2026年青岛市中考数学试题（含答案及解析）

2026年青岛市初中学业水平考试数学试题(考试时间:120分钟满分:120分)说明：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题.第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第Ⅰ卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．的绝对值为A．B．C． D．2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ABCD3．如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是 ABCD4．我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了科学基础．“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记数法表示为A．B．C． D．5．下列计算正确的是A． B．C． D．6．为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育活动．甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示．甲、乙两名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为和，方差分别记为和．下列结论正确的是（第6题）（第7题）（第9题）A．B．C． D．7．如图，是⊙O的直径，，，是⊙O上的三点，，则的度数为A．B．C． D．8．张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为A． B．C． D．9．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点．若，则的长为A．B．C． D．第Ⅱ卷（共93分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10．计算：__________．11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，则点的坐标为__________．12．若二次函数的图象与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________．13．如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________．（第13题）（第14题）14．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）．15．我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16．已知：如图，．求作：，使，点，分别在边，上，且点到边，的距离相等．四、解答题（本大题共9小题，共71分）17．（本题每小题4分，共8分）（1）解不等式组：（2）计算：．18．（本小题满分6分）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：盒中装有2个白球和1个红球，盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从盒中随机摸出一个球，小颖从盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平．19．（本小题满分6分）为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了收集、整理和描述．所抽取学生在阅览室的一周阅览时长（单位：小时）均不高于4小时．【收集数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下：0.6，0.8，0.9，1.0，1.2，1.2，1.3，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4，2.5，2.6，2.6，2.6，2.6，2.6，2.7，2.7，2.8，2.8，2.8，3.0，3.1，3.2，3.3，3.3，3.5，3.7，3.7，3.8，3.8．【整理数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表如下：分组A组

（）B组

（）C组

（）D组

（）人数31810【描述数据】所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图如下：所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的扇形统计图根据以上信息，解决下列问题：（1）补全频数直方图；（2）所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为__________小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的中位数为__________小时；（3）扇形统计图中，A组所对应的扇形圆心角度数为__________；（4）该校共有600名学生，请估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生人数．20．（本小题满分6分）如图是某公园的部分平面示意图，环湖观景路线由木栈道和圆弧形观景步道组成，，分别表示观景亭和喷泉．点，，在同一直线上，且点是所在圆的圆心，，米．在处测得，，在处测得，求，两点间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，，，）21．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，．（1）求点的坐标；（2）求直线与轴的交点的坐标；（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．22．（本小题满分8分）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．23．（本小题满分9分）探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考：如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列5个；如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列3个；（1）按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为__________个；探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．（2）在梯形内部能排列的小正方形个数最多为__________个；探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．（3）在五边形内部能排列的小正方形个数最多为__________个．24．（本小题满分10分）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间将近似满足二次函数关系（），部分数据见下表：产量（万件）…151820…总成本（万元）…285336360…（总利润=总销售额－总成本）（1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式；（2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？（3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？25．（本小题满分10分）如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）．解答下列问题：（1）当点在线段的垂直平分线上时，求的值；（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．2026年青岛市初中学业水平考试数学试题答案及解析（考试时间:120分钟满分:120分）说明：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25小题.第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分.2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效.第Ⅰ卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1.C【详解】解：2.D【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，选项错误，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项正确，符合题意.3.B【详解】解：由图可知，其左视图如图所示：4.C【详解】解：0.00000000002555.D【详解】解：∵∴A错误;∵∴B错误;∵3与3不能合并，3+∴C错误;∵∴D正确.6.A【分析】根据甲、乙的进球的统计图可计算出平均数，得出甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，由此即可得到答案.【详解】解：由题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度大，∴甲10次练习的数据分别为:4、5、1、3、4、3、4、4、1、5，x乙10次练习的数据分别为:3、4、3、3、3、4、2、4、3、5，x∴7.B【分析】连接BD，根据直径所对圆周角是直角得出∠ABD＝90°，进而求出∠CBD，最后利用同弧所对圆周角相等求解.【详解】解:连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝112°，∴∠CBD＝112°－90°＝22°，∵∠E与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠E＝∠CBD＝22°.8.A【分析】设哲学书单价为x元，则史学书单价为1.2x元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可.【详解】解：哲学书单价为量为∵史学书比哲学书少2本，∴9.C【分析】过H作HM⊥AD于M，延长MH交BC于N，根据正方形性质得四边形ABNM是矩形，根据矩形性质得AM＝BN，∠EMH＝∠DMH＝∠FNH＝90°，MN＝AB＝4，根据折叠性质得E＝EH，∠AEB＝∠HEB，∠ABE＝∠HBE，进而求出AEB＝∠HEB＝12∠AEH＝6∠DEH＝60°求出∠EHM＝30°，进而得EM＝12EH＝233，进一步求出HM、AM、BN、HN、MD，即可得HM＝HN，再根据∠MDH＝∠HFN，∠DMH＝∠FNH＝90°，即可证明□MDH≌□NFH（AAS），进而得MD、FN【详解】解：如图，∵△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE，∴△ABE≌△HBE，∴AE＝EH，∠AEB＝∠HEB，∠ABE＝∠HBE，∵∠DEH＝60°，∴∠AEH＝180°－∠DEH＝120°，∴∠AEB∴∠ABE＝∠HBE＝30°，∴∴2AE＝BE，∵A∴过H作HM⊥AD于M，延长MH交BC于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴HN⊥BC，∠MDH＝∠HFN，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∠EMH＝∠DMH＝∠FNH＝90°，MN＝AB＝4，∵∠DEH＝60°即∠MEH＝60°，∴∠EHM＝30°，∴∴HM∴HN∴HM＝HN＝2，又∵∠MDH＝∠HFN，∠DMH＝∠FNH＝90°，∴△MDH≌△NFH（AAS），∴MD∴∴FC的长为8-410.4【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可.【详解】-2故答案为：4【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.11.（－1，－1）【分析】根据点平移的坐标变化规律，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，计算即可得到答案.【详解】解：∵点A（－5，2）先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点A′，∴点A′的横坐标为－5+4＝－1，点A′的纵坐标为2－3＝－1，∴点A′的坐标为（－1，－1）.12.k【分析】二次函数图象与x轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到k的取值范围。【详解】解：∵二次函数y＝12x2-x+k的图象与x将化简得1－2k>0，解得k13.36【分析】根据正五边形的性质求出中心角∠DOE的度数及OD＝OE，由两组对边分别平行判定四边形ODFE为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可.【详解】解：∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∵DF∥OE，EF∥OD，∴四边形ODFE是平行四边形.∵OD＝OE， ∴四边形ODFE是菱形.∴∠14.【分析】连接OA，根据AB∥OP，∠APO＝36°，可求得∠AOB＝72°，由于□AOB与□ABP同底等高，用SAOB替换S₁ABp，阴影部分的面积就变成了求扇形AOB的面积，所以求出扇形AOB【详解】解：如图所示，连接OA.∵点A是切点，∴∠OAP＝90°，∵∠APO＝36°，∴∠AOP＝90°－36°＝54°，∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOP＝54°，∵OA＝OB，∴△AOB为等腰三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝54°，∴∠AOB∵△AOB与△ABP同底等高，∴∵半径r＝3，圆心角n＝72°，∴15.①③【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可.【详解】解:①对于点（－5，1），a＝－5，b＝1，其伴点为（－1，－5），因此①正确;②若P（a，b）和Q（－b，a）都在y＝由P（a，b）在图象上，可得ab＝6，由Q（－b，a）在图象上，可得（－b）·a＝6，即－ab＝6，联立得6＝－6，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误；③若P（a，b）和Q（－b，a）都在y＝3x+2的图象上，可得方程组∴存在这样的点P，使点P与它的“伴点”均在一次函数y＝3x+2的图象上，因此③正确；④若P（a，b）和Q（－b，a）都在y＝可得方程组{b＝2a2-3a＝2b2-3，整理得（b－a）因此可当b＝a时，代入b＝2a该方程有两个不同实根，对应两个不同的点P；当该方程判别式大于0，有两个不同实根，对应两个不同的点P，综上共有4个不同的点P满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误.综上，正确结论为①③.16.解:如图，Rt△ADE为所求.【分析】由于点D到边AB，AC的距离相等，则点D在∠CAB的平分线上，因此根据作角平分线的尺规作图的方法作出∠CAB的角平分线，交BC于点D.由于∠AED＝90°，则.DE⟂AB，，根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的方法，过点D作AB的垂线，交AB于点E，则]【详解】略17.（1）－1≤x＜42【分析】（1）分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到最终结果；（2）将分式除法转化为乘法，分解因式后约分，再通分化简得到结果.【详解】（1）解:解不等式①得:x≥－1，解不等式②得，x＜4;所以不等式组的解集为－1≤x＜4.（＝＝＝＝18.解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2.列表如下：白1白2红1白3（白1，白3）（白2，白3）（红1，白3）红2（白1，红2）（白2，红2）（红1，红2）可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种.∴小颖获胜的概率为∵两人获胜的概率相等，∴这个游戏公平.【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【详解】略.19.（1）补全频数直方图如图所示，（2）2.6;2.55;（3）27°（4）估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生有420人【分析】（1）先根据D组人数与占比算出样本总人数，再求出B组的人数频数补全直方图即可；（2）根据全部数据以及样本总人数，找出出现最多的数据得到众数，取排序后第20、21位数据平均值得到中位数；（3）求出A组占样本总人数的比例，乘360°即可求出圆心角的度数；（4）先计算出本次抽样调查中阅览时长不低于2小时人数，再根据用样本估计总体即可得出答案.【详解】（1）解:∵D组共10人，扇形图D组占25%，∴本次抽样调查的总人数为:10÷25%＝40（人），∴B组的人数为:a＝40－3－18－10＝9，补全频数直方图略；（2）解：根据抽取学生的一周阅览时长数据，本次抽样调查的总人数为40人，2.6出现次数最多共5次，所以众数为2.6，中位数是第（3）解:∵A组共3人，∴（4）解：本次抽样调查中阅览时长不低于2小时人数，即C组和D组的人数和：18+10＝28（人），估计该校一周阅览时长不低于答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时的学生有420人.20.20.4米【分析】在Rt△ABE中，利用∠BAC＝53°的三角函数值求出AE、BE长，再利用圆的定义求出CE长，进而求出AC长，在Rt□ACD中，利用CD＝AC·tan∠CAD进行求解即可.【详解】解:∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝50米.∵点E是BC所在圆的圆心，∴CE＝BE＝40米，∴AC＝AE+EC＝30+40＝70米，∵∠ACD＝90°，在Rt□ACD中，∠CAD＝16°，∴答：C，D两点间的距离为20.4米.21.（1）B（4，1）23【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出OC、OA的长度，再根据矩形坐标特点写出点B坐标；（2）由（1）得到点A₁的坐标，将A₁、B两点坐标代入.y2＝ax+b，解二元一次方程组求出a，b，再令y＝0求得直线与x轴交点（3）不等式0＜y2＜y1代表在x>0范围内，一次函数图像位于x轴上方且在反比例函数图像下方，结合点【详解】（1）解：由旋转得OC∵C∴CO+O∴OC1+OA∵∴2OC1+3∴OC∵四边形OABC是矩形，∴AB∴B（4，1）;（2）解:由（1）得O∴把∴令∴（3）解:∵0∴x应取y轴正半轴上y₁的图象在y₂上方的部分，∴22.（1）证明:∵点F为线段BC中点，∴BF＝CF，∵EC∥BG，∴∠ECF＝∠GBF，又∵∠CFE＝∠BFG，在□BFG和CFE中，∴□BFG≌□CFE（ASA）.（2）四边形BGCE为正方形，证明:∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BE、CE分别平分. ，∴∠EBC＝∠B＝45°，∴∠BEC＝90°，即VBEC为等腰直角三角形，∴BE＝CE，由（1）得△B，∴BG＝CE，又∵BG∥EC，∴四边形BGCE是平行四边形，又∵∠BEC＝90°，∴四边形BGCE为矩形，又∵BE＝CE，∴四边形BGCE为正方形.【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可.（2）当∠A＝90°时结合四边形ABCD为平行四边形，可得到四边形ABCD为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到0°，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明.【详解】（1）略（2）略23.（1）8（2）18（3）17【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数；（2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和；（3）把五边形ABCJK分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数.【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列5个，第二层最多排列3个，如图，排列第三层时，AM＝AB－MB＝4－3.6＝0.4，∴VAMN∽VABC，∴∴MN＝1，∵1＜1.2，∴第三层无法排列完整的小正方形，∵5+3＝8，∴在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为8个；（2）解:∵2.4÷1.2＝2，∴以10为宽度能排列两排，∵10÷1.2∴第一层最多排列8个，第二层最多排列8个，如图，排列第三层时AE＝AB－EB＝4－2.4＝1.6，AF＝AE－EF＝1.6－1.2＝0.4，∴四边形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝10，∵FG∥ED，∵△AFG△∩AED，∴∴FG＝2.5，∵∴第三层最多排列2个，∵AF＝0.4＜1.2，∴第四层最多排列0个，∵8+8+2＝18，∴在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为18个；（3）解:如图，∴四边形ABOK和DOCJ是矩形，∴KO＝AB＝4，BO＝AK＝3.6，DJ＝OC＝BC－BO＝10－3.6＝6.4，DO＝CJ＝1.2，∴KD∵∴在矩形ABOK中最多放置三列，每列最多放3个，∵3×3＝9，∴在矩形ABOK中最多可排列9个，由（2）的第一层一共可放置8个，∵8－3＝5，∴在梯形JCOK中，第一层最多排列5个，∵EF∥DJ，∴△KEF∽△KDJ∴∴∵∴在梯形JCOK中，第二层最多排列3个，∵KM＝KE－ME＝1.6－1.2＝0.4，MN∥EF，.△KMN∽△KEF，∴∴∵∴在梯形JCOK中，第三层无法排列完整的小正方形，∵5+3＝8，∴在梯形JCOK中最多可排列8个，∵9+8＝17，∴在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多为17个.24.（2）生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元（3）m的最小值是24【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数b、c即可得到函数解析式；（2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函