四川省凉山彝族自治州2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

四川省凉山州2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,,则(

)A. B. C. D.2．已知i为虚数单位,若,则(

)A. B. C. D.3．展开式中项的系数为(

)A.12 B.15 C.18 D.204．已知是两条不同的直线,,是两个不同的平面,若,,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知抛物线的焦点为F,抛物线上一点P到焦点F的距离为3,则（O为坐标原点）的面积为(

)A.1 B. C.2 D.46．已知中,,,,则(

)A. B.或 C. D.7．设R上的可导函数满足,且是偶函数.若,,,则a,b,c的大小关系为(

)A. B. C. D.8．一位足球爱好者参加点球比赛,记事件“第i次进球”（）.已知,,,则的值为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法中正确的是(

)A.数据3,4,5,7,8的第80百分位数是7.5B.两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数r的绝对值越接近于0C.已知y关于x的线性回归方程为,则样本点的残差绝对值为0.1D.若一个样本容量为5的样本的平均数为5,方差为2,现在样本中加入一个新数据5,则此时样本容量为6,其平均数与方差的值均不变10．已知数列是首项为1,公差为2的等差数列,数列满足,下列说法中正确的有(

)A.B.数列是首项为2,公差为4的等差数列C.是公比为4的等比数列D.对任意正整数均成立11．已知,分别是双曲线,（,）的左、右焦点,A为其右支上一点（异于右顶点）,的内切圆与x轴相切于点M,则下列说法正确的是(

)A.点M到y轴的距离为B.若,则C的渐近线方程为C.若且,则C的离心率为D.若,则的周长为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．甲、乙等5人排成一行照相,其中甲、乙不相邻,则不同的排列方法有__________________种.（用数字作答）13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱长为,则其外接球的表面积为_______.14．已知关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为______.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）2026年第四届“火战凉山·火洛杯”全网曝光超4350万次,话题浏览超2.5亿次,是凉山年度全民热门赛事.某校为激发学生对体育运动的兴趣,举行了一次有关“火洛杯”的知识竞赛,其中篮球、彝族特色文化、禁毒防艾三类相关知识题量占比分别为、、,甲同学回答篮球、彝族特色文化、禁毒防艾这三类问题中每个题的正确率分别为、、.（1）若甲同学在该题库中任选一题作答,求他回答正确的概率;（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答,每一题回答正确得10分,回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为X分,求X的分布列及数学期望.16．（15分）已知数列的前n项和为,且,等差数列满足,（1）求和的通项公式;（2）求数列的前n项和.17．（15分）如图,为直角梯形,,,E为的中点,现将沿折起使A点至P点处,得四棱锥,点F为中点.（1）求证:平面;（2）当二面角为直二面角时,求:直线与平面所成角的正弦值.18．（17分）已知椭圆,（）的左、右焦点分别为、,点P是C上的点,且,离心率.（1）求C的标准方程;（2）设,.①若点P位于第一象限,直线,的斜率分别为,,求的取值范围;②设直线与交于P,Q两点,若（O为坐标原点）,试判断直线l是否过定点,如果是,请求出定点,如果不是,请说明理由.19．（17分）已知函数,,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）设函数,①若函数在R上不具有单调性,求的取值范围;②若函数有两个不同的极值点,,求证:参考答案1．答案：C解析：因为,所以.又,所以.2．答案：C解析：.3．答案：B解析：因为二项式展开式通项公式为,令,得,所以展开式中项的系数为.4．答案：C解析：首先证明充分性:已知,,若,由线面垂直的性质可得或,若,因,即平面经过平面的一条垂线,根据面面垂直的判定定理,可得;若,则平面内存在直线l满足,结合得,即平面经过平面的垂线l,根据面面垂直的判定定理,可得,故充分性成立;再证明必要性:已知,,若,由面面垂直的性质结合,可得或,若,因,根据线面垂直的性质可得,若,则平面内存在直线k满足,结合得,故,故必要性成立,综上,“”是“”的充要条件,故C正确.5．答案：B解析：由题意知,,且,可得,将代入抛物线方程得:,所以.6．答案：B解析：根据正弦定理,得,因为,所以,所以A为锐角,由,由余弦定理,得,或.7．答案：B解析：由,可得当时,,故,在上单调递增;当时,,故,在上单调递减;因为是偶函数,故对任意实数有,即的图象关于直线对称,因为,结合的单调性与对称性可知,自变量到对称轴距离越大,函数值越大,故,即.8．答案：D解析：首先根据对立事件的概率性质,得.由全概率公式计算:.同理可得.由全概率公式计算:,故选D.9．答案：AC解析：对于A:该组数据共5个,计算,为整数,因此第80百分位数是第4个数据和第5个数据的平均值,即,A正确;对于B:两个随机变量的线性相关程度越强,样本相关系数的绝对值越接近于,绝对值越接近说明线性相关程度越弱,B错误;对于C:将代入回归方程得,样本点的残差为,绝对值为0.1,C正确;对于D:新样本的平均数为,和原平均数相等;原样本的方差为2,即,可得,加入新数据后新方差为,方差变小,D错误.10．答案：ACD解析：对于A,由数列是首项为1,公差为2的等差数列,得,故A正确;对于B,由,得,即当时,首项,公差,数列是首项为3,公差为4的等差数列,故B错误;对于C,由,得,则公比,数列是公比为4的等比数列,故C正确;对于D,由,得,;由数列是等差数列,得,,得,故D正确.11．答案：BCD解析：设双曲线焦点,设的内切圆与相切于.因为点A在右支上,故.根据三角形内切圆切线长相等:,所以,即.设,则,得,即.选项A,因为到y轴距离为a,不一定等于,故A错误;选项B,由,所以,故,又,得,即,所以双曲线的渐近线方程为,故B正确;选项C,由题意,,,,由余弦定理:,代入上述值得,,,所以,,因此,C正确;选项D,设,由,得,又,所以,得,故周长为,故D正确.12．答案：72解析：先排列除甲、乙以外的三人,共有种,再将甲、乙两人插空加入,四个空隙插入人,共有种,所以共有种.13．答案：解析：设是下底面正方形中心,是上底面正方形中心,为棱台的高,外接球球心为O,则,,,,,,即,设球心O到下底面的距离为x,则O到上底面的距离为,外接球半径R满足:,解得,,所以正四棱台外接球的表面积是.14．答案：解析：,定义域为,,则,若,当时,,,,不满足恒成立,因此只能有,当时,,显然成立,当时,,则,因为,所以,即,设,,在上是单调递增函数,因为,,所以,所以,即,令,,时,,单调递增,时,,单调递减,在处取得最大值,且,要使恒成立,只需.则实数的取值范围为.15．答案：（1）（2）X的分布列为:X01530P数学期望解析：（1）因为篮球、彝族特色文化、禁毒防艾三类相关知识题量占比分别为、、,甲同学回答篮球、彝族特色文化、禁毒防艾这三类问题中每个题的正确率分别为、、,所以甲同学在该题库中任选一题作答,他回答正确的概率为:;（2）由题意,可得,,,,,所以X的分布列为:X01530P数学期望.16．答案：（1）,（2）解析：（1）由,当时,;当时,,两式相减,得,即,所以是首项为1、公比为2的等比数列,即的通项公式为;由,代入得;,代入得,设公差为d,则,得,所以的通项公式为.（2）由（1）可知,,,所以,由于数列的前n项和为,,,两式相减得,故.17．答案：（1）见解析（2）解析：（1）如上图,连接交于O,连接,由题可知:底面是正方形,所以O为的中点,又因为F为中点,所以,又因为平面,平面,所以平面..（2）因为底面是正方形,所以,由二面角为直二面角,得平面平面,而平面平面,平面,所以平面,而平面,所以,又,平面,平面,以E为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间坐标系,直线与平面所成角为.,,,,由图可知为平面的法向量,则,.18．答案：（1）（2）①;②见解析解析：（1）由椭圆定义得到,故,所以由离心率得,由得,所以椭圆C的标准方程为.（2）①设,因为点P位于第一象限,所以且满足,即,因为,,所以,则,令,由P在第一象限,得,故,则,因为,所以,所以,则,即,即,所以的取值范围是.②直线l过定点,理由如下:设,,设直线,联立,消去x得,整理得,则,由可知,则,所以,即,即,所以,整理得,即,故,所以直线,令,即,此时,则直线l过定点.19．答案：（1）（2）①;②见解析解析：（1）由函数,所以,,.所以切点为,切线的斜率为,由点斜式得切线方程:,整理得:.因此曲线在点处的切线方程为