ø625è5øè5ø625

513

故P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=，

1625

37

由（i）可知P=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=，

242

51337

因为<，所以P<P；

6254212

æ3öìP(X=k)³P(X=k+1)

（2）当n=10，则X~Bç10,÷，若P(X=k)最大，则í，

è5øîP(X=k)³P(X=k-1)

ìk10-kk+19-k

kæ3öæ2ök+1æ3öæ2ö

ïC10ç÷ç÷³C10ç÷ç÷

ïè5øè5øè5øè5ø2833

即í，得£k£，又kÎN+，

k10-kk-111-k55

ïkæ3öæ2ök-1æ3öæ2ö

ïC10ç÷ç÷³C10ç÷ç÷

îè5øè5øè5øè5ø

\k=6，即k=6时，P(X=k)取得最大值．

11．（25-26高三上·山西长治·开学考试）某公司对新产品进行测试，测试分两个环节，第一个环节通过后才能进入

第二环节测试，第一环节测试合格的概率为p0<p<1，若第一环节测试通过，则第二环节测试合格的概率为

33

；若第一环节测试不合格，则无法进第二环节，设该产品最终测试合格的概率为，且每次测试结果相互独

48

立．

(1)求p的值；

(2)若连续2次进行测试，记X为合格的次数，求X的分布列及数学期望．

1

【答案】(1)p=

2

3

(2)分布列见解析，EX=

4

【详解】（1）设事件A表示“第一环节测试合格”，事件B表示“第二环节测试合格”，事件C表示“最终测试合

格”，

3

根据题意，由条件概率公式得PC=PAB=PAPB∣A=p，

4

3331

已知PC=，则p=，故p=；

8482

3

（2）由（1）知，该产品测试合格的概率为，因连续2次测试相互独立，

8

æ3ö

故X服从二项分布，即X~Bç2,÷，

è8ø

3k52-k

由二项分布概率公式得kæöæö，

PX=k=C2ç÷ç÷k=0,1,2

è8øè8ø

3052-025

当时，0æöæö；

k=0PX=0=C2ç÷ç÷=

è8øè8ø64

3152-115

当时，1æöæö；

k=1PX=1=C2ç÷ç÷=

è8øè8ø32

3252-29

当时，2æöæö；

k=2PX=2=C2ç÷ç÷=

è8øè8ø64

X012

25159

P

643264

33

由二项分布期望公式得EX=2´=．

84

12．（24-25高三下·北京·阶段练习）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬

奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表：

男生818486868891

女生728084889297

用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（>90分）的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；

22

(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为s1，s2.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成新的男

2222

生样本，方差记为s3.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较s1、s2、s3的大小关系.（只需写出结论）

17

【答案】(1)

36

3

(2)分布列见解析，EX=

4

222

(3)s3<s1<s2

11

【详解】（1）由表格得，抽出的12名学生中，男女生各有6名，所以男女生各随机选取一人，共有C6C6=36种组

合，

设“男生成绩高于女生成绩”为事件A，则

A=81,72,81,80,84,72,84,80,86,72,86,80,86,84,86,72,86,80,86,84,

17

88,72,88,80,88,84,91,72,91,80,91,84,91,88，共有17种组合，所以PA=，

36

17

即从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率为；

36

（2）由表格知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（>90分）的有3人，

1

由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为，

4

æ1ö

因此，从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数X~Bç3,÷，X的取值范围为0,1,2,3，

è4ø

103327113227

0æöæö1æöæö，

PX=0=C3ç÷ç÷=,PX=1=C3ç÷ç÷=

è4øè4ø64è4øè4ø64

1231913301

2æöæö3æöæö，

PX=2=C3ç÷ç÷=,PX=3=C3ç÷ç÷=

è4øè4ø64è4øè4ø64

所以X的分布列为：

X0123

272791

P

64646464

13

数学期望EX=3´=；

44

222

（3）s3<s1<s2，原因如下：

81+84+86+86+88+91

男生的平均成绩为x==86，

16

222222

81-86+84-86+86-86+86-86+88-86+91-8658

则s2==»9.67，

166

72+80+84+88+92+97

女生的平均成绩为x==85.5，

26

222222

72-85.5+80-85.5+84-85.5+88-85.5+92-85.5+97-85.5395.5

则s2==»65.92，

266

从参加活动的男生中抽取成绩为87分的男生与表中男生组成新的男生样本，

81+84+86+86+88+91+87603

则x==，

377

2222222

æ603öæ603öæ603öæ603öæ603öæ603öæ603ö2884

ç81-÷+ç84-÷+ç86-÷+ç86-÷+ç88-÷+ç91-÷+ç87-÷

7777777412

s2=èøèøèøèøèøèøèø=49=»8.41

37749

，

222

所以s3<s1<s2.

1

13．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知每门大炮击中目标的概率都是，现在nnÎN*门大炮同时对某一

3

目标各射击一次.

(1)当n=4时，记目标被击中的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过99%，至少需要多少门大炮？（lg2»0.3010，lg3»0.4771）

48

【答案】(1)分布列见解析，EX=，DX=

39

(2)12门

【详解】（1）X的可能取值为0，1，2，3，4，

4

æ1öæ1ö16

由X~Bç4,÷，有PX=0=ç1-÷=，

è3øè3ø81

1133212128

1æö，2æöæö，

PX=1=C4´´ç1-÷=PX=2=C4´ç÷´ç1-÷=

3è3ø81è3øè3ø27

1318141

3æöæö，4æö，

PX=3=C4´ç÷´ç1-÷=PX=4=C4´ç÷=

è3øè3ø81è3ø81

随机变量X的分布列为：

X01234

1632881

P

8181278181

141æ1ö8

有EX=4´=，DX=4´´ç1-÷=；

333è3ø9

nn

æ1öæ2ö

（2）由目标至少被击中一次的概率为1-ç1-÷=1-ç÷，

è3øè3ø

nn

æ2öæ3ö

又由目标至少被击中一次的概率超过99%，则1-ç÷>99%，则ç÷>100，

è3øè2ø

222

所以n>log3100=»=»11.36，

2lg3-lg20.4771-0.30100.1761

所以至少需要12门大炮.

14．（25-26高三上·浙江湖州·开学考试）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮

比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．

(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望：

(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功

相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？

9

【答案】(1)分布列见解析，期望为；

5

(2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.

【详解】（1）由题意，X=0,1,2,3，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分，

321123

C41C4C63C4C61C61

所以P(X=0)=3=，P(X=1)=3=，P(X=2)=3=，P(X=3)=3=，

C1030C1010C102C106

所以X的分布列如下，

X0123

1311

P

301026

13119

所以E(X)=0´+1´+2´+3´=；

3010265

112

（2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为P=+=，

263

2

若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为Y，则Y:B(10,)，

3

22

故P(Y=k)=Ck()k(1-)10-k,k=0,1,L,10，

1033

ì2121

Ck()k()10-k³Ck+1()k+1()9-k

ï10331033

若Y=k(0<k<10,kÎN)，则í，

2121

ïCk()k()10-k³Ck-1()k-1()11-k

îï10331033

ì12

kk+1ï³

ìC10³2C10ï10-kk+11922

所以í，则í，可得£k£，即k=7

2Ck³Ck-12133

î1010ï³

îïk11-k

故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大.

15．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）工厂要对2024年12月份生产的N件产品中随机抽取3件做质量

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分析，已知其中A等品占，B等品占．

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(1)当N=10时，

求出3件产品中恰有2件A等品的概率；

①求出3件产品中A等品个数X的分布列与数学期望；

②(2)当总量N足够大，抽出的个体数量足够小时，超几何分布近似为二项分布．现在在2024年全年生产的产品范围

内考虑从NN>4件产品（A，B等品比例不变）中随机抽取3件，在超几何分布中A等品恰有2件的概率记作

P1；在二项分布中A等品恰有2件的概率记作P2．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过

0.001P1-P2£0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布．

（参考数据：578»24.04，19297»139）

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