2017-2026十年高考数学专项汇编专题10 数列解答题综合（二）数列中的最值、放缩、不等式及新定义（学生版）

1

专题10数列解答题综合（二）

（数列中的最值、放缩、不等式及新定义）

（五大考点，38题）

考点分类十年考情（2017-2026）命题规律

1.多为解答题第二小问，难度中档，

依托等差、等比基础数列设问。

2.核心考点：前n项和最值、数列

2022全国甲卷、2021上海卷、

考点01数列中的项最值、满足条件最小/正整数n

2021新高考全国Ⅱ卷、2019北

最值问题求解。

京卷、2018全国Ⅱ卷

3.命题依托通项、求和公式，结合等

比条件综合计算，侧重不等式判断与

整数分析。

1.解答常规中档题型，参数范围为核

心设问形式。

2024上海卷、2022浙江卷、

2.核心：公差、公比、实数参数取值

考点02数列中的2022上海卷、2021浙江、2019

范围，恒成立条件转化。

取值范围问题上海、2019全国Ⅰ卷、2018江

3.常结合等差等比混合、函数融合，

苏

分离参数、分类讨论是核心解题思路。

1.数列压轴高频题型，以证明题为主，

2025天津卷、2024天津卷、区分度较高。

考点03数列与不2023新课标Ⅱ卷、2022新高考2.核心：数列放缩、和式不等式、项

等式Ⅰ/Ⅱ卷、2021天津卷、2020浙大小比较、恒成立证明。

江卷、2017浙江3.载体为等差、等比混合数列，常搭

配裂项、分组求和完成放缩证明。

2025全国一卷、2024新课标Ⅱ

考点04数列与其1.综合性压轴大题，文理/新高考

卷、2023上海卷、2019全国Ⅰ

他知识点杂糅均有出现。

卷、2017山东

1

2.融合解析几何、概率统计、函数图

像、平面几何面积等跨模块知识。

3.先根据几何/概率条件推导数列

递推，再结合数列求和、不等式综合

求解。

1.上海、北京、江苏特色压轴解答题，

难度最高，拉分核心。

2026北京卷、2024新课标Ⅰ卷、

2.核心：自定义数列、数阵、变换规

2024北京卷、2023北京卷、

考点05数列新定则、特殊数列（M数列、P数列、

2022北京、2020北京/江苏/

义连续可表数列等）。

上海、2019江苏、2018上海、

3.题型分层：先读懂定义，简单判断；

2017北京/江苏

再计数、最值；最后充要条件、存在

性证明，对逻辑推理要求极高。

考点01数列中的最值问题

2S

nn2a1

San

1.（2022·全国甲卷·高考真题）记n为数列n的前n项和．已知n．

a

(1)证明：n是等差数列；

a,a,aS

(2)若479成等比数列，求n的最小值．

{a}a0aa

2.（2021·上海·高考真题）已知数列n满足n，对任意n2，n和n1中存在一项使其为另一项与

a

n1的等差中项

a5a3a2a

（1）已知1，2，4，求3的所有可能取值；

aaa0aaaaaa

（2）已知147，2、5、8为正数，求证：2、5、8成等比数列，并求出公比q；

aaa0a1a2aaa

（3）已知数列中恰有3项为0，即rst，2rst，且1，2，求r1s1t1的最

大值.

Sa

3.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记n是公差不为0的等差数列n的前n项和，

1

aS,aaS

若35244．

aa

（1）求数列n的通项公式n；

Sa

（2）求使nn成立的n的最小值．

4.（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

S{a}a7S15

5.（2018·全国II卷·高考真题）记n为等差数列n的前n项和，已知1，3．

{a}

（1）求n的通项公式；

SS

（2）求n，并求n的最小值．

考点02数列中的取值范围问题

aa1a

1.（2022·浙江·高考真题）已知等差数列n的首项1，公差d1．记n的前n项和

SnN

为n．

S2aa60S

(1)若423，求n；

cac,a4c,a15c

(2)若对于每个nN，存在实数n，使nnn1nn2n成等比数列，求d的取值范围．

fxlogxa0,a1

2.（2024·上海·高考真题）已知函数a．

yfx4,2f2x2fx

(1)若函数的图象经过点，求解不等式；

fx1faxfx2

(2)若存在x，使得、、依次成等差数列，求a的取值范围．

aa1aS

3.（2022·上海·高考真题）已知数列n，2，n的前n项和为n.

aS3limSn

(1)若n为等比数列，2，求n；

a*Sn

(2)若n为等差数列，公差为d，对任意nN，均满足2n，求d的取值范围.

9

a

aS14S3S9

4.（2021·浙江·高考真题）已知数列n的前n项和为n，4，且n1n.

a

（1）求数列n的通项；

1

b3b(n4)a0(nN*)bTTb

（2）设数列n满足nn，记n的前n项和为n，若nn对任意nN恒成立，

求实数的取值范围.

{a}a{b}b

5.（2018·江苏·高考真题）设n是首项为1，公差为d的等差数列，n是首项为1，公比为q的等比

数列．

a0,b1,q2|ab|≤b

（1）设11，若nn1对n1,2,3,4均成立，求d的取值范围；

ab0,mN*,q(1,m2]|ab|≤bn2,3,,m1

（2）若11，证明：存在dR，使得nn1对均成立，并求

b,m,q

d的取值范围（用1表示）．

aa3S

6.（2019·上海·高考真题）已知数列n，1，前n项和为n.

aa15S

（1）若n为等差数列，且4，求n；

alimSn12

（2）若n为等比数列，且n，求公比q的取值范围.

7.（2019·全国I卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

考点03数列与不等式

abab2,ab1,ab

1.（2025·天津·高考真题）已知数列n是等差数列，n是等比数列，112233．

ab

(1)求n，n的通项公式；

*I0,1Tpabpab...pabpab|p,p,...,p,pI

(2)nN，，有n111222n1n1n1nnn12n1n，

tTtab

（i）求证：对任意实数n，均有n1n1;

T

（ii）求n所有元素之和．

ab

2.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知n为等差数列，n是公比为2的等比数列，且

ababba

223344．

ab

(1)证明：11；

kbaa,1m500

(2)求集合km1中元素个数．

1

ab

3.（2021·天津·高考真题）已知n是公差为2的等差数列，其前8项和为64．n是公比大于0的等比

b4,bb48

数列，132．

ab

（I）求n和n的通项公式；

1

cb,nN*

n2nb

（II）记n，

c2c

（i）证明n2n是等比数列；

n

akak1*

222nN

cc

（ii）证明k1k2k

b

abc1,caa,cnc(nN*)

a,b,c111nn1nn1bn

4.（2020·浙江·高考真题）已知数列nnn中，n2．

bnq0b1b26b3

（Ⅰ）若数列为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

1

bc1c2cn1*

（Ⅱ）若数列n为等差数列，且公差d0，证明：d．(nN)

xx1xxln1xnN

5.（2017·浙江·高考真题）已知数列n满足：1，nn1n1

*

证明：当nN时，

0xx

（I）n1n；

xnxn1

2xn1xn

（II）2；

11

n1xnn2

（III）22.

aSa1,Sa1

6.（2024·天津·高考真题）已知n为公比大于0的等比数列，其前n项和为n，且123．

aS

(1)求n的通项公式及n；

k,nak

bn

bb2k,ana

(2)设数列n满足n1kk1，其中kN*．

nakN*,且k1bab

（ⅰ）当k1时，求证：n1kn；

Sn

bi

（ⅱ）求i1．

an6,n为奇数

bn

a2a,n为偶数STa

7.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知n为等差数列，n，记n，n分别为数列n，

bS32T16

n的前n项和，4，3．

1

a

(1)求n的通项公式；

TS

(2)证明：当n5时，nn．

Sn1

a11,

Saa

8.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记n为数列n的前n项和，已知n是公差为3的等差数

列．

a

(1)求n的通项公式；

111

2

aaa

(2)证明：12n．

na

bn

abna3a

9.（2021·全国乙卷·高考真题）设n是首项为1的等比数列，数列n满足3．已知1，2，

9a

3成等差数列．

ab

（1）求n和n的通项公式；

S

Tn

STabn

（2）记n和n分别为n和n的前n项和．证明：2．

考点04数列与其他知识点杂糅

aa1

n1n

aa3

1.（2025·全国一卷·高考真题）已知数列n中，1，nn1n(n1).

na

(1)证明：数列n是等差数列；

f(x)axax2axm

(2)给定正整数m，设函数12m，求f(2)．

C:x2y2mm0P5,4

2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点1在C上，k为常数，

Pn2,3,...PQ

0k1．按照如下方式依次构造点n：过n1作斜率为k的直线与C的左支交于点n1，令

PQPx,y

n为n1关于y轴的对称点，记n的坐标为nn.

1

k

x,y

(1)若2，求22；

1k

xy

(2)证明：数列nn是公比为1k的等比数列；

SPPPSS

(3)设n为nn1n2的面积，证明：对任意正整数n，nn1.

1

fxlnxa,fayfx0,a

3.（2023·上海·高考真题）令，取点11过其曲线作切线交y轴于2，取点

a2,fa20,aa0a

过其作切线交y轴于3，若3则停止，以此类推，得到数列n．

alna1

(1)若正整数m2，证明mm1；

aa2

(2)若正整数m2，试比较m与m1大小；

a,aa

(3)若正整数k3，是否存在k使得12k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，

试说明理由．

4.（2019·全国I卷·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，

为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一

只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比

另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：

对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药

的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0

分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X的分布列；

p(i0,1,,8)

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，i表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药

p0p1papbpcp

比乙药更有效”的概率，则0，8，ii1ii1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，

bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．

pp

(i)证明：i1i(i0,1,2,,7)为等比数列；

pp

(ii)求4，并根据4的值解释这种试验方案的合理性．

xxx3，xx2

5.（2017·山东·高考真题）已知n是各项均为正数的等比数列，且1232

x

（Ⅰ）求数列n的通项公式；

Px,1，Px,2Px,n1PPP

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点1122n1n1得到折线12n1，

xx,xxT

求由该折线与直线y0，1n1所围成的区域的面积n.

.

海量学习资料请关注公众号：万舟学习

考点05数列新定义

Aaija1,1

1.（2026·北京·高考真题）设mn是一个m行n列的数阵，且数阵中的每一项ij，都等于

ipjq2,

1或1．若对任意1i,pm，1j,qn，其中ip，jq，且都有

aaaa0,

ijiqpjpq则称数阵A具有性质P．

(1)判断下列两个数表是否具有性质P．

1111

A1

1111

1111

A21111

1111

(2)若m5,n4，则具有性质P的数阵A中1的个数最多是多少？

a1aaa

(3)若mn6，11，且数阵A具有性质P，证明：对任意i，j{1,2,3,4,5,6}，都有iji11j．

a,a,...,a

2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列124m2是公差不为0的等差数列，若从中删去

aaij

两项i和j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

a,a,...,ai,j

124m2是可分数列．

i,ja,a,...,ai,j

(1)写出所有的，1ij6，使数列126是可分数列；

a,a,...,a2,13

(2)当m3时，证明：数列124m2是可分数列；

jija,a,...,ai,jP

(3)从1,2,...,4m2中任取两个数i和，记数列124m2是可分数列的概率为m，证明：

1

1

Pm

8．

3.（2024·北京·高考真题）已知集合

Mi,j,k,wi1,2,j3,4,k5,6,w7,8,且i为偶j数kwA:a,a,,a

．给定数列128，和序

:T,T,TTi,j,k,wMt1,2,,si,j,k,w

列12s，其中ttttt，对数列A进行如下变换：将A的第1111项均

TATAi,j,k,w

加1，其余项不变，得到的数列记作1；将1的第2222项均加1，其余项不变，得到数列记作

TTATTTAA

21；……；以此类推，得到s21，简记为．

:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7A

(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列，写出；

Aa2,a6,a4,a2,a8,a2,a4,a4

(2)是否存在序列，使得为12345678，若存在，写出一个符

合条件的；若不存在，请说明理由；

aaaaA

(3)若数列A的各项均为正整数，且1357为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”

aaaaaaaa

的充要条件为“12345678”．

a,ba,b{1,2,,m},a,b

4.（2023·北京·高考真题）已知数列nn的项数均为m(m2)，且nnnn的前

A,BAB0k0,1,2,,mrmaxi∣BA,i{0,1,2,,m}

n项和分别为nn，并规定00．对于，定义kik，

其中，maxM表示数集M中最大的数.

a2,a1,a3,b1,b3,b3r,r,r,r

(1)若123123，求0123的值；

ab2rrr,j1,2,,m1,r

(2)若11，且jj1j1，求n；

p,q,s,t0,1,2,,mABAB

(3)证明：存在，满足pq,st,使得ptqs．

{a}{b}*|ba|1

5.（2018·上海·高考真题）给定无穷数列n，若无穷数列n满足：对任意nN，都有nn，则

{b}{a}

称n与n“接近”.

1

{a}ba1*{b}{a}

(1)设n是首项为1，公比为2的等比数列，nn1，nN，判断数列n是否与n接近，并说明

理由；

{a}a1a2a4a8{b}{a}

(2)设数列n的前四项为：1，2，3，4，n是一个与n接近的数列，记集合

M{x|xb,i1,2,3,4}

i，求M中元素的个数m；

1

{a}{b}{b}{a}bbbb

(3)已知n是公差为d的等差数列，若存在数列n满足：n与n接近，且在21，32，，

bb

201200中至少有100个为正数，求d的取值范围.

6.（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

aaa,a4a4a0

（1）已知等比数列{an}满足：245321，求证:数列{an}为“M－数列”；

122

b1,

1Sbb

（2）已知数列{bn}满足:nnn1，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

cbc

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有kkk1成立，求m的

最大值．

a

7.（2020·北京·高考真题）已知n是无穷数列．给出两个性质：

a2

ia

aa,a(ij)aaam

①对于n中任意两项ij，在n中都存在一项m，使j；

a2

ak

aa(n3)aa,a(kl)na

②对于n中任意项n，在n中都存在两项kl．使得l．

an(n1,2,)a

(Ⅰ)若n，判断数列n是否满足性质①，说明理由；

a2n1(n1,2,)a

(Ⅱ)若n，判断数列n是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

aa

(Ⅲ)若n是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：n为等比数列.

Q:a,a,,a

8.（2022·北京·高考真题）已知12k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n{1,2,,m}，

a,a,a