新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.3 第2课时 组合数的性质及应用教案 新人教B版选择性必修第二册

新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3第2课时组合数的性质及应用教案新人教B版选择性必修第二册学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时教材分析新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理，第3.1.3节第2课时“组合数的性质及应用”是人教B版选择性必修第二册的重要内容。本节课通过探究组合数的性质，使学生掌握组合数计算公式及其应用，培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过组合数的性质探究，提升学生的逻辑思维能力和问题解决能力，同时强化数学与实际应用的联系，发展学生的创新意识和实践能力。重点难点及解决办法重点：组合数的计算公式及其应用。

难点：组合数的性质证明和理解。

解决办法：

1.通过实例引入，帮助学生理解组合数的实际意义，增强学习兴趣。

2.采用小组合作探究，引导学生发现和总结组合数的性质。

3.通过变式练习，加深学生对组合数计算公式的理解和应用。

4.结合实际问题，培养学生运用组合数解决实际问题的能力。

5.对于性质证明的难点，通过逻辑推理和类比方法，帮助学生逐步理解和掌握。教学方法与策略1.采用讲授法结合实例分析，讲解组合数的计算公式及其应用。

2.通过小组讨论，让学生探究组合数的性质，培养合作学习和解决问题的能力。

3.设计“组合数挑战”游戏，激发学生学习兴趣，提高课堂参与度。

4.利用多媒体展示组合数的实际应用案例，帮助学生理解数学与生活的联系。

5.运用在线资源和练习平台，提供个性化学习路径，强化知识巩固。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，今天我们来学习第3章排列、组合与二项式定理中的第3.1.3节“组合数的性质及应用”。在上一节课中，我们学习了组合数的计算公式，那么今天我们将进一步探究组合数的性质，并学习如何将这些性质应用到实际问题中。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.组合数的性质

（教师）首先，我们来回顾一下组合数的定义。组合数是从n个不同元素中，任取r个元素组成的子集的个数。用符号表示为C(n,r)。

（学生）明白了，老师。

（教师）接下来，我们要探究组合数的性质。首先，我们来看第一个性质：C(n,r)=C(n,n-r)。

（学生）这个性质我之前听说过，它是说组合数的值与取法无关，只与元素总数和取出的元素个数有关。

（教师）非常好，同学们。这个性质可以通过画图或者举例来理解。比如，从5个人中选出3个人，我们可以直接计算C(5,3)，也可以先选出2个人，再从剩下的3个人中选出1个人，这样计算C(5,2)再乘以C(3,1)。这两种方法得到的结果是相同的。

（学生）哦，我明白了，这个性质是关于组合数对称性的。

（教师）是的，这个性质说明了组合数的对称性。接下来，我们来看第二个性质：C(n,r)≤C(n,r-1)。

（学生）这个性质我也知道，它是说当我们从n个元素中选出r个元素时，如果我们只选出r-1个元素，那么选出的子集个数不会超过选出r个元素的情况。

（教师）正确，这个性质反映了组合数的递减规律。我们可以通过实例来验证这个性质。

（学生）好的，老师。

（教师）现在，让我们通过一个实例来验证这个性质。假设有5个苹果，我们要从中选出3个苹果，那么C(5,3)表示的是从5个苹果中选出3个苹果的组合数。如果我们只选出2个苹果，那么C(5,2)表示的是从5个苹果中选出2个苹果的组合数。显然，C(5,3)>C(5,2)。

（学生）明白了，老师。

2.组合数的性质应用

（教师）接下来，我们来学习如何应用组合数的性质解决实际问题。

（学生）好的，老师。

（教师）首先，我们来看一个例子。假设一个班级有5名学生，我们要从中选出3名学生参加比赛，那么有多少种不同的选法？

（学生）这个很简单，我们可以直接计算C(5,3)。

（教师）没错，C(5,3)=10，所以有10种不同的选法。

（学生）好的，老师。

（教师）接下来，我们来看一个更复杂的例子。假设一个班级有5名学生，我们要从中选出3名学生参加比赛，并且要求这3名学生中至少有1名女生。那么有多少种不同的选法？

（学生）这个有点复杂，我们可以先计算出所有可能的选法，然后减去没有女生的选法。

（教师）很好，这个思路是对的。我们可以先计算出所有可能的选法，即C(5,3)。然后，我们计算出没有女生的选法，即从4名男生中选出3名，即C(4,3)。最后，我们用所有可能的选法减去没有女生的选法，即C(5,3)-C(4,3)。

（学生）哦，我明白了，老师。

（教师）现在，我们来计算一下C(5,3)和C(4,3)的值。

（学生）C(5,3)=10，C(4,3)=4。

（教师）所以，有10-4=6种不同的选法。

（学生）好的，老师。

三、课堂练习

1.请同学们完成课本上的练习题，巩固所学知识。

（学生）好的，老师。

2.教师巡视课堂，解答学生疑问。

（学生）老师，这个题目我不会做，能帮我解答一下吗？

（教师）当然可以，你先读一下题目，然后告诉我你的思路。

（学生）好的，老师。

（教师）根据你的思路，我们可以这样解答...

（学生）哦，我明白了，谢谢老师。

四、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了组合数的性质及应用。通过这节课的学习，我们掌握了组合数的计算公式及其应用，并学会了如何运用组合数的性质解决实际问题。

（学生）是的，老师，这节课我学到了很多。

（教师）很好，希望大家能够将所学知识应用到实际生活中，提高自己的数学素养。

五、布置作业

1.完成课本上的课后习题，巩固所学知识。

（学生）好的，老师。

2.预习下一节课的内容，提前了解排列的相关知识。

（学生）好的，老师。

六、课堂总结

（教师）今天的课程到此结束，希望大家能够认真完成作业，预习下一节课的内容。下课！知识点梳理1.组合数的定义：从n个不同元素中，任取r个元素组成的子集的个数，用符号表示为C(n,r)。

2.组合数的计算公式：C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]，其中n!表示n的阶乘。

3.组合数的性质：

-C(n,r)=C(n,n-r)：组合数的值与取法无关，只与元素总数和取出的元素个数有关。

-C(n,r)≤C(n,r-1)：当从n个元素中选出r个元素时，如果我们只选出r-1个元素，那么选出的子集个数不会超过选出r个元素的情况。

4.组合数的性质应用：

-通过组合数的性质解决实际问题，如计算不同选法的数量、确定特定条件下的选法数量等。

5.组合数的递推关系：

-C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)：组合数的递推公式，用于计算较大的组合数。

6.组合数的对称性：

-C(n,r)=C(n,n-r)：组合数的对称性，说明组合数的值与取法无关。

7.组合数的性质证明：

-利用组合数的定义和性质，通过逻辑推理和举例证明组合数的性质。

8.组合数的实际应用：

-在概率论、统计学、计算机科学等领域，组合数被广泛应用于解决实际问题。

9.组合数的计算方法：

-直接计算法：直接应用组合数的计算公式计算组合数。

-递推法：利用组合数的递推关系计算组合数。

-对称法：利用组合数的对称性计算组合数。

10.组合数的应用实例：

-计算排列数：C(n,r)可以用来计算从n个不同元素中取出r个元素的排列数。

-解决实际问题：利用组合数的性质解决实际问题，如组合计数、概率计算等。

11.组合数的扩展：

-组合数的推广：将组合数的概念推广到其他数学领域，如多重集合组合数、非标准组合数等。

-组合数的应用领域：组合数在数学、物理学、计算机科学、经济学等领域的广泛应用。课后作业1.证明：C(n,r)=C(n,n-r)。

解：根据组合数的定义，C(n,r)=n!/[r!*(n-r)!]和C(n,n-r)=n!/[(n-r)!*r!]，因此C(n,r)=C(n,n-r)。

2.计算下列组合数：

-C(8,3)

解：C(8,3)=8!/[3!*(8-3)!]=(8*7*6)/(3*2*1)=56。

-C(5,2)

解：C(5,2)=5!/[2!*(5-2)!]=(5*4)/(2*1)=10。

3.一个班级有10名学生，从中选出4名学生参加数学竞赛，有多少种不同的选法？

解：这是一个典型的组合问题，我们需要计算C(10,4)。

C(10,4)=10!/[4!*(10-4)!]=(10*9*8*7)/(4*3*2*1)=210种不同的选法。

4.一个篮球队有5名球员，教练需要从中选出3名球员参加比赛，有多少种不同的选法？

解：同样，这是一个组合问题，计算C(5,3)。

C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=(5*4)/(2*1)=10种不同的选法。

5.从5个不同的城市中选择3个城市进行旅游，有多少种不同的选择方式？

解：这也是一个组合问题，计算C(5,3)。

C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=(5*4)/(2*1)=10种不同的选择方式。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本上的课后习题，特别是那些涉及到组合数性质和应用的题目，如第3.1.3节后的练习题。

2.设计一个实际情境，运用组合数的知识来解决。例如，假设有一个图书馆有10本书，要求学生计算有多少种不同的方式从这些书中选出3本书。

3.尝试证明组合数的性质C(n,r)=C(n,n-r)。

4.计算以下组合数并解释其意义：

-C(7,4)

-C(6,2)

5.选取一个与日常生活相关的场景，如生日派对上的蛋糕切割，应用组合数的知识来解释。

作业反馈：