电路与电工技术（第三版） 课件 单元4-电路的暂态分析

电路与电工技术（第三版）广东省”十四五”职业教育规划教材单元1电路模型和电路的基本定理单元2电阻电路的基本分析方法和定理单元3交流电路的分析单元4电路的暂态分析单元5磁路与铁芯线圈电路单元6交流电动机单元7低压电器与继电接触器控制系统目录单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.6内容提要：本章主要介绍动态电路的基本概念，并介绍了RC、RL电路的时域分析过程和方法，及求解一阶电路的三要素法。重点：用经典法和三要素法求解RC、RL一阶电路。难点：应用换路定律画初始电路，用经典法求解一阶电路。单元4电路的暂态分析单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.64.1电路稳态和暂态的基本概念

在前几章的学习中，若电路中涉及到的元件都是电阻特性时，电源一旦接通或断开，电压电流马上产生跳变，电路在此瞬间直到下一次结构或参数变化，保持同一状态不再改变，这种状态称为稳定状态，即稳态。

当电路中含有储能元件如电感、电容元件，且电路结构或参数改变时，由于它们的记忆惯性，储能元件的能量不能突变，也即电容电压和电感电流不能跃变，其值与初值有关，电路需逐渐稳定，从旧的稳定状态达到新的稳定状态需要持续一段时间，即存在一个暂态的过程，这种过渡过程定义为动态过程。而电路结构或参数的突然改变，如电闸的开、关，称为换路，一般默认在t=0时刻发生。4.1电路稳态和暂态的基本概念

开关S在t=0时刻闭合，假设电容元件C原来没有能量储存，试分析下图电路在换路前后的状态。换路前:t<0，S断开，uc=0，电路处于旧的稳定状态;

换路中:t=0，S动作，uc(0)=0，；换路后:t>0，S闭合，电容C逐渐充电，uc(t)随着时间逐渐增大，则逐渐减小，直到Us=uc(t)，即i(t)=0，电路达到新的稳定状态。单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.64.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

动态过程中电路各处的电压和电流，称为动态响应，uc(t)由0逐渐增加到Us的过程称为该电路的动态过程，t=0时刻的变化为换路。

将电路动态过程起始时刻(即t=0+时刻)的电压、电流值，称为动态电路的初始条件。4.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

参照经典法，我们通过基尔霍夫电压、电流定理（KVL、KCL）和元件电压与电流关系（VCR）建立以时间为自变量的线性常微分方程，并根据电路的初始条件确定方程中的积分常数，从而求解出方程中的变量，获得电路的电压、电流值。电容C指的是在一定的电位差下储存的电荷量，根据电容特性可知，在有限的电容电流下，电容电量不能跳变。因此，在任意时间t，电荷与电流的关系为：

电容电压则为：4.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

其中、和分别为电容的电荷、电流和电压。为研究换路前后的变化，令上式中的，则（4.1）

由于在换路前后，t=0-和t=0+之间无穷趋近，没有间隔的，而且电流为有限值，故积分

。故得（4.2）

式（4.2）表明电容电荷（电压）在电容电流有限的情况下，完全遵循了电荷守恒定理，即电容电荷值（电压）在换路前后不产生跳变。4.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

同样的，电感L指的是电流改变时，因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势。在一定的电感电压下，电感电流不能跳变。因此，在任一时刻t，线性电感的磁通链、电流与电压的关系为

其中、和分别为电感的磁通链、电流和电压。为研究换路前后的变化，令上式中的，则得

4.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

由于在换路前后，t=0-和t=0+之间无穷趋近，没有间隔的，而且电压为有限值，故积分

。故得

（4.4）

式（4.4）表明电感磁通链（电流）在电感电压有限的情况下，完全遵循了磁链守恒定理，即电感磁通链（电流）在换路前后不产生跳变。4.2换路定律及初始值的确定4.2.1换路定律

换路前后，若电容电压和电感电流有限时，换路瞬间电容电压和电感电流不能跃变，这种现象称为换路定律。该定律也可以从能量角度来证明：电场能量，电磁能量，且物体所具有的能量不能跃变

在以上的证明过程中我们可以看出，换路定律成立的前提条件是电容电压和电感电流在换路前后保持为有限值。，，且故

由上节的推导可知，换路定律可用于换路瞬间以确定动态过程中的初始值和。例4.1如下图4.2所示，动态电路中为直流电压源大小。当各元件电压和电流稳定不变时，开关S断开。试求和。有由换路定律4.2换路定律及初始值的确定4.2.2初始值的确定根据上例，我们可以得到确定电路初始值的一般步骤：1．依据换路前的电路稳态，求得与2．根据换路定则，求得与3．结合刚得到的初始值与，依据戴维南定理或诺顿定理，并将和分别用电压源和电流源代替，画时刻的等效电路，再将该等效电路按直流电路方式求得所需变量的大小。4.2换路定律及初始值的确定4.2.2初始值的确定单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.64.3储能元件电路的暂态分析

储能元件电感与电容元件相似，都具有记忆惯性的特点。在电路结构或参数改变时，元件的能量不能突变，即电感电流不能跃变，其值与初值有关，因此，分析RL电路的方法与分析RC电路的方法也类似，本节将统一作简略叙述。4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应RC、RL电路中，没有外加激励(即输入信号为零)的情况下，换路后由储能元件(电容)初始状态

引起的电路动态响应，称为RC、RL电路的零输入响应。下面我们将以RC电路中电容元件的放电过程为例。在t=0时刻闭合开关S，换路前，电容C已充电完毕，电压大小

。

若将开关S闭合瞬间（t=0）作为起点，闭合开关S后，根据KVL定理可知4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应在t=0时刻闭合开关S，换路前，电容C已充电完毕，电压大小

。

若将开关S闭合瞬间（t=0）作为起点，闭合开关S后，根据KVL定理可知联合VCR、电容特性

，得到一阶齐次微分方程（4.5）4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应在t=0时刻闭合开关S，换路前，电容C已充电完毕，电压大小

。依据换路定律有，初始条件由数学定理，我们假设方程（4.5）的通解为则，积分常数且4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应在t=0时刻闭合开关S，换路前，电容C已充电完毕，电压大小

。其特征方程为（4.6）其特征根为（4.7）所以电容电压为

（4.8）

其中，这就是换路后电容元件放电过程的表达式。而电路中的电流（4.9）

4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应

令τ=RC，则其量纲可见，τ（乘积RC）是具有时间量纲的，所以我们称它为一阶电路的时间常数。τ值在一阶动态电路中有极其重要的物理意义：

（1）当t=τ时，。这表明动态过程中，电压需要经过时间τ才能衰减到。如下图4.6（a）所示：

（2）不论单独改变电阻R，还是单独改变电容C，都能使τ值改变。图4.6（b）表示了相同初始电容电压在不同τ值下，电压随时间衰减的情况。由图可知，τ值直接影响着电容放电的速度。时间常数τ愈小，电能的释放就愈缓慢，电路重新达到稳定状态所需要的时间久愈短。4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应τ值在一阶动态电路中有极其重要的物理意义：图4.6τ值及不同τ值的对比关系4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应τ值在一阶动态电路中有极其重要的物理意义：

在对比了下表4.1后，将电路重新返回稳定状态，即完成放电过程的时间，约定为t=（3~5）τ时间。表4.1和

随时间变化的情况4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应

例4.2如图4.7所示，电压源Us=6V，电阻R1=R2=1.5Ω，电容C=2F。换路前电容电压稳定。在t=0时刻，开关S由2跳换到1，试分析t≥0时，电压

和电流

。

由题意知，换路前电路稳定，所以，当时依换路定律，开关S由1转换到2瞬间，即t≥0时，电容C的串联支路与电压源Us断开，转而与电阻R2串联，故R=R1+R2=3Ω，同时电容开始放电。时间常数为4.3储能元件电路的暂态分析4.3.1零输入电路的响应

例4.2如图4.7所示，电压源Us=6V，电阻R1=R2=1.5Ω，电容C=2F。换路前电容电压稳定。在t=0时刻，开关S由2跳换到1，试分析t≥0时，电压

和电流

。

由式（4.8）得出由式（4.9）得出4.3储能元件电路的暂态分析4.3.2零状态电路的响应

类比零输入电路响应的概念，我们可知，当储能元件电路中电容（或电感）无储能，即电容电压初始状态

=0（或流过电感的电路初始值为i(0-)=i(0+)=0）时，换路后由外加激励(电源)产生的电路动态响应，称为储能电路的零状态响应。4.3储能元件电路的暂态分析4.3.2零状态电路的响应以RL串联电路为例，如图所示，在t=0时，将开关S从位置“2”转换到位置“1”，换路前，电路已稳定，即电感元件未储能，流过电感的电路初始值为i(0-)=i(0+)=0，换路瞬间，将开关S由位置“2”转换到位置“1”，电感与直流电压源US连接，由于电感特性，电流不能跳变而逐渐增加，电感内能量也逐渐增大。这种电感L储存电能的过程称为RL电路的零状态响应。电流初始值t=0时，将开关S由2置于位置1当t≥0时，依据换路定律4.3储能元件电路的暂态分析4.3.2零状态电路的响应当t≥0时，根据基尔霍夫电压定律得，根据电感特性，代入上式得一阶齐次微分方程

（4.10）由

得，

（4.11）4.3储能元件电路的暂态分析4.3.3储能元件电路的全响应

储能元件初始状态不为零，同时有外加激励(电源)作用引起的电路动态过程的响应，称为储能元件电路的全响应。全响应是零输入响应和零状态响应两者的叠加。4.3储能元件电路的暂态分析4.3.3储能元件电路的全响应

如图所示，开关S在t=0时刻闭合，假设电容元件C在换路前瞬间电压为U0，试分析下图电路在换路后的状态。

由题意可知，当t=0-时，根据换路定律得，开关S闭合后，t≥0时，得到微分方程得到积分常数所以电容元件两端的电压4.3储能元件电路的暂态分析4.3.3储能元件电路的全响应

如图所示，开关S在t=0时刻闭合，假设电容元件C在换路前瞬间电压为U0

，试分析下图电路在换路后的状态。又因为且所以或

从这一结果，我们很容易可以验证出，全响应是零输入响应和零状态响应两者的叠加，即全响应=零输入响应+零状态响应4.3储能元件电路的暂态分析4.3.3储能元件电路的全响应例4.4

如图所示，假设电流初始值，t=0时，将开关S由2置于位置1。当t=0时，电容电流初始值当t=+时，电容电流当t≥0时，依据VCR和电感特性，得一阶非齐次微分方程令，结合前面的推导，得或单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.64.4求解一阶电路的三要素法

不论是RC电路，还是RL电路，都属于一阶线性电路，这些电路的一阶线性微分方程都可以用

来表示，该方程的通解又可表示为由稳态分量（包括零值）和暂态分量两个分量叠加而成，式子如下

其中，

是电容电压或电感电流，

是稳态分量（强制分量），

是暂态分量(自由分量)。

只需要确定

、

和三“要素”的具体值，就能求得，即动态电路的电容电压或电感电流，从而确定电路的变化过程，我们将这种研究电路的方法称为三要素法。若t=0时初始值为

，则得4.4求解一阶电路的三要素法图4-15不同情况下的曲线4.4求解一阶电路的三要素法例4.5如图所示，先将开关S置于位置“1”上，使电容C的电压在直流电压源U1的作用下稳定后，再在t=0时刻将开关S转换到位置“2”，使电容C与直流电压源U2连接，试分析

t≥0时，该电路中电容C两端的电压uC。已知R=1Ω，C=1F，电压源电压U1=3V，U2=5V。确定初始值确定稳态值确定电路的时间常数4.4求解一阶电路的三要素法例4.6

如图所示，假设电流初始值，t=0时，将开关S由2置于位置1。(1)初始值，t=0+时，(2)稳态值(3)时间常数由上可得单元4

电路的暂态分析电路稳态和暂态的基本概念4.1换路定律及初始值的确定4.2储能元件电路的暂态分析4.3求解一阶电路的三要素法4.4LC振荡电路4.5应用举例4.64.5LC振荡电路4.5.1LC振荡电路

LC振荡电路，顾名思义，该电路是用电感L、电容C组成选频网络的振荡电路，用于产生高频正弦波信号，常见的LC正弦波振荡电路有变压器反馈式LC振荡电路、电感三点式LC振荡电路和电容三点式LC振荡电路。

LC振荡电路之所以有振荡，是因为该电路运用电容与电感的储能特性，使通电场能和磁场能这两种能量交替转化，简而言之，由于电能和磁能都有最大值和最小值，所以才有了振荡。4.5LC振荡电路4.5.2自由振荡的物理过程一开始给LC振荡电路一个激励，然后去掉，如果LC振荡电路在发生电磁振荡时不向外界空间辐射电磁波，而且在这个充放电的过程中，无分布电容电感的存在，电路阻抗Z=0，则整个电路中热能转换为0，则能量只在磁场能和电场能之间不断转换，这个过程我们称之为自由振荡。4.5LC振荡电路4.5.2自由振荡的物理过程

如图4-19所示,当开关S打到“1”位置时电容充电,当电容充电完毕时电场能达到最大,磁场能为零,回路中感应电流为0。此时我们将电容看作一个等效电压源。当开关S打到“2”位置时电容开始放电,于是,电场能开始逐渐减少,磁场能则开始逐渐增加,回路中电流也在增加,电容器上的电量减少。从能量的多少来看,就是电场能在向磁场能转化。最后,电容放电完毕,电场能为零,磁场能达到最大,回路中感应电流达到最大。4.5LC振荡电路4.5.2自由振荡的物理过程回路中感应电流达到最大后,电感又作为我们的等效电流源开始向电容充电,电场能开始增加,磁场能开始减小,回路中电流减小,电容器上电量增加。从能量角度来看,则是磁场能在向电场能转化。如此反复,产生大小和方向都随周期发生变化的电流,叫振荡电路,这是一种频率很高的交变电流,