吉林省长春市榆树市第一高级中学2025-2026学年高一上学期期中数学试卷（含解析）

吉林省榆树市第一高级中学校2025-2026学年高一上学期期中数学试卷一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（

）A．6 B．7 C．14 D．153．命题“，使得”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，4．如果，，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．6．已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．的解集为7．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是A． B． C． D．8．已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列函数中为偶函数且在上单调递增的是（

）A． B． C． D．10．下列关于幂函数的描述中，正确的是（

）A．幂函数的图象经过第一象限B．幂函数的图象都经过点C．当时，幂函数在上单调递增D．幂函数的定义域为11．“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．三、填空题12．若，则a的值是___．13．函数的定义域为______．14．函数是上的减函数，则的取值范围是_____________.四、解答题15．已知集合，全集为实数集.(1)求；(2)求.16．（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.17．已知关于的方程（其中m，p，q均为实数）有两个不等实根.(1)若，求的取值范围；(2)若满足，且，求的取值范围．18．已知幂函数在上为减函数.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.19．已知，.(1)当时，用单调性定义证明函数的单调性，并求出函数的最小值；(2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围；

1．A【详解】因为，所以，故选:A.2．A【详解】因为，所以集合的元素个数为，因此集合的所有非空真子集的个数是，故选：A3．A【详解】解：因为命题“，使得”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，，故选：A4．D【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，显然，，所以最大，由可得，，所以，即可得.故选：D5．C【详解】当时，，因为函数是定义在上的偶函数，所以，故选：C6．D【详解】根据题意,可以知道,的两根为.由根与系数的关系得到：.因为开口向下,则,故A正确.,故B正确.且,对称轴为,,故C正确.,两边同时除以,得到,解得,故D错误.故选:D.7．D【详解】由得：，即，

，（当且仅当，即时取等号）（当且仅当时取等号）本题正确选项：8．C【详解】由题意，不妨设，则由可得，，，即当时，恒有成立，故在单调递减；的图象关于点对称，则是奇函数，所以在单调递减；由函数的定义域为，则，又，则，作出函数大致图象，不等式等价于或，①由方程，得，或或或，解得或或或.②由不等式可化为，或，即，或，解得，或，综上可知，，或.故选：C.9．AB【详解】对于A，满足偶函数定义，利用二次函数性质可得其在上单调递增，故A正确；对于B，易知，即满足偶函数定义，且当时，为单调递增，即B正确；对于C，显然的定义域为，不关于原点对称，因此C错误；对于D，易知的定义域为，且满足，即是奇函数，故D错误；故选：AB10．AB【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确；因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确；当时，函数定义域为，选项C、D错误；故选：AB．11．CD【详解】不等式在上恒成立，则，解得，选项中满足是集合真子集的是CD.所以所求充分不必要条件是CD.故选：CD12．【详解】由于，所以或，解得或.当时，不满足集合元素的互异性；当时，集合为，符合题意.所以的值为.故答案为：13．【详解】由，解得，故函数的定义域为．故答案为：．14．【详解】是上的减函数，，解得，故的取值范围是.故答案为：.15．(1)；(2).【详解】（1）由，所以.（2）由题设，或或，所以.16．（1）（2）【详解】（1）∵，且，∴，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为；（2）∵，则，∴，当且仅当即时等号成立.∴的最大值.17．(1)(2)【详解】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根，若方程有两个不等的实数解，则，解得且，所以的范围是.（2），方程为，，则，又，即∴，即，所以，∴．所以的取值范围为．18．(1)(2)奇函数，其单调减区间为，【详解】（1）由题意得，，解得或，经检验当时，函数在区间上无意义，所以，则.（2），要使函数有意义，则，即定义域为，其关于原点对称.，该幂函数为奇函数.当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，函数是奇函数，在上也为减函数，故其单调减区间为，.19．(1)证明：