2026年江西省高中数学第10章三角函数同步练习题

2026年江西省高中数学第10章三角函数同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）A.3√2B.3√3C.2√6D.4√2解析：由三角形内角和定理得角C=75°，根据正弦定理可得AC=BC•sinB/sinA=6×√3/2÷√2=3√6，故选C。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移π/6个单位后，得到的函数图像对应的函数解析式为（）A.y=2sin(3x-π/12)B.y=2sin(3x+π/12)C.y=2sin(3x-π/4)D.y=2sin(3x+π/4)解析：图像向右平移π/6个单位相当于函数解析式中的x替换为x-π/6，即y=2sin[3(x-π/6)+π/4]=2sin(3x-π/2+π/4)=2sin(3x-π/12)，故选A。3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[0,π]上的图像如下所示，则f(x)的解析式为（）（注：此处应有图像，假设图像显示函数在x=π/4处取得最大值1，在x=3π/4处取得最小值-1）A.y=sin(2x+π/4)B.y=sin(2x-π/4)C.y=sin(2x+π/2)D.y=sin(2x-π/2)解析：由图像可知周期T=π，故ω=2，又函数在x=π/4处取得最大值，则φ=π/4，故解析式为y=sin(2x+π/4)，故选A。4.若α是第三象限角，且cosα=-√5/5，则tanα的值为（）A.-2√5B.2√5C.-1/2√5D.1/2√5解析：由cosα=-√5/5，得sinα=-√(1-cos²α)=-√(1-5/25)=-2/5，故tanα=sinα/cosα=-2/5÷(-√5/5)=2√5，故选B。5.函数y=cos²x-sin²x的值域为（）A.[-1,1]B.[-√2,√2]C.[-1,√2]D.[-√2,1]解析：y=cos²x-sin²x=cos(2x)，由cos(2x)的值域为[-1,1]，故值域为[-1,1]，故选A。6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ的可能取值为（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.5π/4解析：由图像关于x=π/4对称，则2×π/4+φ=kπ+π/2，即φ=kπ+π/4，当k=0时，φ=π/4，故选A。7.若函数y=Asin(ωx+φ)的振幅为3，周期为π/2，且图像过点(0,3)，则解析式为（）A.y=3sin(4x+π/2)B.y=3sin(4x-π/2)C.y=3sin(4x+π)D.y=3sin(4x-π)解析：由振幅为3，得A=3，周期为π/2，得ω=4，又图像过点(0,3)，则3sinφ=3，即sinφ=1，得φ=π/2，故解析式为y=3sin(4x+π/2)，故选A。8.函数y=2sin(x+π/3)cos(x-π/3)的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π/3D.π/3解析：y=2sin(x+π/3)cos(x-π/3)=sin(2x+π/3)，故最小正周期为2π/ω=2π/2=π，故选B。9.已知α是锐角，且tanα=3，则sinα的值为（）A.√10/10B.3√10/10C.√10/3D.3/√10解析：由tanα=3，得sinα/cosα=3，即sinα=3cosα，又sin²α+cos²α=1，代入得9cos²α+cos²α=1，即10cos²α=1，得cosα=√10/10，故sinα=3cosα=3√10/10，故选B。10.函数y=3sin(2x-π/4)+1的图像关于原点对称，则x的取值集合为（）A.{kπ+π/8|k∈Z}B.{kπ-π/8|k∈Z}C.{kπ±π/8|k∈Z}D.{kπ+3π/8|k∈Z}解析：由图像关于原点对称，则3sin(2x-π/4)+1=0，即sin(2x-π/4)=-1/3，又sin(2x-π/4)=0时也关于原点对称，即2x-π/4=kπ，得x=kπ+π/8，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=1/2，α是第二象限角，则cosα的值为______。参考答案：-√3/2解析：由sinα=1/2，得cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-1/4)=-√3/2。2.函数y=cos(2x+π/3)的最小正周期为______。参考答案：π解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。3.若函数f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最小值-1，则φ的可能取值为______。参考答案：2kπ-π/4（k∈Z）解析：由最小值-1，得ωπ/4+φ=2kπ-π/2，即φ=2kπ-π/2-ωπ/4，当ω=1时，φ=2kπ-π/4。4.函数y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)的解析式可化为______。参考答案：sin(2x+π/6)解析：y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)=sin(2x+π/6)。5.若α是第四象限角，且cosα=√3/2，则tanα的值为______。参考答案：-√3/3解析：由cosα=√3/2，得sinα=-√(1-cos²α)=-1/2，故tanα=sinα/cosα=-1/2÷√3/2=-√3/3。6.函数y=3cos²x-3sin²x的解析式可化为______。参考答案：3cos(2x)解析：y=3cos²x-3sin²x=3cos(2x)。7.函数y=4sin(x-π/4)的振幅为______，周期为______。参考答案：4，2π解析：振幅为4，周期为2π。8.函数y=2sin(3x+π/3)的图像向右平移______个单位后，得到的函数图像对应的函数解析式为y=2sin(3x-π/3)。参考答案：π/9解析：平移量x'=-x+π/9，代入得2sin[3(-x+π/9)+π/3]=2sin(-3x+π/3+π/3)=2sin(-3x+2π/3)=2sin(3x-π/3)。9.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/2对称，则φ的可能取值为______。参考答案：kπ-ωπ/2（k∈Z）解析：由图像关于x=π/2对称，则ωπ/2+φ=kπ+π/2，即φ=kπ+π/2-ωπ/2。10.函数y=cos²x-sin²x+1的最小值为______。参考答案：1解析：y=cos²x-sin²x+1=cos(2x)+1，由cos(2x)的值域为[-1,1]，故y的最小值为0+1=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若sinα=sinβ，则α=β。（×）解析：sinα=sinβ不一定成立，如α=π/2，β=3π/2时，sinα=sinβ=1，但α≠β。2.函数y=2sin(2x-π/4)的图像关于原点对称。（×）解析：由2sin(2x-π/4)=0时，x=kπ+π/8，图像不关于原点对称。3.若α是锐角，且sinα=1/2，则α=π/6。（√）解析：由sinα=1/2，且α是锐角，得α=π/6。4.函数y=cos(x+π/3)的图像向左平移π/3个单位后，得到的函数图像对应的函数解析式为y=cosx。（√）解析：y=cos(x+π/3)向左平移π/3个单位，得y=cos[(x+π/3)+π/3]=cosx。5.函数y=3sin(2x+π/4)的振幅为3，周期为π。（√）解析：振幅为3，周期为2π/2=π。6.若cosα=cosβ，则α=β。（×）解析：cosα=cosβ不一定成立，如α=π/3，β=5π/3时，cosα=cosβ=1/2，但α≠β。7.函数y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)的值域为[-1/2,1/2]。（√）解析：y=sin(x+π/6)cos(x-π/6)=sin²(x-π/6)，值域为[0,1/2]。8.函数y=2cos²x-1的解析式可化为y=cos(2x)。（√）解析：y=2cos²x-1=cos(2x)。9.函数y=4sin(3x+π/3)的图像关于直线x=π/2对称。（×）解析：由3x+π/3=kπ+π/2，得x=(kπ+π/6)/3，图像不关于x=π/2对称。10.函数y=3sin(2x-π/4)+1的图像关于y轴对称。（×）解析：由2x-π/4=kπ+π/2，得x=(kπ+3π/8)/2，图像不关于y轴对称。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若f(π/4)=1，且周期为π，求ω和φ的值。解析：由周期为π，得ω=2，又f(π/4)=1，即sin(2×π/4+φ)=1，得2×π/4+φ=2kπ+π/2，即φ=2kπ-π/4，取k=0，得φ=-π/4。2.已知α是锐角，且tanα=2，求sinα的值。解析：由tanα=2，得sinα/cosα=2，即sinα=2cosα，又sin²α+cos²α=1，代入得4cos²α+cos²α=1，即5cos²α=1，得cosα=√5/5，故sinα=2cosα=2√5/5。3.函数y=3sin(2x-π/4)的最小正周期是多少？解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。4.函数y=cos²x-sin²x的解析式可化为多少？解析：y=cos²x-sin²x=cos(2x)。5.若函数f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/3处取得最大值1，求φ的可能取值。解析：由最大值1，得ωπ/3+φ=2kπ+π/2，即φ=2kπ+π/2-ωπ/3。6.函数y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)的解析式可化为多少？解析：y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)=sin(2x+π/6)。7.函数y=4sin(3x+π/3)的振幅是多少？解析：振幅为4。8.函数y=3cos²x-3sin²x的解析式可化为多少？解析：y=3cos²x-3sin²x=3cos(2x)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，求边AB的长度。解析：由三角形内角和定理得角C=75°，根据正弦定理可得AB=BC•sinC/sinA=6×sin75°/√2≈6×(√6+√2)/4÷√2=3(√6+√2)/4≈4.62。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移π/6个单位后，求新函数的解析式。解析：y=2sin[3(x-π/6)+π/4]=2sin(3x-π/2+π/4)=2sin(3x-π/12)。3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的振幅为3，周期为π/2，且图像过点(π/4,3)，求解析式。解析：由振幅为3，得A=3，周期为π/2，得ω=4，又图像过点(π/4,3)，则3sin(4×π/4+φ)=3，即sin(π+φ)=1，得φ=-π/2，故解析式为y=3sin(4x-π/2)。4.函数y=cos²x-sin²x+1的值域是多少？解析：y=cos²x-sin²x+1=cos(2x)+1，由cos(2x)的值域为[-1,1]，故y的值域为[0,2]。5.函数y=3sin(2x-π/4)+1的最小正周期是多少？解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。6.函数y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)的最小正周期是多少？解析：y=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)=sin(2x+π/6)，周期T=2π/2=π。7.函数y=4sin(3x+π/3)的振幅是多少？解析：振幅为4。8.函数y=3cos²x-3sin²x的解析式可化为多少？解析：y=3cos²x-3sin²x=3cos(2x)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.B5.A6.A7.A8.B9.B10.A二、填空题1.-√3/22.π3.2kπ-π/4（k∈Z）4.sin(2x+π/6)5.-√3/32.3cos(2x)7.4，2π8.π/99