广东茂名市高州市十二校联考2025-2026学年度第二学期 九年级数学质检练习(二)

广东茂名市高州市十二校联考2025-2026学年度第二学期九年级数学质检练习(二)1．下列实数117，39，12，16，2.101001000A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．点M−3,2A．（－3，－2） B．（3，－2）C．（3，2） D．（－3，2）3．下列计算正确的是（）A．a−b2=a2−b2 B．4．如图所示，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（）A．70° B．50° C．40° D．35°5．与2+15A．4 B．5 C．6 D．76．如图，某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）A．400度 B．300度 C．200度 D．100度7．分式方程x−2026x+3A．x=−3 B．x=3 C．x=2026 D．x=−20268．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点A为劣弧CD的中点，连接AD,OD,OC,BC．若∠ADO=50°，则∠ABC的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．如图，在菱形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，连结BD．若BD=24，AD=13，则CE的长为()A．6013 B．12013 C．10 10．如图，直线y=x+1和直线y=mx+n交于点a,2，则关于x的不等式0<x+1≤mx+n的解集为（）A．−1<x≤1 B．0<x≤1 C．−1<x≤2 D．1<x≤211．分解因式：3a2﹣12=．12．函数y=2x−3中自变量x的取值范围是13．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE:S△DOB14．小明在解关于x的不等式组−12x−2<−1,15．如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，以点A为圆心、AD长为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心、BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和π）．16．计算：18+17．化简分式：以下是某同学化简分式x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1−x−2x+2x−2（1）上面的运算过程中第________步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．（3）当x=2−218．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.19．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？20．建筑工地上常借助定滑轮将建筑材料垂直拉起提到高处，图1为建筑材料起始位置示意图（定滑轮的半径忽略不计），绳子的末端在定滑轮A处，测得AB=6m，∠PAB=60°．水平向右拉绳子末端，当建筑材料位于图2所示位置时，在绳子末端测得滑轮P的仰角为∠D=37°．（图中所有点均在同一平面内，点B，A，D在同一直线上且直线与地面平行；参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，（1）求绳子的总长度；（2）求建筑材料上升的高度BC．21．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下：根据以上信息，得到统计数据如下：

平均数众数中位数方差（保留两位小数）第一组a431.99第二组2b21.3第三组2.854c1.61（1）求a，b，c的值；（2）观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式．22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过0,2（1）补充一个条件，求抛物线的表达式；（2）将抛物线y=ax2+bx+c向左平移m(m>0)个单位得到新的抛物线y1．当x>−1时，y1（3）当a<32时，判断y与23．问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A=30°，BC=4，求△ABC面积的最大值______．问题探究（2）如图②，点A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，求△BCD的面积最大值；问题解决（3）如图③，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=40，BC=20，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD，使∠DCP=60°，连接AD，求△ACD的面积最大值．

答案解析部分1．【答案】B【知识点】无理数的概念【解析】【解答】解：∵117是分数，16=4是整数，3912开方开不尽，是无限不循环小数，因此1π2中π是无限不循环小数，因此π∴无理数共有3个．

故答案为：B.【分析】要确定无理数的个数，依据无理数的定义——无限不循环小数是无理数，对给出的所有实数逐一进行判断，就能得到最终结果.2．【答案】C【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：M−3,2关于y轴对称的点的坐标是3,2故选：C．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.3．【答案】B【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算【解析】【解答】A、(a−b)2=a2−2ab+b2，原式展开错误，A不符合题意；

B、根据同底数幂的除法法则，a5÷a4=【分析】本题考查整式的运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方以及同类项合并的法则，逐一判断各选项的计算是否正确。4．【答案】B【知识点】垂线的概念；角平分线的概念【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠∴∠BOE=∵OD⊥OE于点O，∴∠DOE=90°∴∠AOD=故选：B．【分析】首先根据角平分线的定义计算出∠BOE的度数，再依据垂直的定义可得∠DOE=90°，最后结合平角的度数为180°，利用角度的和差关系即可求出5．【答案】C【知识点】无理数的估值；不等式的性质【解析】【解答】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜15＜4，∴5.5＜2+15＜6，∴最接近的整数是6.故答案为：C.【分析】根据估算无理数大小的方法可得3.5＜15＜4，结合不等式的性质可得2+15的范围，据此解答.6．【答案】B【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用【解析】【解答】解：设y=k将0.2,500代入，得500=k解得k=100，∴y=100将x=0.5代入y=100x，得500−200=300（度）∴近视眼镜减少的度数为300度．

故答案为：B【分析】已知反比例函数图象经过点0.2,500，先据此求出该反比例函数的解析式，再将x=0.5代入解析式，得到矫正治疗后的近视眼度数，最后作差即可计算出度数减少了多少.7．【答案】C【知识点】去分母法解分式方程【解析】【解答】解：x−2026x+3=0

∴x-2026=0，

∴x=2026

检验，当x=2026时，x+3≠0，

∴方程的解为x=2026

故答案为：C.8．【答案】B【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠ADO=50°，∴∠ADO=∠DAO=50°，∴∠AOD=180°−2×50°=80°．∵点A是CD的中点，∴∠AOC=∠AOD=80°，∴∠ABC=12【分析】先依据等边对等角的性质和三角形内角和定理，计算得到∠AOD=80°，再根据“同弧或者等弧所对的圆心角相等”，推得∠AOC=80°，最后结合圆周角定理即可求出最终结果.9．【答案】B【知识点】勾股定理；菱形的性质【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，∵菱形ABCD中，BD=24，AD=13，∴AC⊥BD,OD=12BD=12，∴AO=∴AC=2AO=10，∵CE⊥AB∴菱形的面积为AB×CE=∴CE=故选：B．【分析】连接AC交BD于点O，根据勾股定理求得OA=5，进而得AC=10，由菱形的面积公式列出算式，即可求解．10．【答案】A【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系【解析】【解答】解：∵直线y=x+1与直线y=mx+n相交于点a，∴a+1=2，解得：a=1，当y=0时，0=x+1，解得x=−1，即直线y=x+1与x轴交于−1,0，观察图象可知：关于x的不等式0<x+1≤mx+n的解集为−1<x≤1．【分析】先把已知点的坐标代入直线解析式y=x+1，计算得到参数a的数值，再确定直线y=x+1与x轴的交点坐标为−1,0，最后结合函数图象即可得到题目的答案.11．【答案】3（a+2）（a﹣2）【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．12．【答案】x≠3 【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围【解析】【解答】解：使分式有意义的条件是分母不为0，因此x−3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【分析】分式有意义的条件是分母不为零．13．【答案】1【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解：设点D到BE的高为h，∴S△DOE=1∴S△DOE∵DE∥BC，∴∠ODE=∠OCB,∠OED=∠OBC，∴△DOE∽△COB，∴DEBC故答案为：13【分析】先根据题目条件推导出OEOB=114．【答案】x≤1(答案不唯一)【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题【解析】【解答】解：解不等式(1)得：x>−2，∵这个不等式组的解集中有三个整数解，∴不等式(2)的解集可以为x≤1，∴符合条件(2)的不等式可以为x≤1，故答案为：x≤1(答案不唯一)．【分析】先求出不等式(1)的解集，再结合不等式组一共有三个整数解的条件，确定出不等式(2)需要满足的解集范围，最终推导出关于不等式(2)参数的范围.15．【答案】3【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

又∵∠A=60°，

∴∠B=180°−∠A=120°，如图所示，过点D作DG⊥AB于点G，∴∠ADG=30°，AG=12AD=1∴S平行四边形∵AD=AE=2,AB=3，∴BE=BF=1，∴S扇形∴S阴影=S平行四边形ABCD−S扇形ADE−S扇形BEF=33−2π316．【答案】解：原式=3【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值【解析】【分析】

先分别化简二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简，然后再进行加减运算即可.17．【答案】（1）③（2）解：原式=====（3）解：当x=2−2时，上式=【知识点】二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入【解析】【解答】（1）解：第③步，分子相减时，符号出错；

故答案为：③.【分析】（1）小明的计算过程到第③步时出错，具体错误为分子做减法运算时，去括号后符号处理错误；（2）按照正确的分式混合运算规则：先对括号内的部分进行通分计算，再将除法运算转换为乘法运算，最后通过约分得到最简结果；

（3）最后将x=2−2（1）解：第③步，分子相减时，符号出错；（2）解：原式=====1（3）解：当x=2−2时，上式=18．【答案】证明：连接OD，

∵BC是和⊙O相切于点B的切线

∴∠CBO=90°.

∵AD平行于OC，

∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；

∵∠ODA=∠A，

∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠CDO=∠CBO=90°．

∴DC是⊙O的切线．【知识点】切线的判定与性质【解析】【分析】连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只需要证明∠ODC=90°就可以满足切线的判定条件。结合题目给出的条件，可以证明△OCD和△OCB全等，根据全等三角形对应角相等，就能得到∠CDO=∠CBO=90°，由此就可以证明DC是⊙O的切线.19．【答案】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，3x−2y=120x+2y=200解得x=80y=60答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品70−a个，由题意得，8070−a解得，a≥30，答：至少应购买B款纪念品30个．【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用【解析】【分析】（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据“购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元”列二元一次方程组解答即可；（2）设购买B款纪念品a个，根据“总费用不超过5000元”列一元一次不等式求得a的最小整数解即可．（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，3x−2y=120x+2y=200解得x=80y=60答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品70−a个，由题意得，8070−a解得，a≥30，答：至少应购买B款纪念品30个．20．【答案】（1）解：∵AB=6，∠PAB=60°，∠PBA=90°，∴PB=AB⋅tan∴PA+PB=12+10.4=22.4(m)．答：绳子的总长度约为22.4m（2）：在Rt△PBD中，PB=63，∠D=37°∴tan∴BD≈6∴AD=BD−AB=13.9−6=7.9(m)．由题意可知，BC+PC+PA=PC+PA+AD，∴BC=AD=7.9，即建筑材料上升的高度BC为7.9m【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）在Rt△PAB中，通过解直角三角形即可得出对应结论；

（2）在Rt△PBD中，解直角三角形可以推得BD≈633（1）解：∵AB=6，∠PAB=60°，∠PBA=90°，∴PB=AB⋅tan∴PA+PB=12+10.4=22.4(m)．答：绳子的总长度约为22.4m．（2）解：在Rt△PBD中，PB=63，∠D=37°∴tan∴BD≈6∴AD=BD−AB=13.9−6=7.9(m)．由题意可知，BC+PC+PA=PC+PA+AD，∴BC=AD=7.9，即建筑材料上升的高度BC为7.9m．21．【答案】（1）解：a=2×0+3×1+1×2+6×3+8×4第二组中1分的人数最多，有8人，故b=1；根据第三组数据，中位数在第10和11人处，两个数据均为3，故c=3；则a=2.75；b=1；c=3（2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分，即将8人对应4分，6人对应3分，3人对应2分，2人对应1分，1人对应0分；要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上．【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数【解析】【分析】（1）按照平均数、中位数、众数对应的计算方法，分别计算出对应结果即可；（2）如果想要得到最大的平均数，就需要把得分尽可能分配给人数最多的类别，也就是人数最多的“柱子”对应最高分，就能让平均数最大；如果想要得到最小的方差，需要让所有数据尽可能集中，也就是把人数尽可能都放在和平均数差值最小的得分上，这样数据波动最小，方差最小.（1）解：a=2×0+3×1+1×2+6×3+8×4第二组中1分的人数最多，有8人，故b=1；根据第三组数据，中位数在第10和11人处，两个数据均为3，故c=3；则a=2.75；b=1；c=3；（2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分，即将8人对应4分，6人对应3分，3人对应2分，2人对应1分，1人对应0分；要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上．22．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过0,2和2,2两点，∴将(0,2)代入抛物线方程可得：2=a×02+b×0+c，即c=2.

将2,2和c=2代入抛物线方程可得：2=a×22+b×2+2，化简得4a+2b=0，即b=−2a，

所以抛物线的表达式为y=ax2−2ax+2，

补充条件：抛物线经过点(1,1)，

将(1,1)代入y=ax2−2ax+2，

可得：1=a×12−2a×1+2，即1=a−2a+2（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为y=ax2−2ax+2，∴对称轴为：x=−b2a=−−2a2a=1，

∵向左平移m个单位，

∴新抛物线y1的对称轴为x=1−m，

∵因为a>0，抛物线开口向上，

∴当x>1−m时，y1随x增大而增大

∵题目要求当x>−1时，y（3）解：y>x−1a．理由：由（1）得：抛物线的表达式为y=ax2−2ax+2，

∴y−x−1a

=ax2−2ax+2−x+1a

=ax2−2a+1x+2+1a

对于一元二次方程ax2−2a+1x+2+1a=0，

其判别式Δ=(2a+1)2−4a(2+1a)

=4a2+4a+1−8a−4

=4a2−4a−3

=(2a−3)(2a+1)，

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【分析】

（1）题目给出抛物线经过(0,2)与(2,2)两个点，先代入这两个点的坐标，先得到常数项c的值，同时得到二次项系数a和一次项系数b的等量关系，之后再结合额外补充的条件，就可以用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）先根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”整理得到平移后新抛物线的解析式，再结合二次函数的单调性性质，就能推导出m的取值范围；

（3）先作差，计算y减去x−1a的结果，再结合题目给出的a的取值范围，判断出差的正负，进而就能比较出y和x−（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过0,2∴将(0,2)代入抛物线方程可得：2=a×02+b×0+c将2,2和c=2代入抛物线方程可得：2=a×22+b×2+2，化简得4a+2b=0所以抛物线的表达式为y=ax补充条件：抛物线经过点(1,1)，将(1,1)代入y=ax可得：1=a×12−2a×1+2解得a=1，把a=1代入b=−2a，可得b=−2，∴抛物线的表达式为y=x（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为y=ax∴对称轴为：x=−b∵向左平移m个单位，∴新抛物线y1的对称轴为x=1−m∵因为a>0，抛物线开口向上，∴当x>1−m时，y1随x∵题目要求当x>−1时，y1随x∴1−m≤−1，解得m≥2；（3）解：y>x−1理由：由（1）得：抛物线的表达式为y=ax∴y−=a=a对于一元二次方程ax其判别式Δ==4=4a2−4a−3=(2a−3)(2a+1)，∵a<32且∴2a−3<0,2a+1>0，∴Δ<0，又∵a>0，∴二次函数y=ax2−即对于任意x，ax∴y−x−1a23．【答案】（1）8+43

（2）解：如图所示，以BC为边作等边△BCE，连接DE∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=60°，∴∠BCA=∠ECD，且DC=AC，EC=BC，∴△DCE≌△ACBSAS∴DE=AB=2，∴点D在以点E为圆心的圆上，且半径DE=2，过点E作EF⊥BC于点F，即EF是BC的垂直平分线，当点D在EF上且在点E的上方时，△BCD的面积取得最大值，∴在△BCE中，BC=CE=BE=4，∠BCE=60°，EF⊥BC，∴CF=BF=1∴EF=3CF=23∴DF=EF+DE=23∴S△BC