七年级上册数学行程问题-相遇与追及问题-教学设计-上课用

一、教学目标1.知识与技能：*使学生理解行程问题中“相遇”和“追及”的基本含义及特点。*引导学生掌握相遇问题和追及问题的基本等量关系，并能根据题意画出线段图辅助分析。*使学生能运用一元一次方程解决简单的相遇与追及问题，能正确列出方程并求解。2.过程与方法：*通过对实际问题的分析与抽象，体验数学建模的思想，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。*经历观察、分析、比较、概括等数学活动，发展学生的抽象思维和有条理的表达能力。*引导学生学会运用线段图这一直观工具帮助理解题意，提高分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观：*通过解决生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。*在探究活动中，培养学生积极思考、勇于探索的精神，体验合作学习的乐趣。*培养学生严谨的审题习惯和规范的解题步骤，增强学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点：*理解相遇问题和追及问题的特征，掌握各自的基本等量关系。*能根据等量关系列出一元一次方程解决实际问题。2.教学难点：*准确理解题意，特别是行程问题中复杂情境下的运动过程。*找准相遇或追及问题中的等量关系，尤其是涉及“同时出发”、“不同时出发”、“相遇后相距”等变式情况。*运用线段图清晰、准确地表示题目中的数量关系和运动过程。三、教学方法讲授法、情境教学法、引导发现法、讲练结合法。注重启发式教学，鼓励学生主动思考、合作交流。四、教学准备多媒体课件（PPT）、直尺、彩笔（用于画线段图示范）、课堂练习纸。五、教学过程（一）复习引入，温故知新(约5分钟)1.师生对话：*师：同学们，我们之前学习了用一元一次方程解决实际问题，大家还记得列方程解应用题的基本步骤吗？（引导学生回忆：审、设、列、解、验、答）*师：在行程问题中，最基本的量有哪些？它们之间有什么关系？*生：路程、速度、时间。*师：它们之间的基本关系是什么？*生：路程=速度×时间(板书：路程=速度×时间)2.情境创设：*师：生活中，我们经常会遇到这样的情景：小明和小红约好一起去图书馆，他们分别从家里出发，朝着对方走去，最后在途中碰面了。这是一种什么情况？（引导学生说出“相遇”）*师：再比如，小明早上上学起晚了，他以较快的速度去追已经先走了一段路的同学，最后追上了。这又是一种什么情况？（引导学生说出“追及”）*师：今天，我们就一起来深入研究行程问题中的这两类典型问题——相遇与追及问题。（板书课题：行程问题——相遇与追及）（二）新知探究，合作学习(约25分钟)1.相遇问题*概念辨析：师：谁能用自己的话描述一下，什么是相遇问题？它通常有哪些特点？（学生讨论后，教师总结）师：相遇问题，简单说就是两个运动的物体，从两地出发，相向而行（或相对而行），最后在途中相遇。其核心特点是：它们运动的时间往往是相同的（如果同时出发），且它们运动的路程之和等于两地之间的总路程。*例题讲解：（课件展示例题）例1：甲、乙两人分别从相距200千米的A、B两地同时出发，相向而行。甲每小时走60千米，乙每小时走40千米。问：经过几小时两人相遇？*审题引导：师：题目中告诉了我们哪些信息？求什么？生：总路程200千米，甲速度60千米/时，乙速度40千米/时，同时出发，相向而行。求相遇时间。师：“同时出发”意味着什么？生：两人运动的时间相同。师：“相向而行”呢？生：朝对方的方向走。师：相遇时，两人一共走的路程是多少？生：200千米。*线段图分析：师：为了更直观地理解题意，我们可以画线段图来帮助分析。（教师在黑板上示范画线段图）（画一条线段表示A、B两地，用箭头表示甲、乙的运动方向和出发点，相遇点大致标出）师：从线段图上看，甲走的路程是哪一段？乙走的路程是哪一段？它们合起来是哪一段？生：甲走的路程+乙走的路程=A、B两地的总路程。*列方程解答：师：设经过x小时两人相遇。那么，甲在x小时内走的路程是多少？（60x千米）乙在x小时内走的路程是多少？（40x千米）根据我们刚才分析的等量关系，可以列出方程：60x+40x=200（教师引导学生解方程，并强调检验和作答）解：100x=200x=2检验：当x=2时，甲走了60×2=120千米，乙走了40×2=80千米，120+80=200千米，符合题意。答：经过2小时两人相遇。*小结相遇问题：师：通过这个例子，我们可以总结出相遇问题的基本等量关系是什么？（学生回答，教师板书）相遇问题（同时出发）：甲的路程+乙的路程=总路程或：甲的速度×时间+乙的速度×时间=总路程即：（甲速+乙速）×相遇时间=总路程(速度和×相遇时间=总路程)2.追及问题*概念辨析：师：了解了相遇问题，我们再来研究追及问题。谁能说说什么是追及问题？它有什么特点？（学生讨论后，教师总结）师：追及问题，通常是两个运动物体从同一地点出发（或不同地点，但运动方向相同），一个速度快，一个速度慢，慢的在前，快的在后，经过一段时间后，快的追上慢的。其核心特点是：当快者追上慢者时，它们运动的路程差等于它们最初的距离差（如果不是同地出发）。如果是同地不同时出发，则快者追上慢者时，两者所走的路程相等。*例题讲解：（课件展示例题）例2：小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度出发。5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？*审题引导：师：这个问题与例1有什么不同？生：这是追及，不是相遇；小明先出发了5分钟。师：爸爸出发时，小明已经走了多远？生：80×5=400米。师：爸爸追上小明时，两人的位置有什么关系？生：在同一个地方，即爸爸走的路程等于小明先走的路程加上小明在爸爸追他这段时间内走的路程。*线段图分析：师：我们同样用线段图来分析。（教师在黑板上示范画线段图，注意体现小明先出发的路程）（画一条线段，标出小明家、学校。小明从家出发，先走一段（5分钟路程400米），然后爸爸从家出发去追，最终在某点追上。）师：从线段图上看，爸爸走的路程是哪一段？小明一共走的路程是哪一段？爸爸的路程和小明的路程有什么关系？生：爸爸的路程=小明先走的路程+小明被追时走的路程。*列方程解答：师：设爸爸追上小明用了x分钟。那么，爸爸追上小明时，爸爸走的路程是多少？（180x米）小明在爸爸追他的这x分钟内走的路程是多少？（80x米）小明一共走的路程是多少？（80×5+80x米）根据等量关系可列方程：180x=80×5+80x（引导学生解方程）解：180x-80x=400100x=400x=4检验：当x=4时，爸爸走了180×4=720米，小明走了80×(5+4)=720米，相等，符合题意。答：爸爸追上小明用了4分钟。师：那么第（2）问，追上小明时距离学校还有多远？生：用总路程1000米减去爸爸追上小明时走的路程720米，1000-720=280米。答：追上小明时，距离学校还有280米。*小结追及问题：师：通过这个例子，我们可以总结出追及问题（不同时出发，同地或有初始距离）的基本等量关系之一是什么？（学生回答，教师板书）追及问题（慢者先行）：快者路程=慢者先行路程+慢者被追时所行路程或：快者速度×追及时间=慢者速度×（先行时间+追及时间）若为同时不同地出发，同向而行：快者路程-慢者路程=初始距离即：（快者速度-慢者速度）×追及时间=初始距离(速度差×追及时间=初始距离)3.对比与辨析*师：同学们，我们学习了相遇和追及两种类型的行程问题，它们在运动方向、等量关系上有什么主要区别呢？（引导学生对比，加深理解）*（可列表格对比，或师生共同口述总结）*相遇：相向而行；路程和=总路程。*追及：同向而行；路程差=初始距离(或快者路程=慢者路程+初始距离)。（三）巩固练习，深化理解(约10分钟)1.基础练习：*甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为70千米/时，乙车速度为50千米/时。问：经过多少小时两车相遇？（相遇问题，直接应用公式）*一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？（追及问题，注意单位换算：18分钟=0.3小时）（学生独立完成，教师巡视指导，选取学生板演，然后集体订正，重点分析学生出现的错误）2.变式思考：*甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的1.25倍。若甲在乙前面100米处同时同向出发，问经过多少秒两人首次相遇？（此题为追及问题的变式，环形跑道，初始距离不是一圈，而是100米，注意分析首次相遇时的路程差）（此题可根据学生掌握情况，作为课堂讨论或课后思考题）（四）课堂小结，知识梳理(约3分钟)*师：今天我们学习了什么内容？你有哪些收获？*（引导学生回顾相遇问题和追及问题的特点、基本等量关系、解题方法，强调线段图的重要性）*生1：我学会了相遇问题，知道了“速度和×时间=总路程”。*生2：我学会了追及问题，知道了“速度差×时间=路程差”。*生3：画线段图对解决行程问题很有帮助。*师：非常好。解决行程问题，关键在于理解题意，弄清运动过程，找准等量关系，而画线段图是帮助我们分析问题的有效工具。希望同学们能灵活运用今天所学的知识解决生活中的实际问题。（五）布置作业，拓展延伸(约2分钟)1.必做题：教材对应练习题中关于相遇与追及的基础题型2-3道。2.选做题：*A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为80千米/时，乙车速度为70千米/时，经过t小时两车相距50千米，求t的值。（注意“相距50千米”有两种情况：相遇前和相遇后）*甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米。（1）如果甲让乙先跑5米，几秒后可以追上乙？（2）如果甲让乙先跑1秒，几秒后可以追上乙？*作业要求：认真审题，可以画线段图辅助分析，写出完整的解题步骤。六、板书设计行程问题——相遇与追及基本关系：路程=速度×时间一、相遇问题(例1)特点：相向而行，同时出发线段图：（图示A、B两地，甲乙相向而行至相遇点）等量关系：甲的路程+乙的路程=总路程60x+40x=200或：(甲速+乙速)×相遇时间=总路程(60+40)x=200解：x=2答：经过2小时相遇。二、追及问题(例2)特点：同向而行，慢者先行线段图：（图示小明先行，爸爸后追及）等量关系：快者路程=慢者先行路程+慢者被追路程180x=80×5+80x或：(快者速度-慢者速度)×追及时间=初始距离解：x=4答：爸爸追上小明用了4分钟。三、对比相