第五章点的运动学

Parttwo 运动学运动学是研究物体运动的几何性质的学科。研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考体。运动学研究点和刚体的运动。研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变动的规律。包括以下内容：点的运动方程点的运动轨迹速度和加速度

点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具有独立的应用意义.第五章点的运动学§5-1矢量法称“r”为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。矢径r的“矢端曲线”就是动点M的运动轨迹。选取参考系上某确定点O为坐标原点：自点O向动点M作矢量r，当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即：上式称为以矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径r

对时间的一阶导数，即：速度的大小，即速度矢v的模，表明点运动的快慢，其量纲为：

动点速度矢：沿r的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。在国际单位制中速度v的单位：

动点加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数：加速度的量纲为：点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，表征速度大小和方向的变化。国际单位制中加速度a的单位：在空间任意取一点o，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v、v’、v”…等都平行地移到点o。连接各矢量端点构成矢量端点的连续曲线，称为速度矢端曲线。见flash动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。r1r2r3v1v2v3

v1v2v3

vaa§5-2直角坐标法动点M的位置可以用r表示，也可用坐标x、y、z来表示，如图所示。矢径原点与坐标原点重合时，有：是以直角坐标表示的点的运动方程。r是时间的单值连续函数，x、y、z也是时间的单值连续函数。工程中，常遇到点在平面内运动的情形，此时点的轨迹为一平面曲线。取轨迹所在的平面为坐标平面Oxy，则点的运动方程为：消去t，得轨迹方程：f（x,y）=0例：飞机以角度=45俯冲投弹，其俯冲速度v=1000km/h，高度h=1800m，问飞机俯冲时应超前多少度投弹方能击中目标。解：炸弹的运动方程炸弹的初速度求炸弹落到地面的时间，由得可求出炸弹与目标的水平距离，比较两式得：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。得：又：同理：可得出：加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。解：(4)求点M速度矢、加速度矢的大小、方向。例：如图，直杆AB两端分别沿ox、oy运动，确定杆上一点M的运动方程和轨迹方程、速度以及加速度。(1)建立坐标系，由几何关系求出动点M的坐标，即得到点M的运动方程；(2)消去t，得到轨迹方程；(3)对点M的运动方程求一阶、二阶导数(v,a的投影)；得运动方程：x=asin

=asinωty=bcos

=bcosωt轨迹方程：大小、方向均可求解：依题意，建坐标，有：例：如图，物体M自O点以速度v0

与水平成角抛出，求M点的运动规律及轨迹。当t=0时：得：所以，有：当t=0时，有：得有：消去t得：(1)已知运动求速度、加速度，微分；(2)已知速度、加速度求运动，积分。两类问题：由已知条件求积分常数例：牵引车A自O点匀速沿水平方向开出，速度VA=0.4m/s，用绳索拉动B车，B车高于A车1.5m。求当A车驶出距离OA=2m时，B车的速度和加速度。解：于是即而：求导代入数据，再求导需建立运动方程，以B0为原点，建立坐标，由几何关系有：§5-3自然法1、弧坐标如图，动点M的坐标由弧长决定，即：称为点沿轨迹的运动方程，或弧坐标表示的运动方程。s=f(t)2、自然轴系两平面交线为主法线，单位矢量为n，指向内侧。过M与切线及主法线垂直的直线为副法线，单位矢量为b。、n、b分别为切线、主法线、副法线上的单位矢量。切线、主法线、副法线这三轴称为自然轴，这三个正交轴组成的正交坐标系称为自然坐标系。在研究曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数，表示曲线的弯曲程度。曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值，曲率的倒数称为曲率半径。 3、速度与加速度

t0速度大小为动点弧坐标对时间导数的绝对值。是代数量，加速度反映速度大小变化，切向加速度；反映速度方向变化，加速度在切向的投影，s>0，s随t增大而增大，向正向运动大于0时向正向。法向加速度。

s0,永为正，flash均在密切面内，加速度在副法线方向的分量为零（无投影）。：与法线夹角速度和切向加速度方位相同，投影同号，加速运动。0,方向沿主法线指向曲率中心。全加速度也在密切面内。flasha

为常数时，匀变速运动。V0、S0为t=0时的速度和弧坐标。除直线运动或v=0的瞬时外，法向加速度总不为0。s=f(t)小结例：小圆环在OA杆转动的带动下沿大圆环滑动，已知杆转动规律

=10t，求小圆环v、a。解：用自然坐标法，选mo为原点，有：方向切向匀速圆周运动例：小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R，已知小环的初速度为V0，在运动过程中小环的速度和加速度成定角

，且0<</2。试确定小环A的运动规律。解：得于是得运动规律：在任意瞬时有：Flash例5-6：半径r的轮子无滑动滚动(纯滚动)，=t，为常数。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘任一点的运动方程，并求该点的速度、切向和法向加速度。解：运动方程：M的速度：建如图坐标，有：速度方向：弧坐标表示的运动方程：求加速度：全加速度大小：切向加速度：法向加速度：由：知

纯滚动时，接触点速度为零，但加速度不为零。例：摇杆机构，滑杆AB以等速u向上运动。求=/4时，摇杆OC上C点的速度和加速度的大小。（设初瞬时=0）解：C的轨迹为圆弧，自然法方便（方法一）。取C0为坐标圆点，运动方程：当=4时：用直角坐标法建运动方程，有（方法二）

：当=4时，当=4时，例；小环由静止从A开始沿轨迹运动。CD=DE。AB段，加速度a=g；BCD段，切向加速度a

=gcos

。求小环在C、D(=3/4)两处的速度和加速度。解：在AB段得在BCE段得C点处D点处（a

=gcos）基本要求：1、明确并理解点的速度、加速度的定义。2、正确运用直角坐标法和自然法建立点的运动方程，会求点的轨迹。3、能熟练运用给出的运动条件和几何条件求解包括速度、加速度在内的各运动量。重点：难点：1、直角坐标法和自然法描述点的运动，以及求点的速度和加速度。2、切向与法向加速度的物理意义与计算。自然轴系的理解与认识。小结1、观察物体的运动必须相对某一参考系。2、点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。一个点相对于同一个参考系，若采用不同的坐标系，将有不同形式的运动方程。如：矢量形式：弧坐标形式：极坐标形式：直角坐标形式：3、轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。轨迹方程可由运动方程消去时间t得到。4、点的速度是矢量，大小表示点运动快慢、方向表示点运动方向。

点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的变化率。速度和加速度的计算公式为：矢量形式：(1)以直角坐