高考数学一轮复习（培优版） 第三章　3.22　帕德近似

§3.22帕德近似重点解读1.帕德近似帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f

(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f″(x)=[f'(x)]'，f‴(x)=[f″(x)]'，f

(4)(x)=[f‴(x)]'，f

(5)(x)=[f

(4)(x)]'，…，f

(m+n)(x)=[f

(m+n-1)(x)]'.例如：求f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1，1]阶帕德近似.解由上述定义可知，f(x)在x=0处的[1，1]阶帕德近似的一般形式为R(x)=a0+a1x1+b1x，且满足f(0)=R(0)，可得a0=0.进一步，f'(x)=11+x，R'(x)=a1(1+b1x)2，再由定义可知，需满足f'(0)=R'(0)，可得a1=1，同理再由f″(0)=R″(0)⇒b1=12，于是可得到f(x2.高中常见的帕德近似公式ln(1+x)≈3x2+6xx2+6xex≈x2+6x+12x2-6xsinx≈6x6+x2，x∈(cosx≈12-5x212+x2，x∈tanx≈3x3-x2题型一利用帕德近似比较大小例1(1)已知a=e0.3，b=ln1.52+1，c=1.5，则(A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.a<c<b答案B解析利用帕德近似可得，a=e0.3≈0.32+6×0.3+120.32b=ln1.52+1≈12×=12×3.759.25+1≈1.202c=1.5=1+0.5≈1+12×0.5-18×0.=1.21875.综上，b<c<a.(2)若a=2ln1.1，b=0.21，c=tan0.21，则()A.b<c<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<c答案D解析由帕德近似公式得a=2ln1.1=2ln(1+0.1)≈2×3×0.12+6×0.10.c=tan0.21≈3×0.213-0.212=又b=0.21，∴c>b>a.思维升华对于含指数、对数、正弦、余弦、正切的比较大小问题，利用帕德近似公式求近似值，非常直接，但是要注意公式的使用条件，公式不能记错.跟踪训练1(2025·哈尔滨模拟)设a=ln1.01，b=sin0.01，c=1101，则(A.c<b<a B.c<a<bC.a<b<c D.a<c<b答案B解析a=ln1.01=ln(1+0.01)≈3×0.012+6×0.010.b=sin0.01≈6×0.016+0.012=0.066.0001c=1101≈0.00990故b>a>c.题型二帕德近似与导数的综合应用例2帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在数学计算中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f

(m+n)(0)=R(m+n)(0).其中f″(x)=[f'(x)]'，f‴(x)=[f″(x)]'，…，f

(m+n)(x)=[f

(m+n-1)(x)]'.已知f((1)求实数a，b的值；(2)设h(x)=f(x)-R(x)，证明：xh(x)≥0；(3)已知x1，x2，x3是方程lnx=λx-1x的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：x1(1)解依题意可知，f(0)=0，R(0)=a，因为f(0)=R(0)，所以a=0，此时R(x)=6因为f'(x)=1R'(x)=(18-6所以f'(0)=1，R'(0)=b，因为f'(0)=R'(0)，所以b=1.(2)证明由(1)知R(x)=3依题意，h(x)=f(x)-R(x)=ln(1+x)-3h'(x)=11+x=x4(1+x故h(x)在(-1，+∞)上单调递增，又h(0)=0，故∀x∈(-1，0)，h(x)<0，∀x∈(0，+∞)，h(x)>0，综上，∀x∈(-1，+∞)，xh(x)≥0.(3)解不妨设0<x1<x2<x3，令t(x)=lnx-λxt'(x)=1x-λ1+1x2=-λ当λ≤0时，t'(x)>0，此时t(x)单调递增，t(x)=0不存在三个不等实根；当λ>0时，令s(x)=-λx2+x-λ，其判别式Δ=1-4λ2，若Δ=1-4λ2≤0，即λ≥12，s(x)≤0即t'(x)≤0，此时t(x)单调递减，t(x)=0不存在三个不等实根；若Δ=1-4λ2>0，即0<λ<12，t'(x)=0存在两个不等正实根，设为r1，r2(r1<r2由根与系数的关系知0<r1<1<r2，当x∈(0，r1)时，t'(x)<0，t(x)单调递减，当x∈(r1，r2)时，t'(x)>0，t(x)单调递增，当x∈(r2，+∞)时，t'(x)<0，t(x)单调递减，又因为t(1)=0，且t'(1)=1-2λ>0，故t(r1)<0，t(r2)>0，因为lnx<x-1(x≠1)，所以ln1x<1x-1(x≠1即lnx>2-2x(x≠1)所以t(λ4)=lnλ4-λλ4-1λ4>2-2λ2-λ5+1λ3=所以存在x1∈(λ4，r1)，满足t(x1)=0，又因为t1x=ln1x-=-lnx+λx-1x=-t(故存在x3=1x1，满足t(x3故当且仅当0<λ<12时，lnx=λx-且满足0<x1<x2=1<x3，且x1=1由(2)可知，当x>0时，ln(1+x)>3所以lnx>3x2-3x2故lnx3=λx3-化简可得3λ<x32+4x=x1+x2+x3+3，故x1+x2+x思维升华利用帕德近似完美避开构造函数，公式容易记忆并且技巧性较弱，容易被学生理解掌握.巧妙运用高等数学知识解决初等数学知识，虽然超纲，但确实是得分的不二法门！跟踪训练2帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f

(m+n)(0)=R(m+n)(0)(注：f″(x)=[f'(x)]'，f‴(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f‴(x)]'，f

(5)(x)=[f

(4)(x)]'，f

(n)(x)为f

(n-1)(x)的导数).已知f(x(1)求实数m，n的值；(2)证明：当x≥0时，f(x)≥R(x)；(3)设a为实数，讨论函数h(x)=f(x)-ax的单调性.(1)解由f(x)=ln(2x+1)，R(x)=mx1+nx知f(0)=R(0)∵f'(x)=2f″(x)=-4R'(x)=mR″(x)=-2∴f'(0)=R'(0)，即2=m，f″(0)=R″(0)，即-4=-2mn，∴m=2，n=1.(2)证明由(1)知R(x)=2令φ(x)=f(x)-R(x)=ln(2x+1)-2xx+1(x≥则φ'(x)=22x+1-2(x∴φ(x)在[0，+∞)上单调递增，又φ(0)=f(0)-R(0)=0，∴φ(x)≥φ(0)=0，即当x≥0时，f(x)≥R(x).(3)解由题意知h(x)=f(x)-ax=ln(2x+1)-axx∴h'(x)=22x+1-a①当-a≥0，即a≤0时，∵22x∴h'(x)=22x+1-∴h(x)在-1②当-a<0，即a>0时，令h'(x)=0得x=2-a2a=1a∴当x∈-12，1a-12当x∈1a-12，+∞时∴h(x)在-12，1a-综上所述，当a≤0时，h(x)在-1当a>0时，h(x)在-12，1a-课时精练[分值：42分]一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.已知a=e0.2-1，b=ln1.2，c=16，则(A.a<c<b B.b<a<cC.b<c<a D.c<b<a答案D解析由帕德近似公式得a=e0.2-1≈0.22+6×0.2+120.b=ln1.2=ln(1+0.2)≈3×0.22+6×c=16≈0.1667，故c<b<a2.若a=sin116，b=2ln3-3ln2，c=332，A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.a<c<b答案C解析由帕德近似公式得a=sin116≈6×1166+1162b=2ln3-3ln2=ln9-ln8=ln98=ln≈3×164+6×181c=332≈1.73232≈0.054∴c<a<b.3.设a=110，b=ln1.21，c=10sin1100，A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.c>b>a答案B解析b=ln1.21=ln1.12=2ln1.1≈2×3=2×0.636.61≈0.1906c=10sin1100≈10×=10×0.066.0001=0.66.0001<0.a=110=0.1，故b>a>c4.已知a=tan12，b=47，c=2.023A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.a>c>b答案B解析a=tan12≈3×123-14=b=47≈0.5714c=2.0234e2.0234≈0.8386，∴c>b>a.5.已知a=110cos14，b=ln109，c=0.09e0.09A.c>a>b B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b答案B解析由cosx，ln(x+1)，ex的帕德近似公式：cosx≈-5x2+12x2+12，ex≈x2+6a=110cos14≈110×-5×0.25b=ln109≈3×181+6×c=0.09e0.09≈0.09×0.≈0.09848，∴b>c>a.二、解答题(共17分)6.(17分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=a0+a1x+…+amxm1+b1x+…+bnxn，且满足f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f

(m+n)(0)=R(m+n)(0).(注：f″(x)=[f'(x)]'，f‴(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f‴(x)]'，f

(5)(x)=[f

(4)(x)]'，…)(1)求实数a，b的值；(4分)(2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小；(5分)(3)定义数列{an}：a1=12，anean+1=ean-1，求证：12n≤(1)解由题意得R'(x)=a(1+bxR″(x)=-2b(a-b)(1+bx)3，f(0)=故R'(0)=a-b=1，R″(0)=-2b(a-b)=1，解得a=12，b=-(2)解由上可得R(x)=1+x21-x2=2+x2-x，要比较f(x)与R(x)只需比较1与2+x2-xe-令g(x)=2+x2-xe-x，x∈(0，g'(x)=4(2-x)2-2+x2-xe所以g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)>g(0)=1，即2+x2-x所以f(x)<R(x).(3)证明设u(x)=ex-x-1，u'(x)=ex-1，当x<0时，u'(x)<0，u(x)在(-∞，0)上单调递减，当x>0时，u'(x)>0，u(x)在(0，+∞)上单调递增，故u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时，等号成立.由题意知a1=12，anean+1=ean则ean+1=ean-1an>ean+1-ean=令m(x)=(1-x)ex，x>0，m'(x)=-xex<0，故m(x)在(0，