四川省凉山彝族自治州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

四川省凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲学校有2000名学生,乙学校有2500名学生,丙学校有3000名学生,为统计三校学生某方面的情况,采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本,应在甲,乙,丙三校分别抽取学生(

)A.20人,25人,30人 B.30人,25人,20人C.25人,30人,20人 D.20人,30人,25人2．已知i为虚数单位,且复数z满足,则z的虚部为(

)A.1 B.i C. D.3．某简谐运动的函数解析式为,则这个简谐运动的频率和相位分别为(

)A., B.2, C., D.2,4．如图,一条河两岸平行,河的宽度,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,那么当航程最短时,这艘船行驶完全程需要的时间(

)A. B. C. D.5．已知复数是关于的方程的一个根,则(

)A. B. C.0 D.16．已知,为单位向量,向量在向量方向上的投影向量为,则(

)A. B. C. D.7．若函数在区间上单调递增,则的取值范围为(

)A. B. C. D.8．在正三棱柱中,,P是平面上一动点,点Q是直线上一动点,则的最小值为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列关于平面向量的说法错误的是(

)A.若,则或 B.若与反向,则C.若,,则 D.若存在实数,使得,则10．已知m,m是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则(

)A.若,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,,则11．已知一组数据,,,,的平均数为1,方差为1,则该组数据的(

)A.中位数可能为1 B.众数可能为1C.极差可能为1 D.第60百分位数可能为2三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．将一个长、宽、高分别是,,的长方体铁块磨制成一个球体零件,则可能制作的最大零件的体积为____________________.13．已知A,B,C为单位圆上三点,,点C关于点A的对称点为M,点M关于点B的对称点为D,则__________.14．若,,则__________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知向量,,.（1）若,求实数的值;（2）已知,,,若A,B,C三点共线,求实数的值.16．（15分）（本题需使用综合几何法,利用空间向量法不得分）在空间四边形中,H,G分别是,的中点,E,F分别是边,上的点,且（1）如图1,若,求证:四边形是平行四边形;（2）如图2,若,求证:直线,,相交于同一点.17．（15分）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.（1）求角C;（2）若的面积为,求的周长.18．（17分）为了解某城市居民的月平均用电量情况,随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位:度）,得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.（1）求频率分布直方图中x的值;（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）;（3）为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯电价,将月平均用电量从低到高分为一、二、三档,使75%的居民缴费在第一档,20%的居民缴费在第二档,其余5%的居民缴费在第三档,请确定第二档的月平均用电量范围（精确到1）.19．（17分）（本题需使用综合几何法,利用空间向量法不得分）如图,在三棱柱中,与均为等腰直角三角形,且,.（1）证明:;（2）记二面角的大小为.（i）若,求直线和所成角的大小;（ii）若二面角的大小为,,求.参考答案1．答案：A解析：甲,乙,丙三个学校的学生比例为,故甲,乙,丙三校分别抽取学生人数为,.2．答案：C解析：因为,所以,故z的虚部为.3．答案：A解析：,这个简谐运动的周期为,频率为,相位为.4．答案：B解析：设船垂直河岸实际渡河速度的大小为,,所以,解得,.5．答案：D解析：由题意得方程的另外一个根为,由韦达定理得,,所以.6．答案：D解析：因为,均为单位向量,所以,又在方向上的投影向量为,所以,所以.7．答案：C解析：设,,由题意得,即,,,,联立得,其中且,解得,所以,.8．答案：B解析：由题知,作关于底面的对称点,则,所以,所以的最小值为点到直线的垂直距离,因为到的距离为,所以到平面的距离为,又,所以的最小值为.即的最小值为.9．答案：AC解析：对于A:当,则,但是或可能不成立,A选项错误;对于B:若与反向,则,B选项正确;对于C:若满足,,但是可能不成立,C选项错误;对于D:若存在实数,使得,当为零向量时,则为零向量,可得;当不为零向量时,由向量共线的判定定理可得;综上所述:,D选项正确.10．答案：BC解析：当,时,可能,故A错误;当,,可得,又,所以,故B正确;当,时,可得,由知,故C正确;如图,作出符合题意的图形,当,,,时,m与可以不垂直,故D错误.11．答案：AB解析：对于A,数据的平均数为1,方差为1,中位数为1,A正确;对于B,数据,则这组数据的平均数为1,方差为1,众数为1,B正确;对于C,若极差为1,不妨设为最小值,为最大值,则,又因为平均数为1,则,则,则,与题干方差为1矛盾,C错误;对于D,不妨假设,,所以第60百分位数为,则,且,所以,此时,所以这组数据的平均数不可能为1,与题干平均数为1矛盾,D错误.12．答案：解析：要将长方体铁块磨制成一个球体,则球体直径最大不超过长方体的最短棱长,又长方体的最短棱长为,则此球是棱长为的正方体的内切球,根据正方体的几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为,所以球的半径为3,其体积是.13．答案：2解析：如图,作出符合题意的图形,由正弦定理可得,解得,又点C关于点A的对称点为M,点M关于点B的对称点为D,所以分别为的中点,,即.14．答案：解析：由,得,交叉相乘整理得:,已知,代入得,解得:.根据正弦和角公式:利用二倍角公式,,代入得:15．答案：（1）（2）解析：（1）,,由已知,得,解得;（2）,,若A,B,C三点共线,则,则,解得.16．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明:如图1所示,连接,空间四边形中,当时,,即E、F分别是、的中点,又H、G分别是、的中点,所以且,且,所以且.即四边形是平行四边形.（2）如图2所示,连接,,AC,空间四边形中,H、G分别是、的中点,则且.又,则且.即且,则与交于一点,记为P,平面,P在平面内,同理P在平面内,且平面平面,点P在直线上,直线,,相交于一点.17．答案：（1）（2）解析：（1）因,由正弦定理,得,即,所以,又,所以.（2）,所以,由（1）知.所以,所以,即.所以的周长为.18．答案：（1）0.0075（2）众数为230度,平均数为225.6度（3）解析：（1）因为,所以;（2）由频率分布直方图可知,月平均用电量众数的估计值为230度,记、、…、的频率分别为,,…,,则,,,,,,,于是平均数的估计值为,即该城市所有居民月平均用电量的众数为230度,平均数的估计值为225.6度;（3）因为,,因此,75%分位数位于内.由,可估计样本数据的75%分位数约为247,又,因此,可估计样本数据的95%分位数约为280,即第二档的月平均用电量数据范围为.19．答案：（1）见解析（2）（i）;（ii）解析：（1）设的中点为M,连接,,如图所示,因与均为等腰直角三