齿轮机构及其设计-8

齿轮机构及其设计(8)机械原理课程·第八章·齿轮传动原理与设计方法Contents本章目录齿轮机构及其设计——从基础理论到工程实战的完整知识体系01齿轮机构概述与分类02齿廓啮合基本定律03渐开线标准齿轮参数与几何04齿轮传动的失效形式05齿轮传动设计计算准则06圆柱齿轮减速器设计实战CHAPTER01齿轮机构概述与分类从传动特点、应用场景与结构形式三个维度建立齿轮机构的基本认知GEARMECHANISM齿轮传动的特点与应用齿轮传动凭借高效率（可达0.99）、恒定传动比、紧凑结构和长寿命等核心优势，成为现代机械中应用最广泛的传动机构，适用于速度0~300m/s、功率1W~100000kW的宽幅工况范围。核心优势传动效率高达0.99，在所有常用机械传动中效率最高，能量损失极小，特别适合大功率连续运转场合瞬时传动比恒定，保证从动轮角速度稳定，避免惯性力冲击，是精密机床和数控设备的刚性需求结构紧凑、功率密度高，同等使用条件下所需空间尺寸远小于带传动和链传动，利于设备小型化工作可靠寿命长，设计制造正确且维护良好可稳定运行10至20年，大幅降低全生命周期成本局限与适用场景制造精度要求高，需专用设备和工艺，单件生产成本较贵，不适合低成本小批量场合精度不足时噪声大，振动冲击明显，在高速重载工况下需额外降噪措施不适宜远距离传动，大中心距场景应优先考虑带传动或链传动方案典型应用：变速器、机床进给系统、风力发电齿轮箱、航空发动机减速器等关键传动装置CLASSIFICATIONSYSTEM齿轮传动的分类体系齿轮传动按工作条件分为开式、半开式和闭式三类，按齿面硬度分为软齿面和硬齿面两类。分类方式直接决定了润滑策略、失效模式和设计准则的选择。按工作条件分类01开式传动—齿轮完全暴露在外，易被杂物侵入且润滑不良，磨损严重，仅适用于低速简单传动场合02半开式传动—具有部分防护罩，密封性优于开式但不能完全防止杂物侵入，润滑条件一般03闭式传动—密封在减速器箱体内，润滑条件最好、污染最少，适用于重要的高速重载传动场合按齿面硬度分类01软齿面—硬度≤350HBW，通常经调质或正火处理，加工容易成本低，常用于中低速中低载场合02硬齿面—硬度>350HBW，经表面淬火或渗碳淬火处理，承载能力强但工艺复杂，适用于高速重载03一对齿轮啮合时只要存在一个软齿面即按软齿面传动设计，硬度分类直接影响后续设计准则的选取GearClassification按轴线位置关系的齿轮分类齿轮机构按两轴相对位置分为平行轴、相交轴和交错轴三大类。轴线关系决定了齿向设计和啮合方式。平行轴齿轮机构直齿圆柱齿轮齿向与轴线平行，啮合时全齿宽同时接触，冲击较大但结构简单、制造方便斜齿圆柱齿轮齿向与轴线成螺旋角，逐渐啮入啮出使传动平稳、承载能力高，但产生轴向力人字齿轮由旋向相反的两排斜齿组成，轴向力相互抵消，常用于重型机械的大功率传动平面齿轮相交轴齿轮机构直齿锥齿轮用于两轴相交（通常90°）的传动，齿形分布在圆锥面上，广泛应用于汽车差速器曲线齿锥齿轮齿线为曲线，啮合平稳性和承载能力优于直齿锥齿轮，用于高速重载场合空间齿轮交错轴齿轮机构蜗轮蜗杆传动可实现大传动比（单级i=8~80）和自锁功能，但效率较低，用于起重和分度机构交错轴斜齿轮两轴既不平行也不相交，齿面为点接触，承载能力有限，适用于轻载仪表传动空间齿轮Chapter02齿廓啮合基本定律揭示恒定传动比条件下的齿廓几何约束与瞬心运动规律CHAPTER08齿廓啮合基本定律齿廓啮合基本定律规定：两齿轮在任意啮合位置的传动比等于连心线被接触点公法线所分两线段的反比。只有当公法线始终通过连心线上的固定节点时，传动比才能恒定，这是齿轮平稳传动的根本几何条件。01两齿廓在接触点K处的线速度沿公法线方向的分量必须相等，否则齿廓将分离或嵌入，无法实现正常传动02接触点处的公法线nn与连心线O₁O₂的交点P即为两齿轮的相对瞬心，传动比i₁₂=O₂P/O₁P03若要求传动比恒定，则无论齿廓在何处接触，公法线都必须通过连心线上的同一个固定点P（节点）04传动比不恒定时从动轮角速度为变量，会产生附加惯性力和冲击，影响传动精度并加速轮齿失效05满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓，渐开线和摆线是最常用的共轭齿廓曲线核心要义齿廓啮合基本定律揭示了齿轮传动的本质几何约束，是设计共轭齿廓的理论基础，确保传动平稳、精确、高效GEARMECHANISM·PART8节点、节圆与啮合线节点是齿廓啮合的几何核心，由此派生出节圆、啮合角等关键参数。节圆仅在啮合时存在，标准安装时与分度圆重合。01🔹节点与节圆节点P是接触点公法线与连心线的交点，也是相对瞬心，过节点画出的圆称为节圆。瞬心02⚙️纯滚动传动两节圆在节点处相切做纯滚动，d'=2×O₁P，传动比等于节圆直径的反比。d'=2O₁P03📐节圆与分度圆节圆仅在啮合时存在，单个齿轮只有分度圆；标准安装时两者重合。啮合依存04〰️啮合线接触点在固定坐标系中的轨迹，渐开线齿轮的啮合线为两基圆的内公切线段。内公切线05∠啮合角啮合线与两节圆公切线之间的夹角α'，标准安装时等于分度圆压力角。α=20°CHAPTER03渐开线标准齿轮参数与几何从渐开线形成原理到标准齿轮五大基本参数的系统化计算体系齿轮机构及其设计渐开线的形成与基本性质渐开线是发生线在基圆上做纯滚动时，线上一点的轨迹。其核心性质——法线切于基圆、形状取决于基圆大小、基圆内无渐开线——为齿轮啮合分析和齿廓设计提供了坚实的几何理论基础。形成原理纯滚动轨迹直线（发生线）在基圆上做纯滚动时，直线上任一点K的轨迹即为渐开线，发生线始终与基圆相切。发生线性质一弧长等量关系发生线展开段BK的长度等于基圆上被滚过的弧长AB，即BK=弧AB，这是渐开线的核心几何关系。BK=弧AB性质二法线切于基圆渐开线上任一点的法线必切于基圆，基圆就是渐开线曲率中心所在圆的包络线。法线性质三形状由基圆决定基圆越大渐开线越平直；基圆半径趋于无穷大时渐开线退化为直线，即齿条。R→∞性质四基圆内无渐开线基圆以内不存在渐开线；各点压力角不等，距基圆越远越大，分度圆标准值20°。α=20°GearParameters渐开线齿轮的五大基本参数标准渐开线齿轮由齿数z、模数m、压力角α、齿顶高系数ha*和顶隙系数c*五个参数完全确定。其中模数m已标准化，是决定齿轮尺寸系列和承载能力的核心参数。模数mm=p/π，单位mm，已按GB/T1357标准化为优先数系，是齿轮尺寸计算的基础m压力角α标准值为20°，定义在分度圆上，决定齿廓倾斜程度和径/切向力比例α=20°齿顶高系数ha*正常齿制取1.0，短齿制取0.8，齿顶高ha=ha*×m，影响外径和啮合深度ha*=1.0顶隙系数c*标准值0.25，顶隙c=c*×m，保证齿顶与配对齿根间有适当间隙存储润滑油c*=0.25齿数z决定分度圆直径d=m×z和传动比，闭式传动z₁≥17~20避免根切z≥17GEARGEOMETRY标准直齿圆柱齿轮几何尺寸计算标准直齿圆柱齿轮的全部几何尺寸均可由m、z、α、ha*、c*五个参数导出。核心公式体系以分度圆直径d=mz为基准，向上推导齿顶圆、齿根圆、基圆等尺寸，向外推导中心距和啮合参数。标准直齿圆柱齿轮几何尺寸公式汇总参数名称符号计算公式说明分度圆直径dd=m·z齿轮尺寸计算基准圆齿顶高haaha=ha*·m正常齿制ha*=1齿根高hfhf=(ha*+c*)·m正常齿制为1.25m齿顶圆直径dada=m(z+2)齿轮最大外径齿根圆直径dfdf=m(z−2.5)齿槽底部所在圆基圆直径dbdb=m·z·cosα渐开线生成的基础圆中心距aa=m(z₁+z₂)/2两轴安装距离齿距/齿厚p/sp=πm,s=πm/2标准齿轮齿厚=齿槽宽所有几何尺寸均由五大基本参数唯一确定，分度圆直径d=mz是整个尺寸体系的核心基准GEARMESHING正确啮合条件与连续传动条件渐开线齿轮正确啮合的必要条件是两齿轮模数相等且压力角相等；连续传动的充分条件是重合度ε>1，即实际啮合线段长度大于基圆齿距，保证至少有一对齿始终处于啮合状态。模数相等两齿轮模数必须相等（m₁=m₂），保证分度圆齿距一致，齿形尺寸匹配m₁=m₂压力角相等分度圆压力角相等（α₁=α₂=20°），齿廓倾斜角度一致、力传递方向协调α=20°重合度ε>1实际啮合线段长度大于基圆齿距，前对齿未脱离时后对齿已进入啮合ε>1工程取值一般取ε≥1.1~1.4，重合度越大同时啮合齿对数越多，传动越平稳≥1.1~1.4增大途径增加齿数z、增大齿顶高系数ha*、适当增大齿宽b、采用斜齿轮z·ha*·bGearTheory·齿轮原理根切现象与最少齿数根切是范成法加工时刀具齿顶切入齿根渐开线的缺陷，会削弱齿根强度并降低重合度。标准直齿轮（α=20°、ha*=1）的最少齿数zmin=17，低于此值必须采用正变位来避免根切。01根切成因：范成法加工时若齿数过少，刀具齿顶线超过啮合极限点N₁，刀具将切去齿根部分已形成的渐开线齿廓02根切危害：齿根渐开线被切去后有效齿厚减小、弯曲强度降低，同时啮合线段缩短导致重合度下降、传动平稳性变差03标准直齿轮最少齿数：当α=20°、ha*=1时，zmin=2ha*/sin²α=17，即标准直齿轮齿数不得少于17齿04斜齿轮最少齿数：zmin=zv·cos³β（zv为当量齿数），由于cos³β<1，斜齿轮实际最少齿数可低于1705避免根切的方法：保证z≥17或采用正变位（变位系数x>0），使刀具远离轮坯中心、齿顶线不超过N₁点齿轮传动·第八章斜齿圆柱齿轮的参数与特性斜齿圆柱齿轮因螺旋角的存在实现了渐进啮合，重合度显著高于直齿轮，传动更平稳、承载能力更强。法面参数取标准值，当量齿数zv=z/cos³β用于强度计算和根切判断。01螺旋角β使齿面接触线倾斜，啮合逐渐进入和退出接触，传动平稳性优于直齿轮，高速场合优先选用。高速优先02重合度由端面重合度εα和轴向重合度εβ叠加：ε=εα+εβ，总重合度远大于直齿轮，承载能力显著提升。ε=εα+εβ03法面与端面法面参数（mn、αn）取标准值；端面参数用于几何计算：mt=mn/cosβ，d=mn·z/cosβ。mn→mt04轴向力Fa=Ft·tanβ是固有问题，需配推力轴承承受；螺旋角β一般取8°~25°以平衡平稳性与轴向力。β=8°–25°05当量齿数zv=z/cos³β将斜齿轮等效为直齿轮，用于查取齿形系数YFa和判断是否发生根切。zv=z/cos³βCHAPTER04齿轮传动的失效形式系统分析轮齿折断、齿面点蚀、磨损、胶合和塑性变形五大失效模式的机理与对策FAILUREMODEANALYSIS失效形式一：轮齿折断轮齿折断是最严重的齿轮失效形式，主要由齿根循环弯曲应力超过疲劳极限引起。裂纹从齿根受拉侧萌生并逐步扩展，直齿轮多为整齿折断，斜齿轮多为局部折断，需从几何、材料和工艺三方面综合预防。01疲劳折断齿根过渡圆角处存在应力集中，循环弯曲应力超过疲劳极限时在受拉侧萌生裂纹，逐步扩展致断裂。FATIGUE02折断模式直齿圆柱齿轮常发生整齿折断（全齿宽同时受力），斜齿轮和人字齿轮因接触线倾斜常发生局部折断。PATTERN03几何措施采用正变位齿轮增大齿根强度，使齿根过渡曲线更平缓以减小应力集中系数，优化齿形参数设计。GEOMETRY04结构措施增大轴及支承的刚性，使轮齿接触线上受载更均匀，避免偏载导致的局部过载折断，改善载荷分布。STRUCTURE05材料工艺采用合适热处理使齿芯具有足够韧性，对齿根表层进行喷丸、滚压等强化处理，提高抗疲劳性能。MATERIALFAILUREMODE·GEARDESIGN失效形式二：齿面点蚀齿面点蚀是闭式齿轮传动最常见的失效形式，由循环接触应力引起的表面疲劳导致。微裂纹在齿面表层萌生并扩展，最终使金属小片脱落形成麻点凹坑，多发生于节线附近的齿根面上。01产生机理循环接触应力、齿面摩擦力及润滑剂反复楔入共同作用，在齿面表层产生微裂纹并逐步扩展连接02首发位置点蚀首先出现在靠近节线的齿根面上，因该处接触应力最大且相对滑动速度小、不易形成有效润滑油膜03危害影响点蚀发展会导致齿面形状破坏、传动精度下降、振动噪声增大，严重时使齿轮丧失工作能力04预防：提高齿面硬度通过表面淬火、渗碳淬火等工艺增强接触疲劳强度，是最根本的防治方法05预防：润滑优化在啮合齿面间加注润滑油减小摩擦；高速传动（v>12m/s）应采用喷油润滑兼起散热作用齿轮失效分析失效形式三、四：齿面磨损与齿面胶合齿面磨损是开式传动的主要失效形式，由磨料侵入齿面造成渐进性材料损失；齿面胶合则因油膜破裂导致金属直接接触粘着撕扯。两者均与润滑状态密切相关，但发生机理和预防侧重不同。齿面磨损01齿面摩擦或啮合齿面间落入磨料性物质使齿面逐渐磨损，是开式齿轮传动的主要失效形式之一02磨损导致齿厚减薄、侧隙增大、传动精度下降，严重时引起冲击载荷甚至轮齿折断03预防措施：优先采用闭式传动隔绝污染、提高齿面硬度和降低粗糙度、保持润滑油清洁并定期更换开式传动齿面胶合01齿面间油膜破裂导致金属直接接触，相对滑动中粘连金属沿滑动方向撕扯形成划痕，引起振动噪声和性能下降02热胶合发生在高速重载工况；冷胶合发生在低速重载（n≤4m/s），接触压力过大致油膜被挤出03综合预防：采用正变位减小模数降低齿高以减小滑动速度、提高硬度和降低粗糙度、加入极压添加剂油膜破裂FailureMode·PlasticDeformation失效形式五：塑性变形塑性变形发生在材料过软且载荷超过屈服极限的工况下，齿面金属沿摩擦力方向发生塑性流动。主动轮节线处下凹、从动轮节线处凸起，是摩擦力方向差异导致的典型特征。产生条件材料过软，应力超过屈服极限，或受冲击载荷时齿面出现压痕变形●软齿面材料●超载工况●冲击载荷YieldLimit主动轮特征摩擦力背离节线，金属沿摩擦力方向流动，节线处形成凹槽→摩擦力方向：齿根→齿顶→金属流动：远离节线→结果：节线处下凹节线下凹从动轮特征摩擦力指向节线，金属向节线聚集流动，节线处形成凸起→摩擦力方向：齿顶→齿根→金属流动：朝向节线→结果：节线处凸起节线凸起伴随因素润滑不良致齿面摩擦力过大，加剧塑性流动，常伴随胶合失效●润滑油膜破裂●摩擦系数增大●伴随热胶合Scoring预防措施提高齿面硬度，采用高粘度或加有极压添加剂的润滑油●表面淬火/渗碳处理●选用极压齿轮油●控制载荷与转速EPAdditiveCHAPTER05齿轮传动设计计算准则依据失效形式确定设计计算的主强度和校核条件，建立"失效-准则"对应关系DESIGNCRITERIA齿轮传动设计计算准则总览设计准则的核心逻辑是"按主要失效形式设计、按次要失效形式校核"。闭式软齿面以接触强度设计、弯曲强度校核；闭式硬齿面反之；开式传动仅按弯曲强度计算，并通过增大模数补偿磨损。闭式软齿面≤350HBW设计：按齿面接触疲劳强度计算，确定中心距a和齿宽b校核：齿根弯曲疲劳强度，确保不发生疲劳折断点蚀闭式硬齿面>350HBW设计：按齿根弯曲疲劳强度计算，确定模数m校核：齿面接触疲劳强度，硬齿面仍需验算确保安全折断开式齿轮传动磨损补偿设计：仅按齿根弯曲疲劳强度计算补偿：模数增大10%–15%应对磨损，无需接触校核10%–15%GEARDESIGN·CONTACTFATIGUE齿面接触疲劳强度设计齿面接触疲劳强度设计以赫兹接触应力理论为基础，核心判据为σH≤[σH]。通过引入载荷系数K、节点区域系数ZH、弹性系数ZE和重合度系数Zε等修正参数，最终确定中心距a和齿宽b。理论基础赫兹接触应力公式是齿轮强度计算的理论根基，齿面最大接触应力σH取决于法向载荷大小、综合曲率半径以及配对材料的弹性参数组合CoreFormulaσH≤[σH]载荷系数K为综合修正系数，由使用系数KA、动载系数Kv、齿间载荷分配系数Kα及齿向载荷分布系数Kβ连乘构成LoadFactorK=KA·Kv·Kα·Kβ节点区域系数ZH反映节点处齿廓曲率对接触应力的影响程度，标准直齿轮压力角α=20°时，ZH取值约为2.5ZoneFactorZH≈2.5弹性系数ZE与两齿轮材料的弹性模量E和泊松比ν密切相关，钢对钢啮合配对时，ZE标准取值为189.8ElasticityFactorZE=189.8设计结果由接触强度计算公式确定中心距a和齿宽b的合理取值，再据此分配模数m和齿数z₁、z₂等关键几何参数DesignOutputa×b→m,zBENDINGFATIGUESTRENGTH齿根弯曲疲劳强度设计齿根弯曲疲劳强度设计将轮齿简化为悬臂梁模型，核心判据为σF≤[σF]。通过齿形系数YFa、应力修正系数YSa和重合度系数Yε等参数修正，最终确定模数m，是硬齿面和开式传动的设计基础。悬臂梁模型将轮齿视为固定在齿根处的悬臂梁，载荷作用于齿顶时齿根危险截面处弯矩最大CantileverModel齿形系数YFa反映齿廓形状对齿根弯曲应力的影响，与齿数z和变位系数x有关，可通过图表查取ToothFormFactor应力修正系数YSa考虑齿根过渡圆角处的应力集中效应，与齿根圆角半径和齿根厚度有关StressCorrection重合度系数Yε考虑多对齿同时啮合时分担载荷使单齿弯曲应力降低的效应，ε越大Yε越小ContactRatioFactor设计结果由弯曲强度公式直接确定模数m，对闭式硬齿面齿轮这是主设计计算，对开式传动需将m增大10%~15%MATERIALS&HEATTREATMENT齿轮常用材料与热处理齿轮材料以中碳钢和中碳合金钢为主流，软齿面采用调质或正火（200~350HBW），硬齿面采用表面淬火或渗碳淬火（50~62HRC）。小齿轮硬度应高于大齿轮30~50HBW以补偿其更高的啮合频次。中碳钢45钢经调质处理后综合力学性能优良，是软齿面齿轮最常用且经济性最佳的材料选择，广泛应用于一般机械传动场合调质正火220~260HBW中碳合金钢40Cr等合金钢经表面淬火后齿面硬度高，芯部保持良好韧性，适用于中速中载工况的硬齿面齿轮制造表面淬火芯部韧性48~55HRC低碳合金钢20CrMnTi经渗碳淬火后表面硬度极高，耐磨性和接触疲劳强度优异，是汽车、航空等重载齿轮的首选材料渗碳淬火重载58~62HRC硬度配对设计时小齿轮硬度应高于大齿轮30~50HBW，有效补偿小齿轮更高的啮合频次，使两齿轮磨损趋于均衡磨损均衡寿命匹配Δ30~50HBW特殊材料灰铸铁用于低速轻载大型开式齿轮，工程塑料用于低噪声精密仪表传动，满足特殊工况的差异化需求铸铁工程塑料低速·轻载·降噪GEARDESIGN·LUBRICATION齿轮结构设计与润滑方式齿轮结构形式按齿顶圆直径分为齿轮轴（da≤200mm）、腹板式（200~500mm）和轮辐式（>500mm）三类。润滑方式按圆周速度选择，直接关系传动效率和寿命。结构形式选择齿轮轴（da≤200mm）：齿轮与轴做成一体，结构紧凑刚性好，适用于小尺寸高速齿轮da≤200mm腹板式（da=200~500mm）：轮辐为薄壁腹板并开减重孔，在保证刚度的前提下显著减轻重量200~500mm轮辐式（da>500mm）：采用十字形或工字形轮辐支撑轮缘，适用于大型低速重载齿轮da>500mm润滑方式选择脂润滑（v<0.8m/s）：适用于极低速开式或半开式传动，润滑脂粘附性好但散热能力差v<0.8m/s浸油润滑（v≤12m/s）：大齿轮浸入油池，靠旋转飞溅将油带到啮合面，是闭式传动最常用方式v≤12m/s喷油润滑（v>12m/s）：压力喷嘴将油直接喷射到啮合面，高速时油被甩离齿面，兼起散热作用v>12m/sCHAPTER06圆柱齿轮减速器设计实战以一级圆柱齿轮减速器为例，贯通电动机选型、齿轮设计、轴系设计的完整工程流程DesignProcess一级圆柱齿轮减速器设计流程一级圆柱齿轮减速器设计遵循'原始参数→电动机选型→传动比分配→齿轮设计→轴系设计→校核验证'的闭环流程。设计过程严格依据国标规范，强调'设计-校核-迭代'的工程思维。01原始参数确认：明确输入功率P₁、转速n₁、工作机所需转矩T₂、每日工作时长、载荷平稳性和环境温度等基本设计条件P₁n₁T₂02电动机选型：根据工作机所需功率和工况特点，从标准系列中选定电动机型号和额定转速，预留适当功率裕量额定转速03传动比分配：单级减速器总传动比i=n₁/n₂即为齿轮副传动比，通常控制在i≤5~6以兼顾传动效率、尺寸和啮合平稳性i≤5~604齿轮设计：同步考虑接触疲劳强度与弯曲疲劳强度双重约束，反复试算调整模数m、齿数z₁/z₂、齿宽b等关键参数mz₁/z₂b05轴系设计：按强度-刚度-振动-工艺四维要求进行阶梯轴结构设计，完成轴承选型和键连接校核四维校核DesignMethodology齿轮设计计算核心步骤齿轮设计计算以接触强度确定中心距a、以弯曲强度校核齿根安全，通过"初算-圆整-校核-调整"的迭代过程确定最终参数。接触强度设计由σH≤[σH]计算最小中心距a，引入ZH、ZE、Zε和载荷系数K等修正参数，确定基本尺寸σH≤[σH]齿数与模数分配选z₁≥17~20，z₂=i·z₁，模数m=2a/(z₁+z₂)圆整为GB/T1357标准值GB/T1357齿宽确定b=ψd·d₁（ψd取0.8~1.2），小齿轮齿宽取b+(5~10)mm以补偿安装误差ψd0.8~1.2弯曲强度校核计算σF=Ft·YFa·YSa·Yε/(b·m)·K，验证σF≤[σF]，不满足时增大模数σF≤[σF]斜齿轮附加步骤确定螺旋角β（8°~25°），法面模数mn取标准值，端面参数用于几何计算β8°~25°MECHANICALDESIGN轴系设计与轴承选型轴的设计遵循'估算最小直径→阶梯结构设计→弯扭校核'的流程，需同时满足强度、刚度、振动和工艺四维要求。轴承选型以载荷类型和寿命计算为依据，确保当量动载荷下L10寿命达标。轴的设计01最小轴径估算：dmin=C·∛(T/n)，C为材料系数（45钢取110~120），据此确定各段轴径的起始值C=110~12002阶梯轴结构设计：根据齿轮、轴承、联轴器的定位和装拆需求，从两端向中间直径递增，轴