2026年黑龙江省高三数学第6章极限习题解析

2026年黑龙江省高三数学第6章极限习题解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，若存在正数M，使得对任意n∈N，都有|a_n|≤M，则称数列{a_n}有界。下列数列中，有界的是（）A.a_n=(-1)^nnB.a_n=1/nC.a_n=n^2/(n^2+1)D.a_n=log(n+1)解析：数列{a_n}有界的定义是存在正数M，使得对任意n∈N，|a_n|≤M。A选项中，当n→+∞时，|a_n|→+∞，故无界；B选项中，当n→+∞时，a_n→0，且|a_n|≤1，故有界；C选项中，当n→+∞时，a_n→1，且|a_n|≤1，故有界；D选项中，当n→+∞时，a_n→+∞，故无界。正确答案为B、C。2.若函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x→1时极限存在，则f(1)的值应为（）A.0B.1C.2D.不存在解析：函数f(x)在x→1时的极限为：lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2由于极限存在，根据极限的唯一性，f(1)的值应为2。正确答案为C。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=1/nB.a_n=1/(n+1)C.a_n=1/n^2D.a_n=1/(n(n+1))解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n正确答案为D。4.若函数f(x)=(3^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为（）A.0B.1C.3D.ln3解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(3^x-1)/x=lim(x→0)(3^xln3)=ln3正确答案为D。5.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则数列{a_n}的极限为（）A.1B.2C.3D.+∞解析：数列{a_n}的递推关系为a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_n-1，即b_n=1所以a_n+1=1，即a_n=0故数列{a_n}的极限为0正确答案为A。6.若函数f(x)=(sinx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为（）A.0B.1C.πD.不存在解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(sinx)/x=1正确答案为B。7.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}的极限为（）A.1B.2C.3D.+∞解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n当n→+∞时，a_n→0正确答案为A。8.若函数f(x)=(e^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为（）A.0B.1C.eD.1/e解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=1正确答案为B。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n，则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=3^nB.a_n=3^(n-1)C.a_n=2^nD.a_n=2^(n-1)解析：数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1，所以通项公式为a_n=3^(n-1)正确答案为B。10.若函数f(x)=(tanx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为（）A.0B.1C.πD.不存在解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(tanx)/x=lim(x→0)(sinx)/(xcosx)=lim(x→0)(sinx)/x1/cosx=1正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x→1时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：2解析：函数f(x)在x→1时的极限为：lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：a_n=-1/2^n解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n3.若函数f(x)=(3^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：ln3解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(3^x-1)/x=lim(x→0)(3^xln3)=ln34.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则数列{a_n}的极限为________。参考答案：0解析：数列{a_n}的递推关系为a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_n-1，即b_n=1所以a_n+1=1，即a_n=0故数列{a_n}的极限为05.若函数f(x)=(sinx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：1解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(sinx)/x=16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}的极限为________。参考答案：0解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n当n→+∞时，a_n→07.若函数f(x)=(e^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：1解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=18.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n，则数列{a_n}的通项公式为________。参考答案：3^(n-1)解析：数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1，所以通项公式为a_n=3^(n-1)9.若函数f(x)=(tanx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：1解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(tanx)/x=lim(x→0)(sinx)/(xcosx)=lim(x→0)(sinx)/x1/cosx=110.若函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x→1时极限存在，则该极限的值为________。参考答案：2解析：函数f(x)在x→1时的极限为：lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x→a时极限存在，则f(x)在x=a处必有定义。×解析：函数f(x)在x→a时极限存在，并不意味着f(x)在x=a处必有定义。例如，函数f(x)=1/x在x→0时极限不存在，但f(0)可以定义为任意值。2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}是等比数列。×解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n数列{a_n}是等比数列，公比为-1/23.若函数f(x)=(3^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为3。×解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(3^x-1)/x=lim(x→0)(3^xln3)=ln34.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则数列{a_n}的极限为无穷大。×解析：数列{a_n}的递推关系为a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_n-1，即b_n=1所以a_n+1=1，即a_n=0故数列{a_n}的极限为05.若函数f(x)=(sinx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为π。×解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(sinx)/x=16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，则数列{a_n}的极限为1。×解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n当n→+∞时，a_n→07.若函数f(x)=(e^x-1)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为1/e。×解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=18.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n，则数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n。×解析：数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1，所以通项公式为a_n=3^(n-1)9.若函数f(x)=(tanx)/x在x→0时极限存在，则该极限的值为1。√解析：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(tanx)/x=lim(x→0)(sinx)/(xcosx)=lim(x→0)(sinx)/x1/cosx=110.若函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x→1时极限存在，则该极限的值为2。√解析：函数f(x)在x→1时的极限为：lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=2四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数极限的定义。答：函数f(x)在x→a时的极限为L，是指对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。2.简述数列极限的定义。答：数列{a_n}的极限为L，是指对于任意ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，有|a_n-L|<ε。3.简述等比数列的通项公式。答：等比数列的通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，其中a_1为首项，q为公比。4.简述等差数列的通项公式。答：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。5.简述函数极限的运算法则。答：函数极限的运算法则包括：（1）加法法则：lim(x→a)[f(x)+g(x)]=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)（2）减法法则：lim(x→a)[f(x)-g(x)]=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)g(x)（3）乘法法则：lim(x→a)[f(x)g(x)]=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)（4）除法法则：lim(x→a)[f(x)/g(x)]=lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)（g(x)≠0）6.简述数列极限的运算法则。答：数列极限的运算法则包括：（1）加法法则：lim(n→+∞)[a_n+b_n]=lim(n→+∞)a_n+lim(n→+∞)b_n（2）减法法则：lim(n→+∞)[a_n-b_n]=lim(n→+∞)a_n-lim(n→+∞)b_n（3）乘法法则：lim(n→+∞)[a_nb_n]=lim(n→+∞)a_nlim(n→+∞)b_n（4）除法法则：lim(n→+∞)[a_n/b_n]=lim(n→+∞)a_n/lim(n→+∞)b_n（b_n≠0）7.简述函数极限的保号性。答：若lim(x→a)f(x)=L>0（或L<0），则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0）。8.简述数列极限的保号性。答：若lim(n→+∞)a_n=L>0（或L<0），则存在N∈N，使得当n>N时，有a_n>0（或a_n<0）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，求lim(x→1)f(x)。解：函数f(x)在x→1时的极限为：lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=lim(x→1)(x+1)=22.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，求lim(n→+∞)a_n。解：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n当n→+∞时，a_n→03.已知函数f(x)=(3^x-1)/x，求lim(x→0)f(x)。解：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(3^x-1)/x=lim(x→0)(3^xln3)=ln34.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_n的通项公式及lim(n→+∞)a_n。解：数列{a_n}的递推关系为a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_n-1，即b_n=1所以a_n+1=1，即a_n=0故数列{a_n}的极限为05.已知函数f(x)=(sinx)/x，求lim(x→0)f(x)。解：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(sinx)/x=16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，求a_n的通项公式及lim(n→+∞)a_n。解：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得：a_n=S_n/S_n-S_n/(S_n-1)=1-1/(S_n-1)又因为a_n=S_n-S_{n-1}，所以：S_n-S_{n-1}=1-1/(S_n-1)整理得：S_n^2-S_n-S_{n-1}^2+S_{n-1}=0即(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}-1)=0由于S_n-S_{n-1}=a_n>0，故S_n+S_{n-1}-1=0即S_n=1-S_{n-1}又S_1=1，故S_n=1/2^n所以a_n=S_n-S_{n-1}=1/2^n-1/2^{n-1}=-1/2^n当n→+∞时，a_n→07.已知函数f(x)=(e^x-1)/x，求lim(x→0)f(x)。解：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=18.已知函数f(x)=(tanx)/x，求lim(x→0)f(x)。解：函数f(x)在x→0时的极限为：lim(x→0)(tanx)/x=lim(x→0)(sinx)/(xcosx)=lim(x→0)(sinx)/x1/cosx=1【标准答案及解析】一、单项选择题1.B、C2.C3.B4.D5.A6.B7.A8.B9.B10.B二、填空题1.22.a_n=-1/2^n3.ln34.05.16.07.18.3^(n-1)9.110.2三、判断题1.×2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.√10.√四、简答题1.函数f(x)在x→a时的极限为L，是指对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。2.数列{a_n}的极限为L，是指对于任意ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，有|a_n-L|<ε。3.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^(n-1)，其中a_1为首项，q为公比。4.等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。5.函数极限的运算法则包括：（1）加法法则：lim(x→a)[f(x)+g(x)]=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)（2）减法法则：lim(x→a)[f(x)-g(x)]=lim(x→a)f(x)-lim(x→a)g(x)（3）乘法法则：lim(x→a)[f(x)g(x)]=lim(x→a)f(x)lim(x→a)g(x)