高考数学一轮复习（培优版） 第四章　必刷大题9　解三角形

必刷大题9解三角形[分值：65分]1.(12分)(2026·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2=2bc，2sin(C-A)=sinB.(1)求sinC；(6分)(2)设a=10，求BC边上的高.(6分)解(1)在△ABC中，∵b2+c2-a2=2bc，∴cosA=b2+c2而A为三角形内角，∴A=π4∵2sin(C-A)=sinB，∴2sinC-π整理得2(sinC-cosC)=22(cosC+sinC)，得sinC=3cosC又sin2C+cos2C=1，且sinC>0，∴sinC=310(2)由(1)得，sinC=31010，tanC=则C∈0，π2，cos∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2由正弦定理得asinA∴c=asinA×sinC=1022设BC边上的高为h，则h=c×sinB=65×255∴BC边上的高为12.2.(12分)(2025·六盘水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a-c=2bcosC.(1)求角B的大小；(5分)(2)若bsinA=3，点D是边AC上的一点，BD平分∠ABC，且BD=2，求△ABC的面积.(7分解(1)由余弦定理得2a-c=2b·a整理可得a2+c2-b2=ac，∴cosB=a2+又B∈(0，π)，∴B=π3(2)由正弦定理asinA得asinB=bsinA=3∴a=3sinB=3∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=π又BD=a=2，∴∠BDC=C=5π∴A=π-π3+∴b=3sinA=3∴S△ABC=12absin=12×2×6sin=6×22×33.(13分)(2025·南昌模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若cosB=35，且b=3，求△ABC面积的最大值；(6(2)若b2a2-c2=1+2cosA，证明：A=2(1)解因为b=3，cosB=3由余弦定理得9=a2+c2-2accosB=a2+c2-65ac≥2ac-65ac=4所以ac≤454，当且仅当a=c=3又B∈0则sinB=1-cos2B=所以△ABC的面积S=12acsinB≤12×454×即△ABC面积的最大值为92(2)证明由b2a2-c2cosA=b2+因为在锐角△ABC中，cosA≠0，所以bc=a2-c2=b2-2bccosA，即c=b-2ccosA，由正弦定理得sinC=sinB-2sinCcosA=sin(A+C)-2sinCcosA=sin(A-C)，因为A，C都是锐角，所以C=A-C，A=2C.4.(13分)(2025·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB+sinC=2sinAcosB.(1)证明：a2-b2=bc；(5分)(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？(8分)(1)证明sinB+sinC=2sinAcosB，由正弦定理可得b+c=2acosB，又cosB=a∴b+c=a∴bc+c2=a2+c2-b2，∴a2-b2=bc.(2)解由(1)知b+c=2acos∠CBA，∴cos∠CBA=b+c在△BCD中，BC=a，BD=1，∴cos∠CBD=a又∵cos∠CBD=cos(π-∠CBA)=-cos∠CBA，∴-b+32∴-b-3=1+a2-CD2，∴CD2=4+a2+b，又∵a2-b2=bc，c=3，∴CD2=4+b2+3b+b=b2+4b+4=(b+2)2，∵CD>0，∴CD=b+2，∴CD-CA=b+2-b=2.综上所述，CD-CA为定值2.5.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，且3ccosA+csinA-3b=0.(1)求C；(5分)(2)若△ABC的面积为32，角C的平分线CD交边AB于点D，求CD的长；(4(3)若△ABC为锐角三角形，E为边AC的中点，求BE的取值范围.(6分)解(1)∵3ccosA+csinA-3b=0，∴3sinCcosA+sinCsinA-3sinB=0，∴3sinCcosA+sinCsinA-3sin(A+C)=0，∴3sinCcosA+sinCsinA-3sinAcosC-3sinCcosA=0，∴sinCsinA-3sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴sinC-3cosC=0，∴tanC=3∵0<C<π，∴C=π3(2)∵S△ABC=12absinC=12×a×2×3∴a=3∵S△ABC=S△ACD+S△BCD=12b·CD·sinπ6+12a·CD=12(2+3)·CD·12∴CD=12-63.(3)在△BCE中，由余弦定理得，BE2=a2+12b2-