2017-2026十年高考数学专项汇编专题14 解三角形选填题综合（四大考点28题）（教师版）

1

专题14解三角形选填题综合

（四大考点，28题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.以选择、填空小题为主，解三角形

2026天津卷、2024全国甲卷、

基础核心题型，难度偏低。

2024上海卷、2023北京卷、

2.核心考查正弦定理边角互化、比例

考点01正弦定理2023全国乙卷、2019全国Ⅰ卷、

关系、已知两边一对角求解角度与边

解三角形2019上海卷、2018浙江卷、

长。

2017山东卷、2017全国Ⅰ卷、

3.常结合三角恒等变换，注意锐角/

2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ

钝角三角形多解讨论陷阱。

1.高频必考小题，与正弦定理搭配出

题，中档难度。

2025全国二卷、2023全国乙卷、

2.核心利用余弦定理已知三边求角、

考点02余弦定理2023全国甲卷、2023上海卷、

两边夹角求第三边，结合角平分线模

解三角形2018全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ

型命题。

卷、2018北京卷、2017全国卷

3.常结合三角形面积，限定钝角条件

求解参数范围。

1.填空高频考点，多结合均值不等式

求面积最值。

1

考点03三角形的全国卷、全国S=absinC

2019Ⅱ2018Ⅰ2.核心面积公式2，角平分

面积卷、江苏卷、浙江卷

20182017线背景为特色考法。

3.常结合等腰三角形、多边形分割图

形综合计算面积。

1.创新应用题，以上海、北京卷为主，

中档偏难。

考点04解三角形2026北京卷、2024上海卷、

2.结合机械摇杆、古代海岛测量、方

及其应用2021全国乙卷

位角实际模型建模。

3.读懂几何示意图，转化为标准三角

1

形边角关系求解角度、边长范围。

考点01正弦定理解三角形

9

b2ac

A,B,Ca,b,c

1.（2024·全国甲卷·高考真题）记ABC的内角的对边分别为，若B60，4，则

sinAsinC（）

373

A．2B．2C．2D．2

【答案】C

113

sinAsinCa2c2ac

【分析】利用正弦定理得3，再利用余弦定理有4，由正弦定理得到

22

sinAsinC的值，最后代入计算即可.

941

B60,b2acsinAsinCsin2B

【详解】因为4，则由正弦定理得93.

9

b2a2c2acac

由余弦定理可得:4，

131313

a2c2acsin2Asin2CsinAsinC

即:4，根据正弦定理得412，

7

(sinAsinC)2sin2Asin2C2sinAsinC

所以4，

7

sinAsinC

因为A,C为三角形内角，则sinAsinC0，则2.

故选：C.

(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)

2.（2023·北京·高考真题）在ABC中，，则C（）

ππ2π5π

A．6B．3C．3D．6

【答案】B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2，

1

a2b2c2ab1

cosC

则a2b2c2ab，故2ab2ab2，

π

C

又0Cπ，所以3.

故选：B.

A,B,Ca,b,c

3.（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC中，内角的对边分别是，若acosBbcosAc，且

C

5，则B（）

32

A．10B．5C．10D．5

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角

形内角和定理可得A的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，

sinAcosBsinBcosAsinABsinAcosBsinBcosA

即，

B0,π

整理可得sinBcosA0，由于，故sinB0，

π

cosA0,A

据此可得2，

ππ3π

BπACπ

则2510.

故选：C.

4.（2019·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

1b

asinA－bsinB=4csinC，cosA=－4，则c=

A．6B．5C．4D．3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】详解：由已知及正弦定理可得a2b24c2，由余弦定理推论可得

1b2c2a2c24c213c1b3

cosA,,,46

42bc2bc42b4c2，故选A．

【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

5.（2017·山东·高考真题）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c．若ABC为锐角三角形，且

满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是

1

A．a2bB．b2aC．A2BD．B2A

【答案】A

【详解】sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC

所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba，选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用

两角和的正弦公式转化为含有A，，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到a2b.解答

三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

6.（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知

sinBsinA(sinCcosC)0，a=2，c=2，则C=

ππππ

A．12B．6C．4D．3

【答案】B

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，

∴cosAsinC+sinAsinC=0，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣sinA，

∴tanA=﹣1，

π

∵2＜A＜π，

3π

∴A=4，

ca

由正弦定理可得sinCsinA，

∵a=2，c=2，

2

2

csinA1

2=

∴sinC=a=22，

∵a＞c，

π

∴C=6，

1

故选B．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦

定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方

22

便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余

弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

1

cosA

7.（2026·天津·高考真题）在ABC中，BC4，AC3，4，则sinB__________．

3153

15

【答案】16/16

12115

cosAsinA1cosA1

【详解】在ABC中，4，所以164，

15

3

ACsinA315

sinB4

由正弦定理可得BC416.

ππ

BC2,A,B

8.（2024·上海·高考真题）三角形ABC中，34，则AB______

326

【答案】3

【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．

ππ5π

ABCπ,A,B,C

【详解】三角形ABC中，3412，

ππππππ26

sinCsinsincoscossin

4646464，

BCABπ

A

由正弦定理sinAsinC，BC2，3，

26

2

BCsinC326

AB4

sinA33

得2．

326

故答案为：3．

1

cosC

9.（2019·上海·高考真题）在ABC中，AC3,3sinA2sinB，且4，则AB____________

1

【答案】10

【分析】根据正弦定理求出BC，再利用余弦定理求出AB.

ACBC

【详解】由正弦定理可知：sinBsinA，又3sinA2sinB

ACsinA2

BCAC2

sinB3

1

AB2AC2BC22ACBCcosC9423210

由余弦定理可知：4

AB10

本题正确结果：10

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.

10.（2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a7，b=2，A=60°，

则sinB=___________，c=___________．

21

【答案】73

【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.

asinA2π21

sinBsin,

详解：由正弦定理得bsinB,所以737

2222

由余弦定理得abc2bccosA,74c2c,c3（负值舍去）.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和

角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

11.（2017·全国III卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，

b=6，c=3，则A=_________.

【答案】75

3

6

bcbsinC2

sinB2

【详解】由正弦定理sinBsinC，得c32，结合bc可得B45，则

A180BC75.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，

结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

1

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的

方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

12.（2017·全国II卷·高考真题）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2bcosBacosCccosA，

则B________．

【答案】3

【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.

【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和

角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

考点02余弦定理解三角形

1.（2025·全国二卷·高考真题）在ABC中，BC2，AC13，AB6，则A（）

A．45B．60C．120D．135

【答案】A

AB2AC2BC2

cosA

【分析】由余弦定理2ABAC直接计算求解即可.

1

222

AB2AC2BC261322

cosA

2ABAC2

【详解】由题意得2613，

又0A180，所以A45.

故选：A

2.（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（）

A．5B．3C．25D．5

【答案】B

AB,AD

【分析】方法一：以为基底向量表示EC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosDEC，进而根据数量积的定义运算求解.

AB,ADABAD2,ABAD0

【详解】方法一：以为基底向量，可知，

11

ECEBBCABAD,EDEAADABAD

则22，

11122

ECEDABADABADABAD143

所以224；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

E1,0,C2,2,D0,2EC1,2,ED1,2

则，可得，

所以ECED143；

方法三：由题意可得：EDEC5,CD2，

DE2CE2DC25543

cosDEC

在△CDE中，由余弦定理可得2DECE2555，

3

ECEDECEDcosDEC553

所以5.

故选：B.

，，

3.（2018·全国III卷·高考真题）ABC的内角ABC的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为

1

a2b2c2

4，则C

ππππ

A．2B．3C．4D．6

【答案】C

1

SABCabsinC

【详解】分析：利用面积公式2和余弦定理a2b2c22abcosC进行计算可得．

1a2b2c2

SABCabsinC

详解：由题可知24

所以a2b2c22absinC

由余弦定理a2b2c22abcosC

所以sinCcosC

C0,π

C

4

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

C5

cos

4.（2018·全国II卷·高考真题）在ABC中，25,BC=1,AC=5，则AB=

A．42B．30C．29D．25

【答案】A

【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

C53

cosC2cos212()21,

详解：因为255

3

c2a2b22abcosC125215()32c42

所以5，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角

之间的关系，从而达到解决问题的目的.

A,B,Ca,b,c222

5.（2017·全国·高考真题）ABC的内角的对边分别为，若abbcc，则A（）

A．150B．120C．60D．30

【答案】B

【分析】根据余弦定理求解即可.

222222

【详解】由abbcc，得bcabc，

1

b2c2a2bc1

cosA

则2bc2bc2，

因为0A180，所以A120．

故选：B.

BAC60,AB2,BC6

6.（2023·全国甲卷·高考真题）在ABC中，，BAC的角平分线交BC于

D，则AD_________．

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；

方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．

【详解】

如图所示：记ABc,ACb,BCa，

方法一：由余弦定理可得，22b222bcos606，

因为b0，解得：b13，

SSS

由ABCABDACD可得，

111

2bsin602ADsin30ADbsin30

222，

3b2313

AD2

b

133

解得：2．

故答案为：2．

方法二：由余弦定理可得，22b222bcos606，因为b0，解得：b13，

6b2622

sinBsinC

由正弦定理可得，sin60sinBsinC，解得：4，2，

因为1362，所以C45，B180604575，

又BAD30，所以ADB75，即ADAB2．

1

故答案为：2．

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．

7.（2023·上海·高考真题）在ABC中，已知a4，b5，c6，则sinA__________．

7

【答案】4

【分析】先利用余弦定理求得cosA，再利用同角三角函数关系式求得sinA.

b2c2a2253616453

cosA

【详解】2bc60604，

A为ABC的内角，

97

sinA1cos2A1

164.

7

故答案为:4.

【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.

3c

(a2c2b2)

8.（2018·北京·高考真题）若ABC的面积为4,且∠C为钝角，则∠B=_________；a的取值

范围是_________.

【答案】60(2,)

B

【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tanB3，可求得3；再利用

sinCsinABfA

，将问题转化为求函数的取值范围问题.

32221

SABCacbacsinB

【详解】42，

a2c2b2sinBsinB

cosB

2ac3，即3，

sinB

3,B

cosB3，

231

sinAcosAsinA

csinC322311

则asinAsinAsinA2tanA2，

B,0A

C为钝角，36，

1

31

tanA0,,3,c

3tanA2,

，故a.

2,

故答案为3，.

【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一

个关键；根据三角形内角ABC的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含

A的表达式的最值问题是解题的第二个关键.

考点03三角形的面积

π

b6,a2c,B

A,B,Ca,b,c

1.（2019·全国II卷·高考真题）ABC的内角的对边分别为.若3，则

ABC的面积为__________.

【答案】63

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用a,c的关系、三角形面积公式计算求解，本题

属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

222

【详解】由余弦定理得bac2accosB，

1

(2c)2c222cc62

所以2，

2

即c12

解得c23,c23（舍去）

所以a2c43，

113

SacsinB432363.

ABC222

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，

关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．

A,B,Ca,b,c

2.（2018·江苏·高考真题）在ABC中，角所对的边分别为，ABC120，ABC的平分线

交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为________．

【答案】9

11

1

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件ac，再利用基本不等式即可解出．

【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式

1

SSS

由题意可知，ABCABDBCD,由角平分线定义和三角形面积公式得

11111

acsin120a1sin60c1sin601

222，化简得acac，即ac，

11c4ac4a

4ac(4ac)()5529,

因此acacac

当且仅当c2a3时取等号，则4ac的最小值为9.

故答案为：9.

［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式

ac

BDBABC

由三角形内角平分线性质得向量式acac．

22

a2c2acac

1BABC22BABC1

因为BD1，所以acac(ac)，化简得ac，即acac，亦即

(a1)(c1)1，

所以4ac4(a1)(c1)5524(a1)(c1)9，

3

a,c3

当且仅当4(a1)c1，即2时取等号．

［方法三］：解析法＋基本不等式

如图5，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设C(a,0)，

333

c

222

1313

D,,Ac,c111

2222kkca

．因为A，D，C三点共线，则ADCD，即222，则有acac，

11

1

所以ac．

下同方法一．

［方法四］：角平分线定理＋基本不等式

2π2

CDa12acosa1a2

在BDC中，3，同理ADc1c．根据内角平分线性质定理知

1

a21aa2

CDBC1aa

2

ADAB，即c1cc，两边平方，并利用比例性质得1cc2，整理得(ac)(acac)0，

当ac时，可解得ac2,4ac10．当acac时，下同方法一．

［方法五］：正弦定理＋基本不等式

AD1CD1

,

在ABD与BCD中，由正弦定理得sin60sinAsin60sinC．

abADCDADCD

在ABC中，由正弦定理得sinAsinBsin120sin60sin60．

a11a11

1

所以sinAsinAsinC，由正弦定理得aac，即acac，下同方法一．

［方法六］：相似＋基本不等式

∥AEc,DEc1

如图6，作AEBC，交BD的延长线于E．易得ABE为正三角形，则．

AEDEcc1

由ADE∽CDB，得BCBD，即a1，从而acac．下同方法一．

【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换

求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；

方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到a,c的关系，最后利用基本不等式

求出最值，关系构建过程运算量较大；

方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；

方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；

方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；

方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．

，，

3.（2018·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，，BC的对边分别为abc，已知

222

bsinCcsinB4asinBsinC，bca8，则△ABC的面积为________．

23

【答案】3.

1

1

sinA

【分析】方法一：由正弦定理可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，化简求得2，利用余弦定理，

383

cosAbc

结合题中的条件，可以得到2bccosA8，由A为锐角，求得2，3，利用三角形面积公式

即可解出.

【详解】［方法一］：【最优解】边化角

因为bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，

1

sinA222

因为sinBsinC0，所以2．又因为bca8，

由余弦定理a2b2c22bccosA，可得2bccosA8，

383

cosAbc

所以cosA0，即A为锐角，且2，从而求得3，

1183123

SbcsinA

所以ABC的面积为22323.

23

故答案为：3.

［方法二］：角化边

ca

因为bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得bcbc4absinC，即c2asinC，又sinCsinA，所以，

1

sinA222

2．又因为bca8，

由余弦定理a2b2c22bccosA，可得2bccosA8，

383

cosAbc

所以cosA0，即A为锐角，且2，从而求得3，

1183123

SbcsinA

所以ABC的面积为22323.

23

故答案为：3.

【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出sinA，再结合余弦定理求出bc，即可求出面积，该法

是本题的最优解；

方法二：利用正弦定理边化角，求出sinA，再结合余弦定理求出bc，即可求出面积．

4.（2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结

1

CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

1510

【答案】24

【详解】取BC中点E，由题意：AEBC，

BE11115

cosABCcosDBC,sinDBC1

△ABE中，AB4，∴4164，

115

S△BCDBDBCsinDBC

∴22．

1

cosABCcos2BDC2cos2BDC1

∵ABC2BDC，∴4，

1010

cosBDCcosBDC

解得4或4（舍去）．

1510

cosBDC

综上可得，△BCD面积为2，4．

【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知

量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量

与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角

形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．

5.（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计

算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，

SS

“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6，6________．

33

【答案】2

13