《建筑力学》课件-6.单跨静定梁弯曲时的内力与强度计算

1《建筑力学》

——6.1单跨静定梁弯曲时的内力计算本节内容6.1单跨静定梁弯曲时的内力计算6.1.1平面弯曲的概念6.1.2梁的计算简图6.1.3弯曲内力―剪力和弯矩3一、弯曲变形梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。§6.1.1平面弯曲的概念6.1单跨静定梁弯曲时的内力计算对称轴平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。

Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴5一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。二、载荷简化计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。1.集中力(N，kN)Pq载荷集度q：mm2.集中力偶(Nm，kNm)3.分布载荷(N/m，kN/m)§6.1.2梁的计算简图火车轮轴简化吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷楼房的横梁：阳台的挑梁：①固定铰支座：2个约束②可动铰支座：1个约束三、支座简化③固定端：3个约束XAYAMAFAxFAyAAAAAAFAA10四、静定梁的三种基本形式①简支梁(simplebeam)③悬臂梁(cantileverbeam)静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和内力。②

外伸梁(overhangingbeam)计算方法：截面法例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力RA和RB(2)取左段梁为研究对象：MFS§6.1.3弯曲内力——剪力和弯矩MFSRBmxF1aABF2m11xCF1RARARB12内力的正负规定:①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。或者说：左上右下的FS为正，反之相反。②弯矩M：使梁下凸变形的弯矩为正；使梁上凸变形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。

FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)13[例6-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。解：1-1截面:qqlab1122x1qlx2qlFS1M1FS2M22-2截面:14另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。15AB1122FM0=Faaaaa[例6-2]：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力和弯矩。RARB解：（1）求支反力RA

、RB1-1截面:（2）求截面内力2-2截面:课后小结：1、理解梁平面弯曲的概念及其受力特点、变形特点；2、会用截面法计算梁的剪力和弯矩.17《建筑力学》

——6.2单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法本节内容6.2单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法6.2.1内力方程法6.2.2微分关系法6.2.3叠加法和区段叠加法191.内力方程：2.剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。6.2.1内力方程法xM

6.2单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法20[例6-3]

列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABqRARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)(3)绘制剪力图、弯矩图ql/2ql/2-++ql2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。21解:(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：RAxFS(x)M(x)CB段：FS(x)M(x)RAxFFb/lFa/l-++Fab/l在集中力F作用点处，FS图发生突变，M图出现尖角。FSxABFalbCRBRAMx22MFS(x)M(x)FS(x)M(x)在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。解：(1)计算支反力：(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。AC段：CB段：RARBxlabABmCRAxRAxm(3)绘制剪力图、弯矩图：m/l+-+ma/lmb/lFSx23[例6-4]

求下列外伸梁的内力方程并画内力图。解：(1)计算支反力：a2aqCBA(2)列剪力、弯矩方程：以A为原点。xRARB+-FsM-在集中力作用处，Fs

图发生突变，M图对应处有一尖角。（3）画内力图：24[例6-5]

求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。从右往左取研究对象从左往右取研究对象FFSqlFSlFlqFlMM25lMMMFsFs＝0总结得以下规律：（1）形状规律：（2）突变规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突变，突变值等于集中力的大小，在M图的相应处有一尖角（b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs图的相应处无变化。（3）分段规律：262.几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q图特征M图特征CPCM水平直线xQ>0Q<0x斜直线xxxC自左向右突变xC无变化斜直线xMxM曲线xMxM自左向右折角自左向右突变xM

MxM1M227利用以上特征1.可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2.可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。6.2.2微分关系法28对dx

段进行平衡分析：dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dx剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。6.2.2微分关系法29FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAM(x)+dM(x)M(x)弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。q(x)30作图步骤1.求支座反力，2.分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3.求每一段控制截面的FS、M值，4.按规律连线。31[例6-6]

作下列各图示梁的内力图。FSxaaqaqBCqa2xMqa--A相切32[例6-7]

作图示梁的内力图。qqa2qaABCDaaaqa/2MFSqa2/2qa2/2qa2/2+qa/2--+qa/2-6.2.3叠加法和区段叠加法(绘制内力图的第三种方法)

⒈叠加原理梁在n个荷载共同作用时所引起的某一参数(内力、支座反力、应力或变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理。⒉叠加法绘制弯矩图⑴将需要绘制弯矩图的梁等效为简单荷载分别作用下的几个梁。⑵分别绘制出梁在每个荷载作用下的弯矩图。⑶将各弯矩图中同一截面上的弯矩进行代数相加，即可得到梁在所有荷载作用下的弯矩图。[例6-8]用叠加法作图示简支梁的弯矩图。++⒊区段叠加法绘制弯矩图步骤：⑴分段，根据作用在梁上的荷载及支座情况分成若干区段，每一段都可以看成是一个由简单荷载作用下的简支梁。⑵将各区段当作简支梁，计算各区段端点截面上的弯矩值(即是该简支梁端点所受的集中力偶)。⑶根据叠加法在梁上绘制出各区段的弯矩图，即可得到全梁的弯矩图。[例6-9]用区段叠加法作图示外伸梁的弯矩图。解：⑴分段

⑵计算各区段端点截面上的弯矩值⑶用叠加法作出各区段的弯矩图[例6-9]用区段叠加法作图示外伸梁的弯矩图。解：⑴分段

⑵计算各区段端点截面上的弯矩值⑶用叠加法作出各区段的弯矩图⑷作全梁的弯矩图41一、选择题1、平面弯曲变形的特征是

。（A）弯曲时横截面仍保持为平面。（B）弯曲载荷均作用在同一平面内。（C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。（D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与

有关。（A）横截面形状。（B）横截面面积。（C）梁的材料。（D）载荷作用位置。本节习题423、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的

。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零，弯矩为零。（C）剪力和弯矩均为零。（D）剪力和弯矩均不为零。4、在下列说法中，

是正确的。（A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。（C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。431、二、作图题aaaFaFFFSM－FFa442、qFSMaa2a2qa2qa2qa5qa2qa3qaqa2qa22qa2－+－+453、qaqqa2/2aaaqaqaFSqaqaMqa2/2qa2/2－+－+课后小结：1、掌握画梁的内力图的基本方法及其规律；2、理解荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系；3、理解叠加原理；会用叠加法画弯矩图。47《建筑力学》

——6.3单跨静定梁弯曲时的强度计算本节内容6.3单跨静定梁弯曲时的强度计算6.3.1梁横截面上的最大正应力和剪应力6.3.2梁的强度条件6.3.3提高梁强度的措施6.3.1梁横截面上的最大正应力和剪应力

梁在弯曲时，横截面上一般既有剪力又有弯矩。显然，只有剪应力才能构成剪力，只有正应力才能构成弯矩。因此，梁在弯曲时，横截面一般将同时存在剪应力和正应力，分别称为弯曲剪应力和弯曲正应力。

1、纯弯曲和横力弯曲的概念

一、

纯弯曲试验与基本假设

梁在弯曲时，若各横截面上既有弯矩又有剪力，我们称之为横力弯曲；若梁上只有弯矩而无剪力时，我们称之为纯弯曲。DCD段属于纯弯曲，AC和DB段属于横力弯曲。51水利土木工程学院工程力学课程组实

验

现

象纯弯曲时梁横截面上的正应力52水利土木工程学院工程力学课程组1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。实

验

现

象纯弯曲时梁横截面上的正应力2、纯弯曲试验观察梁的变形，可以看到:（1）横向线m-m和n-n在变形后仍保持为直线，只是相对转过了一个微小角度，但仍保持与各纵向线垂直。（2）各纵向线变为圆弧线，且a1-a1缩短，b1-b1伸长。3、纯弯曲假设

根据以上变形现象，可以做出以下假设：（1）平面假设：梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，且保持与各纵向线垂直。（2）单向受力假设：设想梁是由无数纵向“纤维”组成，则各纵向“纤维”之间没有相互拉伸或挤压作用，均处于单向拉伸或压缩状态。

由平面假设和单向受力假设可知，梁在纯弯曲时，横截面上各点无剪应变，所以梁在纯弯曲时横截面上无剪应力，而只有正应力。从上图还可以看出，梁的下部纤维伸长，上部纤维缩短。由于变形的连续性，沿梁的高度必有一层纤维既不伸长也不缩短(如果把梁看成一层层纤维叠加而成)，这一纤维层称为中性层，如图所示。中性层与横截面的交线称为中性轴，用Z表示，。显然，它与横截面的纵向对称轴垂直，且可证明它通过横截面的形心。梁在纯弯曲时，各横截面绕中性轴做相对转动。

中性层中性轴截面形心二、

弯曲正应力一般公式

根据单向受力假设，各纵向纤维只受到单向拉伸或压缩作用，且越靠近中性层各纵向纤维变形越小。进一步分析可知，各纵纵向纤维的线应变与其到中性层的距离成正比，也即横截面上各点的线应变与点到中性轴的距离成正比，即其中y为所求应力点到中性轴的距离。ρ为中性层曲率半径。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，由虎克定律可知：

即纯弯曲梁横截面上任一点的正应力与其到中性轴的距离成正比，其应力分布图如图：rey=rsEy=弯曲正应力分布图:显然，中性轴上各点处的弯曲正应力均为零，距中性轴同一高度上各点的弯曲正应力相等。

进一步分析可知：zEIM=r1所以纯弯曲梁横截面上任一点的正应力公式为:zIMy=s为横截面上的弯矩。ò=AzAyId2为截面对Z轴的惯性矩，其大小和截面的形状和尺寸有关，单位为m或mm。

44为所求应力点到中性轴的距离

横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离(y)的最大值在离中性轴最远处即梁的上下边缘处弯曲正应力最大，其值为

zIMy=s令则zIMymaxmax=smaxyIWzz=zW称为抗弯截面模量，其大小也和截面的形状和尺寸有关单位为或。3m3mmzWM=maxs

上面两式已为试验所证实。以上公式虽然是在纯弯曲的情况下推出的，但精确分析表明，对于细长的非薄壁截面梁，只要梁的跨度与横截面高度之比（）大于5时，应用上述公式计算横力弯曲时的正应力仍然是相当准确的。

hl/三、惯性矩1．简单截面的惯性矩3121bhIz=261bhW=464DIzp=332DWzp=)()1(6444DdDIz=-=aap)()1(3243DdDWz=-=aap平面弯曲剪应力简介梁在横力弯曲时，横截面上既有弯矩又有剪力。因此，横力弯曲梁横截面上不仅存在弯曲正应力，还存在弯曲剪应力。下面就常见截面梁的弯曲剪应力进行简单介绍。

一、矩形截面梁横截面上的弯曲剪应力FQ如图所示矩形截面，当截面高度h大于宽度b时，对矩形截面上的弯曲剪应力可作如下的假设：1．各点处弯曲剪应力的方向均平行于剪力FQ

。t2．弯曲剪应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点处的剪应力相等。t)4(6)(223yhbhFyQ-=t由上式可见：

弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线规律分布，最大弯曲剪应力发生在中性轴上各点处（y=0）,其值为:

AFbhFQQ2323max==t

由此可见，矩形截面梁横截面上的最大弯曲剪应力为平均弯曲剪应力的1.5倍。FQ6.3.2平面弯曲强度条件及应用一、弯曲正应力强度条件

前面分析表明,一般情况下，梁的横截面上同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力。最大弯曲正应力发生在离中轴最远的各点处；最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处。因此，针对上述情况应该分别建立相应的强度条件。

梁的最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而这些点处的剪应力或为零或很小，这些点处于单向拉伸或压缩状态，所以梁的弯曲正应力强度条件为

即要求整个梁内的最大弯曲正应力不得超过材料在单向受力时的许用正应力。][)(maxmaxss£=zWM只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。

对于等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面，其弯曲正应力强度条件为

][maxmaxss£=zWM只适用于许用拉应力和许用压应力相等的塑性材料。

对于脆性材料的梁，由于许用拉应力［］和许用压应力[]不相等，所以应对梁内的最大拉应力

和梁内的最大压应力

分别进行校核，即

tscstmaxscmins][tmaxt£ss][cmaxc£ss应用弯曲正应力强度条件，可以解决弯曲强度校核，设计截面尺寸和确定许可载荷三类问题例1、

一简支梁，在全梁上受均布载荷的作用，己知梁的跨长为l=500mm,其横截面为矩形,高度h=12mm,宽度

b=8mm，均布载荷的集度q=1kN/m,材料的许用应力

[σ]=170MPa，试按弯曲正应力校核该梁的强度。

解：(1)画弯矩图FAFB

最大弯矩发生在梁的跨中截面C，故截面C为危险截面。mmN3125085001822max.=×==qlM（2）强度计算3221921286161mmbhWz=××==MPa170MPa7.16219231250maxmax£===zWMs所以，梁的强度足够。例2、

一等截面简支梁的受力情况及截面尺寸如图所示，已知截面为矩形，h=2b,FP=12kN,材料的许用应力[σ]=80MPa,试确定截面尺寸。解：(1)画弯矩图

最大弯矩发生在C截面上，故截面C为危险截面。xM(a)(+)FPm.kN76.5max=M

(2)强度计算根据强度条件取取取][maxmaxss£=zWM有3333maxmm107280101076.5][×=××=³sMWz33210723261׳==bbhWzmm7.47³b取，mm48=bmm96=h6.3.3提高梁强度的主要措施

一般情况下，梁的强度是由弯曲正应力控制的。所谓提高梁的弯曲强度是指用尽可能少的材料，使梁能够承受尽可能大的载荷，达到既经济又安全、减轻结构重量等目的。工程中常见的提高梁强度的措施有以下几种。1．选择合理的截面形状使

尽可能大。AWZ即用少的材料获得比较大的抗弯截面模量，从而降低最大弯曲正应力，达到提高弯曲强度的目的。（1）对于一定的WZ值，选择合理的截面形状，使截面积尽可能小。如采用工字型截面要比采用矩形截面更合理。

（2）对于一定的横截面积

A，选择合理的截面形状，使其WZ值尽可能大

。如矩形截面竖放要比横放更合理。

上述措施可以从梁横截面上弯曲正应力分布找到解释。在弹性范围内，弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，距中性轴愈远的点正应力愈大