高考数学一轮复习（培优版） 第三章　3.8　不等式的证明方法(二)-指对放缩

§3.8不等式的证明方法(二)——指对放缩重点解读切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.题型一指对切线放缩常见的指对切线放缩例1证明下列不等式：(1)ex>2x+lnx；(2)ex-ln(x+2)>0.证明(1)方法一易知ex≥ex，要证ex>2x+lnx，可证ex>2x+lnx，设f(x)=ex-2x-lnx(x>0)，则f'(x)=(e-2)当0<x<1e-2时，f'(x)<0当x>1e-2时，f'(x)>0所以f(x)在0，1e-2上单调递减，在所以f(x)min=f1e-2=1+ln(e-2)=ln[e(e-2)]>0所以f(x)>0，即ex>2x+lnx，故原不等式得证.方法二易知lnx≤x-1，要证ex>2x+lnx，即证ex-2x-lnx>0，可证ex-2x-(x-1)>0，即证ex-3x+1>0，设f(x)=ex-3x+1(x>0)，则f'(x)=ex-3，当0<x<ln3时，f'(x)<0；当x>ln3时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，ln3)上单调递减，在(ln3，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(ln3)=4-3ln3=lne427所以f(x)>0，即ex-2x-(x-1)>0，故原不等式得证.方法三易知ex≥ex，lnx≤x要证ex>2x+lnx，可证ex≥ex>2x+xe≥2x+lnx(x>0)即证ex>2x+xe(x>0)设f(x)=ex-2x+x则f(x)=e-2-1ex即ex>2x+xe(x>0)故原不等式得证.(2)要证ex-ln(x+2)>0，即证ex>ln(x+2)，又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，令t=x+2，则ln(x+2)=lnt≤t-1=x+1，即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.思维升华当要证明的不等式中既含有ex，又含有lnx时，一般形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.跟踪训练1(1)当x>0时，证明：ex2-xlnx<xex+1e证明要证当x>0时，ex2-xlnx<xex+1只需证ex-lnx<ex+1e下证-lnx≤1即证ln1x≤令t=1x(t>0)，即证lnt≤1e显然成立，且等号成立的条件是t=e，即x=1e又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立，由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.(2)已知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-lnx-1≥0恒成立，求实数k的取值范围.解由题意知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-lnx-1≥0恒成立，即k≤xe2设f(x)=xe2x-(lnx则f(x)=e2x+lnx-(ln由ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)，易知e2x+lnx≥2x+lnx+1(当且仅当2x+lnx=0时等号成立)，所以f(x)≥2x+ln当且仅当2x+lnx=0时等号成立，所以k≤2.故实数k的取值范围为(-∞，2].题型二指对增强放缩(曲线放缩)1.与ex相关的增强放缩(1)ex≥x+1ex≥1+x+x22(x≥0)ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xn(2)ex≥exex≥ex+(x-1)2(x≥0).(3)通过变换得到的其他不等式把ex≥x+1中的x换成lnx，可得lnx≤x-1.把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex.把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤11-x(x<1把ex≥x+1中的x换成x+lnx，可得ex+lnx=xex≥x+lnx+1(朗博同构).2.与lnx相关的增强放缩(1)lnx≤x-1ln(x+1)≤xlnx≥1-1xln(x+1)=x-x22+x33-x44+…+(-1)nxn+1n+1+o(2)lnx≤xe(3)飘带不等式：2(x-1)x+1≤lnx≤1(4)通过变换得到的其他不等式把lnx≤x-1中的x换成ex，可得ex≥x+1.把lnx≤x-1中的x换成xe，可得lnx≤把lnx≤x-1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x.把ln(x+1)≤x中的x换成1n，可得ln(n+1)-lnn<把ln(x+1)≤x中的x换成-1n+1，可得ln(n+1)-lnn例2(1)证明：ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x证明由题意知x>0，因为ex≥ex+(x-1)2，所以要证ex+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x只需证ex+(x-1)2+1x≥2-lnx+x2+(e-2)x即证ln1x≤1x令t=1x(t>0)，即证lnt≤t-1，显然成立结论得证.(2)设函数f(x)=exlnx+2ex-1x，证明：f证明方法一f(x)>1等价于exlnx+由于lnx≤xe(当且仅当x=e时等号成立)所以ln1x≤1ex，即-lnx≤1ex，又ex≥ex(当且仅当x=1时等号成立)，所以exlnx+2ex≥≥ex-1e又因为等号成立的条件不一致，所以exlnx+所以f(x)>1.方法二由题意知x>0，所以f(x)>1等价于xexlnx+2ex-1>x，即xlnx>xe-x-2e设函数g(x)=xlnx(x>0)，则g'(x)=1+lnx.又当x∈0，1e时，g'(x当x∈1e，+∞时，g'(故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，从而g(x)在(0，+∞设函数h(x)=xe-x-2e(x>0)则h'(x)=e-x(1-x)，又当x∈(0，1)时，h'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，从而h(x)在(0，+∞)上的最大值为h(1)=-1e综上，当x>0时，g(x)>h(x)恒成立，即f(x)>1.思维升华在利用ex≥x+1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.跟踪训练2(1)已知函数f(x)=xlnx-ax+1.当x>0时f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为.

答案(-∞，1]解析由当x>0时，f(x)≥0恒成立，可得lnx≥a-1x恒成立又因为lnx≥1-1当a≤1时，a-1x≤1-所以lnx≥a-1x恒成立当a>1时，取x=1，则ln1≥a-11，即a≤1，综上，实数a的取值范围为(-∞，1].(2)证明：对任意x>0，不等式ex+x2-(e+1)x+ex>2成立证明因为ex≥ex，所以只需证ex+x2-(e+1)x+ex>2成立即证x2-x+ex>2成立即证x2-2x+1+x+ex-1>2成立即证(x-1)2+x+ex由基本不等式得x+ex≥2当且仅当x=e时等号成立，而2e>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，结论得证.课时精练[分值：30分]1.(13分)已知函数f(x)=lnx-xex+ax(a∈R).(1)若函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(6分)(2)证明：当a=1时，f(x)的最大值为-1.(7分)(1)解由题意知，f'(x)=1x-(ex+xex)+a=1x-(x+1)ex+a≤0在[1，+∞)所以a≤(x+1)ex-1x在[1，+∞)上恒成立令g(x)=(x+1)ex-1x(x≥1)则g'(x)=(x+2)ex+1x2所以g(x)在[1，+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a≤2e-1.故实数a的取值范围为(-∞，2e-1].(2)证明方法一当a=1时，f(x)=lnx-xex+x(x>0)，所以f(x)=lnx+x-xex=lnx+x-elnxex=lnx+x-elnx+x，因为ex≥x+1，所以elnx+x≥lnx+x+1，所以f(x)=lnx+x-elnx+x≤lnx+x-(lnx+x+1)=-1，当且仅当lnx+x=0时等号成立，所以f(x)max=-1.方法二当a=1时，f(x)=lnx-xex+x(x>0)，则f'(x)=1x-(x+1)ex=(x+1)1令m(x)=1x-ex(x>0)则m'(x)=-1x2-ex所以m(x)在(0，+∞)上单调递减.由于m12>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即ex0当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f'(x)>0；当x∈(x0，+∞)时，m(x)<0，f'(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(x0)=lnx0-x0ex0+x因为ex0=1x0，所以x0所以f(x0)=-x0-1+x0=-1，所以f(x)max=-1.2.(17分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(8分)(2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2.(9分)(1)解由条件得f'(x)=ex-1-2ax，令h(x)=ex-1-2ax，则h'(x)=ex-2a.①当2a≤1，即a≤12时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0，∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)=0，∴当a≤12②当2a>1，即a>12时，令h'(x)=0，解得x=ln2a，在[0，ln2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)<h(0)=0，即f'(x)<f'(0)=0，∴f(x)在(0，ln2a)上单调递减，∴f(x)<f(0)=0，不符合题意.综上，实数a的取值范