新人教版高中数学必修第一册 单元质量测评 教案

第一章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{－1,3,4}，B＝{0,1,4,5}，则A∩B的子集的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由题意得A∩B＝{4}，所以集合A∩B的子集的个数为2，故选C.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁RB)＝()A．{x|x>1} B．{x|≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案B解析由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}，所以A∪(∁RB)＝{x|x≥－1}．3．满足{1}⊆X{1,2,3,4}的集合X有()A．4个 B．5个C．6个 D．7个答案D解析集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．4．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案C解析“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<05．下列命题中，真命题是()A．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．∃x∈R，x2＋2≤0答案A解析当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq\f(a,b)＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2>0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.6．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．7．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．∅答案C解析当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，要使A⊆B，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－5≤16，,2a＋1≥5，))解得2≤a≤7.综上可知，a≤7.8．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析充分性：若“D＝0”，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，所以a＝b或b＝c，则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，eq\r(2)}，若B⊆A，则实数a的值可能是()A．－1 B．1C．－2 D．2答案ABC解析因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，eq\r(2)}，B⊆A，若a＝－1，则A＝{x|x≥－2}，符合题意，A正确；若a＝1，则A＝{x|x≤2}，符合题意，B正确；若a＝－2，则A＝{x|x≥－1}，符合题意，C正确；若a＝2，则A＝{x|x≤1}，不符合题意，D错误．10．下列命题中，是全称量词命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2bB．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，eq\r(x2)＝xD．正方形是矩形答案ABD解析A中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题；B和D中省略了全称量词，均是全称量词命题；C中含有存在量词，是存在量词命题．故选ABD.11．在下列命题中，真命题有()A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0B．∀x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0答案BC解析A中，x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(11,4)>0，故A是假命题；B中，x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；D中，当x＝1时，x3－x2＋1>0，故D是假命题．12．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{eq\r(2)，eq\r(3)}，B＝{1，eq\r(2)}，则()A．当x＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)时，z＝1B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子C．A⊗B中有4个元素D．A⊗B的真子集有7个答案BD解析当x＝eq\r(2)，y＝eq\r(2)时，z＝(eq\r(2)＋eq\r(2))×(eq\r(2)－eq\r(2))＝0，A错误；由于A＝{eq\r(2)，eq\r(3)}，B＝{1，eq\r(2)}，则z有(eq\r(2)＋1)×(eq\r(2)－1)＝1，(eq\r(2)＋eq\r(2))×(eq\r(2)－eq\r(2))＝0，(eq\r(3)＋1)×(eq\r(3)－1)＝2，(eq\r(3)＋eq\r(2))×(eq\r(3)－eq\r(2))＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B中有3个元素，元素之和为3，C错误；集合A⊗B的真子集个数为23－1＝7，D正确．故选BD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x>1}，则A∪(∁UB)＝________.答案{x|x≤1}解析∵B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．14．某校高一某班共有40人，摸底测验(无缺考)数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有________人．答案9解析设两门都得优的人数是x，则依题意得(23－x)＋(20－x)＋x＋6＝40，整理，得－x＋49＝40，解得x＝9，即两门都得优的人数是9.15．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有________个．答案8解析U＝(－3，－2，－1,0,1,2,3)，∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}；当∁UP＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．由于S的子集共有8个，∴P也有8个．16．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a，b都为0”的必要条件是________(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________答案(1)①②③(2)④(3)①解析①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0；))④ab>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))则a，b都不为0.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．解(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是存在量词命题，存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁RA，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B.解∵A＝{－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，∴∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，A∩B＝{x|－2<x<3}＝A.∴∁R(A∩B)＝∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}．∴(∁RA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1或x≥m＋1}．(1)当m＝0时，求A∩B；(2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1或x≥1}，又A＝{x|－1<x<3}，所以A∩B＝{x|1≤x<3}．(2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1.q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4.20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，实数a的值为－1或－3.(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A.当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件；当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－2a＋1，,1×2＝a2－5))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,a2＝7，))矛盾．综上，实数a的取值范围是a≤－3.21．(本小题满分12分)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有：A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题：(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B;(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．解(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)因为A×B＝{(1,2)，(2,2)}，所以A＝{1,2}，B＝{2}．(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有mn个元素，于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．22．(本小题满分12分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实