高考数学一轮复习（培优版） 第五章　必刷小题10　平面向量与复数

必刷小题10平面向量与复数[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·沈阳模拟)若a+2i=(1-i)(1+bi)(a，b∈R，i为虚数单位)，则复数a-bi在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析∵a+2i=(1-i)(1+bi)=(1+b)+(b-1)i，∴a=1+b∴复数a-bi在复平面内对应的点(4，-3)所在的象限为第四象限.2.(2025·佛山模拟)如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上靠近A的三等分点，则BE等于()A.-56AB+16AC B.C.-56AC+16AB D.答案A解析由题意得BE=AE-AB=13AD-AB=13×12(AB+AC)-3.(2026·泰州模拟)已知向量AB=(x，2)，BC=(2，1).若AB∥BC，则|AC|等于(A.4 B.25 C.5 D.35答案D解析因为AB=(x，2)，BC=(2，1)且AB∥所以x=4，则AB=(4，2)，所以AC=AB+BC=(4，2)+(2，1)=(6，3)，则|AC|=62+34.(2025·绵阳模拟)已知单位向量a，b的夹角为60°，AB=a+b，OB=a-λb，OA⊥OB(O，A不重合)，则λ的值为A.-12 B.0 C.12 D答案C解析由AB=a+b，OB=a-λb得OA=OB-AB=(a-λb)-(a+b)=(-λ-1)b，b·a=1×1×12=由OA⊥OB可得OA·OB=0⇒(-λ-1)b·(a-λb)所以(-λ-1)b·a+λ(λ+1)b2=0⇒12(-λ-1)+λ(λ+1)=λ-12(λ+1)=0⇒λ=-1由于O，A不重合，所以-λ-1≠0，即λ≠-1，故λ=125.(2025·合肥模拟)已知菱形ABCD的边长为4，点M是线段CD的中点，BN=2NC，则AN·(BM-BN)等于(A.-409 B.409 C.-209答案A解析∵AN·(BM-BN)=ANAN=AB+BN=AB+2NM=NC+CM=13BC+12CD∴AN·NM=AB+23BC·13BC-126.(2026·静海模拟)一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知AB=6分米，FG=3分米，点P在正方形ABCD的四条边上运动，当AE·AP取得最大值时，AE与AP夹角的余弦值为A.55 B.255 C.10答案B解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，E32，92，C(则AE=32，92，AC=|AE|=3102，|AC设AE与AP的夹角为θ，则AE·AP=|AE||AP|cos由投影的概念可得，当P与C重合时，|AP|cosθ取得最大值，此时cosθ=AE·AC|AE||7.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB.当x=-12时，y的取值范围是(A.(0，+∞) B.1C.12，+答案B解析如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB由向量加法的平行四边形法则，OP为两邻边落在OA的反向延长线与OB上的平行四边形的对角线，∴当x=-12时，OC=-12OA，过点C作OB的平行线，分别交OM，AB的延长线于点D，E，要使点P落在指定区域内，则点此时CD=12OB，CE=32∴y的取值范围为128.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·OA+S2·OB+S3·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则cos∠ACB等于()A.31010 B.1010 C.2答案B解析延长CO交AB于点P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，∴S1∶S2=12·=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)=tan∠COB∶tan∠COA=tan(π-∠BAC)∶tan(π-∠ABC)=tan∠BAC∶tan∠ABC.同理可得S1∶S3=tan∠BAC∶tan∠ACB，∴S1∶S2∶S3=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.又S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，∴tan∠BAC·OA+tan∠ABC·OB+tan∠ACB·OC=0.又OA+2OB+3OC=0，∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.不妨设tan∠BAC=k，tan∠ABC=2k，tan∠ACB=3k，其中k≠0.∵tan∠BAC=-tan(∠ABC+∠ACB)=-tan∠∴k=-2解得k=±1.当k=-1时，此时tan∠BAC<0，tan∠ABC<0，tan∠ACB<0，则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不符合题意，舍去；当k=1时，tan∠ACB=3>0，故∠ACB为锐角，∴sin∠解得cos∠ACB=1010二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·常州模拟)已知向量a=(1，0)，b=(2，2)，则下列结论正确的是()A.(4a-b)⊥b B.|b|=2C.a与b的夹角为45° D.a+2b=(5，4)答案ACD解析对于A，因为a=(1，0)，b=(2，2)，所以4a-b=(2，-2)，则(4a-b)·b=2×2-2×2=0，所以(4a-b)⊥b，故选项A正确；对于B，由b=(2，2)，可得|b|=22+22=2对于C，a·b=1×2+0×2=2，|a|=1，|b|=22，设a与b的夹角为θ所以cosθ=a·b|a因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°，故选项C正确；对于D，a+2b=(1，0)+2(2，2)=(5，4)，故选项D正确.10.(2025·沈阳模拟)对于∀z1，z2∈C，下列说法正确的有()A.若z1=z1，则z1B.若z2+z2=0，则z2C.z1·z1=|z1|D.(z1+z2)2=|z1+z2|2答案AC解析z1=z1，则z1，z1的虚部为0，故z1∈R当z2=z2=0时，z2+z2=0成立，而z2不是纯虚数，故令z1=a+bi且a，b∈R，则z1=a-bi则z1·z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z1令z1=a+bi且a，b∈R，z2=m+ni且m，n∈R，则(z1+z2)2=[(a+m)+(b+n)i]2=(a+m)2-(b+n)2+2(a+m)(b+n)i可能为虚数，而|z1+z2|2为实数，故D错误.11.(2026·重庆南岸区模拟)在△ABC中，AC=3，AB=2，cosA=13，点D，E分别是边AB和BC的中点，且AE，CD交于点O.设向量AB=a，AC=b，则A.AO=16a+2B.S△AOB=S△BOCC.向量b在向量a方向上的投影向量为12D.cos∠DOE=-2答案BCD解析因为点O为中线的交点，E是边BC的中点，所以AO=23AE=23×12(a+b)=13(a+b设AC的中点为F，则S△AOB=S△ABF-SAOF，S△BOC=S△CBF-SCOF，因为S△CBF=S△ABF，SAOF=SCOF，所以S△AOB=S△BOC，故B正确；向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cosA·a|a|=3×13×a2=1CO=AO-AC=13(a+b)-b=13a-2则OC=23b-13又OA=-13(a+b)所以cos∠DOE=cos∠AOC=OA·OC|OA||OC|=-1三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2026·新乡模拟)设z=2+4i1-3i，则z=答案-1-i解析z=2+4i1-3i==-10+10i10=-1+i故z=-1-i.13.(2025·重庆模拟)已知向量a与b的夹角为3π4，且|a|=2|b|，则b-2a在a上的投影向量为答案-52解析由向量a与b的夹角为3π4，且|a|=2|b得a·b=|a||b|cos3π4=2|b|2·=-|b|2，则(b-2a)·a=a·b-2a2=-|b|2-4|b|2=-5|b|2，所以b-2a在a上的投影向量为b-2a·a|14.(2025·南京模拟)在面积为62的△ABC中，AB·AC=23，若点M是AB的中点，点N满足AN=2NC，答案833解析由△ABC