2025-2026年云南省苏教版高二数学选修第5章专项训练题库

2025-2026年云南省苏教版高二数学选修第5章专项训练题库一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学选修第5章《数列》中，已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+2n，则数列{a_n}的通项公式a_n等于（）A.6n+2B.3n+1C.6n-1D.3n-2解析：由S_n=3n^2+2n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，验证n=1时成立，故通项公式为a_n=6n-1。2.已知等差数列{a_n}的首项为-10，公差为6，若数列的第k项与第m项（k≠m）的乘积为-504，则k+m的值为（）A.16B.17C.18D.19解析：由等差数列通项公式a_n=-10+6(n-1)=6n-16，设a_k•a_m=-504，则(6k-16)(6m-16)=-504，化简得6k•6m-96(k+m)+256=-504，即36km-96(k+m)+756=0，解得k+m=18。3.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.2D.-2解析：由等比数列性质b_5=b_3•q^2，代入b_3=8，b_5=32得32=8q^2，解得q=±2。4.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n(n≥2)，则c_10的值为（）A.55B.56C.57D.58解析：由递推关系可得c_n=c_{n-1}+n=c_{n-2}+n-1+...+c_1+n-1+...+n，即c_n=1+2+...+n=1+1/2•n(n+1)=n(n+1)/2，代入n=10得c_10=55。5.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列的通项公式a_n等于（）A.2^nB.2^{n-1}C.2^n-1D.2^{n+1}-1解析：当n=1时，a_1=S_1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时成立，故a_n=2^{n-1}。6.在等差数列{e_n}中，若e_1=2，e_4+e_7=22，则数列的公差d等于（）A.2B.3C.4D.5解析：由等差数列通项公式e_n=2+（n-1）d，代入e_4+e_7=22得[2+3d]+[2+6d]=22，解得d=3。7.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列的通项公式f_n等于（）A.2nB.2n-1C.2n+1D.n^2解析：当n=1时，f_1=T_1=2；当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+n-1]=2n，验证n=1时成立，故f_n=2n。8.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，则数列的公比q等于（）A.3或-3B.9或-9C.3D.-3解析：由等比数列性质g_4=g_2•q^2，代入g_2=6，g_4=54得54=6q^2，解得q=±3。9.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n=h_{n-1}+n(n≥2)，则h_8的值为（）A.36B.37C.38D.39解析：由递推关系可得h_n=h_{n-1}+n=h_{n-2}+n-1+...+h_1+n-1+...+n，即h_n=1+2+...+n=1+1/2•n(n+1)=n(n+1)/2，代入n=8得h_8=36。10.若数列{i_n}的前n项和U_n=3^n-1，则数列的通项公式a_n等于（）A.3^nB.3^{n-1}C.3^n-1D.3^{n+1}-1解析：当n=1时，a_1=U_1=2；当n≥2时，a_n=U_n-U_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2•3^{n-1}，验证n=1时成立，故a_n=2•3^{n-1}。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15得15=5+4d，解得d=2.5。2.已知等比数列{b_n}的公比q=2，若b_3=16，则数列的首项b_1等于______。解：由等比数列通项公式b_n=b_1•q^{n-1}，代入b_3=16，q=2得16=b_1•2^2，解得b_1=4.3.在等差数列{c_n}中，若c_4+c_7=22，则数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式c_n=c_1+(n-1)d，代入c_4+c_7=22得[c_1+3d]+[c_1+6d]=22，化简得2c_1+9d=22，因未给出c_1，无法确定d值。4.已知数列{d_n}满足d_1=2，d_n=2d_{n-1}+1(n≥2)，则数列的通项公式a_n等于______。解：由递推关系可得d_n-1=2(d_{n-1}-1)，即d_n-1=2^{n-1}(d_1-1)=2^{n-1}，故d_n=2^{n-1}+1。5.在等比数列{e_n}中，若e_2=6，e_5=162，则数列的公比q等于______。解：由等比数列性质e_5=e_2•q^3，代入e_2=6，e_5=162得162=6q^3，解得q=3.6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+3n，则数列的通项公式a_n等于______。解：当n=1时，a_1=T_1=4；当n≥2时，a_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+3n)-[(n-1)^2+3(n-1)]=2n+2，验证n=1时成立，故a_n=2n+2.7.在等差数列{g_n}中，若g_1=3，g_6=21，则数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式g_n=g_1+(n-1)d，代入g_1=3，g_6=21得21=3+5d，解得d=3.6.8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n=h_{n-1}+2n(n≥2)，则h_5的值为______。解：由递推关系可得h_n=h_{n-1}+2n=h_{n-2}+2(n-1)+2n=...+h_1+2(1+2+...+n)=1+2•n(n+1)/2=n(n+1)+1，代入n=5得h_5=31.9.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_6=64，则数列的公比q等于______。解：由等比数列性质i_6=i_3•q^3，代入i_3=8，i_6=64得64=8q^3，解得q=2.10.已知数列{j_n}的前n项和S_n=4^n-1，则数列的通项公式a_n等于______。解：当n=1时，a_1=S_1=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(4^n-1)-(4^{n-1}-1)=3•4^{n-1}，验证n=1时成立，故a_n=3•4^{n-1}.三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则数列的通项公式a_n=4n+1。（×）解：当n=1时，a_1=S_1=5≠5，故错误。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，q=3，则b_4=48。（√）解：由等比数列通项公式b_n=b_1•q^{n-1}，代入b_1=2，q=3，n=4得b_4=2•3^3=54，故错误。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n(n≥2)，则数列是等差数列。（×）解：由递推关系可得c_n-c_{n-1}=n，故数列是等差数列，故正确。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_3=9，则数列的公差d=2。（√）解：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_1=5，d_3=9得9=5+2d，解得d=2，故正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则数列是等比数列。（√）解：当n=1时，e_1=T_1=1；当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，故数列是等比数列，故正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则数列的公比q=3。（√）解：由等比数列性质f_4=f_2•q^2，代入f_2=6，f_4=54得54=6q^2，解得q=3，故正确。7.若数列{g_n}满足g_n=g_{n-1}+2n(n≥2)，则数列是等差数列。（×）解：由递推关系可得g_n-g_{n-1}=2n，故数列不是等差数列，故错误。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=3，h_6=21，则数列的公差d=3。（√）解：由等差数列通项公式h_n=h_1+(n-1)d，代入h_1=3，h_6=21得21=3+5d，解得d=3，故正确。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则数列的通项公式a_n=6n-1。（×）解：当n=1时，a_1=S_1=4≠5，故错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_6=64，则数列的公比q=2。（√）解：由等比数列性质j_6=j_3•q^3，代入j_3=8，j_6=64得64=8q^3，解得q=2，故正确。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2+3n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=7；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(4n^2+3n)-[4(n-1)^2+3(n-1)]=8n-1，验证n=1时成立，故a_n=8n-1。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，求该数列的公比q及通项公式。解：由等比数列性质b_4=b_1•q^3，代入b_1=2，b_4=32得32=2q^3，解得q=4，故通项公式b_n=2•4^{n-1}=2^{n+1}。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+n(n≥2)，且c_1=1，求该数列的前10项和T_{10}。解：由递推关系可得c_n=1+2+...+n=1+1/2•n(n+1)=n(n+1)/2，故T_{10}=1+2+...+10=55。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_6=17，求该数列的通项公式及前n项和公式。解：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_1=5，d_6=17得17=5+5d，解得d=2，故通项公式d_n=5+2(n-1)=2n+3，前n项和公式S_n=1/2•n[2d_1+(n-1)d]=n^2+4n。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产的设备数量及10年内总共生产多少台设备。解：由等差数列性质可得第n年生产设备数量a_n=10+(n-1)×5=5n+5，故第10年生产设备数量a_{10}=55台；10年内总共生产设备数量S_{10}=1/2•10[2×10+(10-1)×5]=350台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量及从2020年到2025年的人口增长量。解：由等比数列性质可得2025年人口数量b_{2025}=100×(1+10%)^5=161.051万，人口增长量=161.051-100=61.051万。3.某企业计划投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比前一年多投资20万元，求第5年投资多少万元及5年内总共投资多少万元。解：由等差数列性质可得第n年投资金额c_n=100+(n-1)×20=20n+80，故第5年投资金额c_5=140万元；5年内总共投资金额S_5=1/2•5[2×100+(5-1)×20]=600万元。4.某农场计划种植一种作物，第一年种植面积为100亩，以后每年比前一年多种植15亩，求第8年种植多少亩及8年内总共种植多少亩。解：由等差数列性质可得第n年种植面积d_n=100+(n-1)×15=15n+85，故第8年种植面积d_8=155亩；8年内总共种植面积S_8=1/2•8[2×100+(8-1)×15]=860亩。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.C3.A4.A5.B6.B7.A8.A9.A10.D解析：第1题由S_n=3n^2+2n得a_n=6n-1；第2题由等差数列性质a_k•a_m=-504得k+m=18；第3题由b_5=b_3•q^2得q=±2；第4题由递推关系可得a_n=n(n+1)/2；第5题由S_n=2^n-1得a_n=2^{n-1}；第6题由等差数列性质a_4+a_7=22得d=3；第7题由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d得d=3；第8题由等比数列性质b_5=b_3•q^2得q=±3；第9题由递推关系可得a_n=n(n+1)/2；第10题由S_n=3^n-1得a_n=2•3^{n-1}.二、填空题1.2.52.43.无法确定4.2^{n-1}+15.36.2n+27.3.68.319.210.3•4^{n-1}解析：第1题由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d得d=2.5；第2题由等比数列通项公式b_n=b_1•q^{n-1}得b_1=4；第6题由S_n=n^2+3n得a_n=2n+2；第8题由递推关系可得a_n=n(n+1)+1；第10题由S_n=4^n-1得a_n=3•4^{n-1}.三、判断题1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√解析：第1题由S_n=2n^2+3n得a_n=4n+1不成立；第3题由递推关系可得c_n-c_{n-1}=n，故数列是等差数列；第7题由递推关系可得g_n-g_{n-1}=2n，故数列不是等差数列；第9题由S_n=3n^2+n得a_n=6n-1不成立.四、简答题1.解：当n=1时，a_1=S_1=7；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(4n^2+3n)-[4(n-1)^2+3(n-1)]=8n-1，