2026上海市八年级数学第二学期期末压轴题三

原题呈现（本大题共3小题，满分14分）已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点E是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A顺时针旋转60°得到线段AF，连接EF、DF。（1）如图1，当点E与点B重合时，求证：△ADF是等边三角形；（2）如图2，在点E运动过程中，设BE=x，△CDF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在点E运动过程中，是否存在某一位置使得DF⊥EF？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。审题分析本题以菱形为基本图形，融合了图形旋转、动态几何、函数建模与几何存在性问题，是对八年级下学期数学核心知识与思想方法的综合考查。题目设计层次分明，从基础证明到动态问题中的函数关系构建，再到特定几何条件下的存在性探究，逐步深入，对学生的空间想象能力、逻辑推理能力和代数运算能力均提出了较高要求。菱形的性质、等边三角形的判定与性质、图形旋转的不变性、三角形面积计算、勾股定理以及方程思想是解决本题的关键知识点。其中，动态点E的运动引发图形变化，如何抓住变化中的不变量与变量间的关系，是突破第（2）、（3）问的核心。解题思路与过程详解（1）证明：当点E与点B重合时，△ADF是等边三角形思路点拨：当点E与点B重合时，旋转线段AE（即AB）得到AF。根据旋转的性质，AE=AF，旋转角∠EAF=60°，因此△AEF本身是等边三角形。接下来需将此条件与菱形的性质结合，证明△ADF的三边相等或两角为60°。证明过程：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∠BAD=60°。当点E与点B重合时，AE=AB=AD。由旋转性质知：AE=AF，∠EAF=60°，∴AF=AD，∠BAF=60°。∵∠BAD=60°，即∠BAF=∠BAD，∴点F落在AD的延长线上（或通过角度计算证明∠DAF=60°）。∴∠DAF=∠BAF=60°（或通过∠BAD=∠EAF=60°，等式性质得∠BAE=∠DAF，而此时∠BAE=0°，故∠DAF=60°）。在△ADF中，AD=AF，∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形。（2）求y关于x的函数关系式及x的取值范围思路点拨：要求△CDF的面积y与BE=x之间的函数关系，首先需明确△CDF的底和高。菱形ABCD中CD为定边（CD=AB=4），若以CD为底，则需找到CD边上的高；或考虑以DF为底，但CD边更易处理。关键在于确定点F的位置随点E运动的变化规律，利用旋转性质构造全等三角形，将DF或点F到CD的距离用含x的代数式表示。解题过程：过点A作AH⊥BC于H，过点F作FG⊥CD于G。∵菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，BC=CD=4。在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=4，∴BH=AB·cos60°=2，AH=AB·sin60°=2√3。∵BE=x，BC=4，∴EC=4-x。连接AC。在菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴△ABC和△ADC均为等边三角形（菱形邻边相等，一个内角为60°）。∴AB=AC，∠BAC=∠ACD=60°。由旋转性质知：AE=AF，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF。在△ABE和△ACF中：AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（SAS）。∴CF=BE=x，∠ACF=∠ABE=60°。∵∠ACD=60°，∠ACF=60°，点E在BC上，∴点F在直线CD上或其延长线上？需进一步分析位置。∵∠ACB=60°（等边三角形ABC性质），∠ACF=60°，且点E在BC上（不与B、C重合），∴点F在∠ACD的外部（或通过图形直观判断），即CF与CD的夹角为∠FCD=∠ACF+∠ACD=120°？此处需谨慎：∠ACF=∠ABE=∠ABC=120°？不！△ABE中，∠ABE是菱形的内角∠ABC=120°，故∠ACF=∠ABE=120°。∵∠ACD=60°（等边△ADC），∴∠FCD=∠ACF-∠ACD=120°-60°=60°。（此处需结合图形，AC是菱形对角线，将∠BCD分为两个60°角，∠ACB=∠ACD=60°，而∠ACF=∠ABE=120°，故点F在BC的延长线方向，CF与CD的夹角∠FCD=60°）∴在△CDF中，CD=4，CF=x，∠FCD=60°，∴△CDF的面积y=(1/2)·CD·CF·sin∠FCD=(1/2)×4×x×sin60°=2x×(√3/2)=√3x。∵点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），BE=x，BC=4，∴x的取值范围是0<x<4。综上，y关于x的函数关系式为y=√3x（0<x<4）。（注：此处关键在于通过全等三角形将BE转化为CF，并准确求出∠FCD的度数，从而利用三角形面积公式S=(1/2)absinθ求解，避免了复杂的坐标计算，体现了几何性质的灵活应用。）（3）探究是否存在点E使得DF⊥EF思路点拨：判断是否存在点E使得DF⊥EF，可假设存在这样的点E，设BE=x，然后利用几何性质或代数方法建立关于x的方程，若方程有符合题意的解，则存在；反之则不存在。可考虑在Rt△DEF中利用勾股定理，或通过构造直角坐标系，用坐标法求解。解法一：几何法结合代数法由（2）知，△ABE≌△ACF，∴CF=BE=x，且AE=AF，∠EAF=60°，故△AEF是等边三角形，EF=AE。在Rt△ABE中，AB=4，BE=x，∠ABE=120°，由余弦定理得：AE²=AB²+BE²-2·AB·BE·cos∠ABE=4²+x²-2×4×x×cos120°=16+x²-8x×(-1/2)=x²+4x+16，∴EF²=AE²=x²+4x+16。在△ADF中，AD=4，AF=AE，∠DAF=∠DAB+∠BAF。由旋转知∠BAE=∠CAF（已证），∠BAC=60°，设∠BAE=α，则∠EAC=60°-α，∠CAF=α，故∠DAF=∠DAC+∠CAF=60°+α。而AD=4，AF=AE，可表示DF²，但较繁琐。或在△CDF中，CD=4，CF=x，∠FCD=60°，由余弦定理得DF²=CD²+CF²-2·CD·CF·cos∠FCD=16+x²-2×4×x×cos60°=x²-4x+16。若DF⊥EF，则在Rt△DEF中，DF²+EF²=DE²？不，是DF²+EF²=DE²吗？连接DE，则DE²=DF²+EF²？不！Rt△DEF中，∠DFE=90°，则DE²=DF²+EF²。但DE可在△DCE中用余弦定理表示：EC=4-x，DC=4，∠DCE=60°，DE²=DC²+EC²-2·DC·EC·cos∠DCE=16+(4-x)²-2×4×(4-x)×1/2=16+16-8x+x²-4(4-x)=x²-8x+32-16+4x=x²-4x+16。而DF²+EF²=(x²-4x+16)+(x²+4x+16)=2x²+32。若DF⊥EF，则DE²=DF²+EF²，即x²-4x+16=2x²+32，整理得x²+4x+16=0，判别式△=16-64=-48<0，方程无解。解法二：坐标法以点A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系。∵菱形ABCD，AB=4，∠BAD=60°，∴A(0,0)，D(4,0)，B(2,2√3)，C(6,2√3)。点E在BC上，BE=x，BC=4，B(2,2√3)，C(6,2√3)，∴BC边所在直线为y=2√3，点E的坐标为(2+x,2√3)（∵BC方向为x轴正方向，长度4，故E点横坐标为B点横坐标加上x，纵坐标不变）。线段AE绕点A顺时针旋转60°得到AF。向量AE=(2+x,2√3)，将其绕点A顺时针旋转60°得到向量AF。旋转公式：若向量(a,b)顺时针旋转θ，则新向量为(acosθ+bsinθ,-asinθ+bcosθ)。θ=60°，cos60°=1/2，sin60°=√3/2，∴AF_x=(2+x)×1/2+2√3×√3/2=(2+x)/2+(6)/2=(x+2+6)/2=(x+8)/2=x/2+4，AF_y=-(2+x)×√3/2+2√3×1/2=[-√3(2+x)+2√3]/2=[-2√3-√3x+2√3]/2=(-√3x)/2，∴点F的坐标为(x/2+4,-√3x/2)。点D(4,0)，点F(x/2+4,-√3x/2)，点E(2+x,2√3)。DF⊥EF，则向量DF·向量EF=0。向量DF=F-D=(x/2+4-4,-√3x/2-0)=(x/2,-√3x/2)，向量EF=F-E=(x/2+4-(2+x),-√3x/2-2√3)=(x/2+4-2-x,-√3x/2-2√3)=(-x/2+2,-√3(x+4)/2)。向量DF·向量EF=(x/2)(-x/2+2)+(-√3x/2)(-√3(x+4)/2)=(-x²/4+x)+(3x(x+4))/4=(-x²+4x+3x²+12x)/4=(2x²+16x)/4=(x²+8x)/2。令DF·向量EF=0，即(x²+8x)/2=0，解得x=0或x=-8。∵0<x<4，∴x=0和x=-8均不符合题意，故不存在这样的点E。结论：在点E运动过程中，不存在使DF⊥EF的位置。数学思想方法提炼本题综合考查了多种重要的数学思想方法：1.转化与化归思想：将线段旋转问题转化为三角形全等问题（如△ABE≌△ACF），将动态面积问题转化为解三角形问题，将垂直条件转化为勾股定理或向量数量积为零的代数关系。2.数形结合思想：在第（2）问中，通过几何图形的性质（全等、等边三角形、夹角）直接计算三角形面积；在第（3）问中，坐标法的应用是数形结合的典范，将几何位置关系转化为代数方程求解。3.函数与方程思想：第（2）问中，用含x的代数式表示△CDF的面积y，建立函数关系；第（3）问中，假设存在性，通过方程求解判断是否存在符合条件的x值。4.分类讨论思想（潜在）：虽然本题在点E的运动过程中未出现多种情况，但在判断点F的位置、角的大小关系时，需要结合图形进行严谨的逻辑分析，避免漏解或错解。教学启示与备考建议1.夯实基础，灵活应用：本题涉及菱形的性质、等边三角形的判定、图形旋转的性质等基础知识，学生需对这些知识烂熟于心，并能在复杂情境中快速识别和提取。2.重视几何直观与逻辑推理的结合：动态几何问题中，准确画出图形、分析图形变化过程中的不变量至关重要。同时，每一步结论的得出都需严格的逻辑推理支撑，如全等三角形的证明、角度的计算等。3.加强数学思想方法的渗透：在日常教学中，应引导学生主动运用转化、数形结合、方程等思想方法解决问题，培养其数学思维的灵活性和深刻性。4.注重解题策略的选择：如第（3）问，几何法（余弦定理）和坐标法均可尝